Kỳ thi tuyển sinh môn toán tại Viện Thép và Hợp kim Moskva năm 1969

29

Kỳ thi tuyển sinh môn toán tại Viện Thép và Hợp kim Moskva là điển hình đối với đa số các trường đại học kỹ thuật.

Tại các khoa MChMIS (luyện kim kim loại đen và hợp kim) và MTSRMIS (luyện kim kim loại màu và hợp kim), các môn chính là toán viết, vật lý và hóa học; tại các khoa FH (lý-hóa) và PMP (vật liệu và dụng cụ bán dẫn) — toán viết và vấn đáp, cùng vật lý. Tuyển chọn vào tất cả các khoa được tiến hành riêng rẽ.

Lưu ý rằng khoảng 19% (179 người) sinh viên khóa mới được tuyển tại các trung tâm công nghiệp: Bekabad, Volgograd, Zaporozhye, Norilsk, Orsk, Cherepovets.

Nội dung các đề thi viết và vấn đáp hoàn toàn phù hợp với chương trình toán dành cho thí sinh vào đại học.

Xét một trong các phương án được đưa ra tại các khoa MChMIS và MTSRMIS.

Phương án 1.

1. Giải phương trình
   $$\sec^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 16 \text{ ctg } x.$$

2. Giải bất phương trình
   $$\frac{3x^2 - 2x - 1}{\lg(x - 1)} < 0.$$

3. Rút gọn
   $$\left[ 4(a + 1) + \left( \frac{\sqrt{ab^2} + \sqrt{a}}{\sqrt{3}a + \sqrt{3}b} + \frac{\sqrt{6}a}{3} \right)^3 \right]^{1/2}$$

4. Gọi $E$ là trung điểm cạnh $AB$ của hình thang $ABCD$ ($BC \parallel AD$). Chứng minh rằng diện tích tam giác $ECD$ bằng một nửa diện tích hình thang $ABCD$.

5. Một hình lập phương cạnh $a$ được nội tiếp trong một hình chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của nó nằm trên các cạnh bên, còn bốn đỉnh kia nằm trên đáy hình chóp. Các mặt bên của hình chóp nghiêng với mặt phẳng đáy một góc $\alpha$. Xác định thể tích hình chóp.

Lời giải

1. Xác định miền xác định của phương trình:
   $$x \neq \pi l \quad (l = 0, \pm 1, \dots).$$

Bắt đầu giải phương trình. Ta có
$$\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{2}} = 16 \frac{\cos x}{\sin x},$$
suy ra
$$\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \sin^2 \frac{x}{2} = 16 \frac{\cos x}{\sin x}$$
hoặc
$$\frac{4}{\sin^2 x} = 16 \frac{\cos x}{\sin x}.$$

Vì $\sin x \neq 0$, ta được
$$4 \sin x \cos x = 1$$
hoặc
$$\sin 2x = \frac{1}{2},$$
suy ra
$$2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n,$$

30

hoặc

$$x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$
$$(n = 0, \pm 1, \dots).$$

Các nghiệm thu được thuộc miền xác định của phương trình.

Đáp số: $x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$
$$(n = 0, \pm 1, \dots).$$

2. Để giải bất phương trình
   $$\frac{3x^2 - 2x - 1}{\lg(x - 1)} < 0$$

nhận thấy rằng phân thức sẽ âm nếu tử số và mẫu số có dấu khác nhau. Do đó, bất phương trình này tương đương với hai hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} 3x^2 - 2x - 1 > 0, \\ \lg(x - 1) < 0 \end{cases}$$

hoặc
$$\begin{cases} 3x^2 - 2x - 1 < 0, \\ \lg(x - 1) > 0. \end{cases}$$

Giải các hệ này, ta lần lượt được

$$\begin{cases} x < -\frac{1}{3}, x > 1, \\ 0 < x - 1 < 1, \\ x - 1 > 1, \end{cases}$$

tức là
$$\begin{cases} x < -\frac{1}{3}, x > 1, \\ 1 < x < 2, \\ x > 2. \end{cases}$$

Hệ thứ hai vô nghiệm, còn nghiệm của hệ thứ nhất là khoảng $1 < x < 2$.

Đáp số: $1 < x < 2$.

3. Trước hết, ta tìm các giá trị chấp nhận được của $a$ và $b$:
   $$a \geq 0, b \geq 0, a \neq -b.$$

Tiếp theo, nhận thấy rằng
$$\sqrt[6]{ab^2} + \sqrt{a} = \sqrt[6]{a} \left( \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} \right).$$

Vì $a + b \neq 0$, rút gọn phân số cho $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$, ta được

$$\left[ 4(a + 1) + \left( \frac{\sqrt[6]{ab^2} + \sqrt{a}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} + \sqrt[6]{a} \right)^3 \right]^{1/2} =$$
$$= \left[ 4(a + 1) + \left( 2\sqrt[6]{a} \right)^3 \right]^{1/2} =$$
$$= 2\left[ \left( \sqrt{a} + 1 \right)^2 \right]^{1/2} = 2\left( \sqrt{a} + 1 \right).$$

4. Cho (hình 1): $ABCD$ — hình thang, $AE = EB$.

Chứng minh:
$$S_{ECD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}.$$

Chứng minh. Kẻ đường trung bình $EF$ của hình thang.

Khi đó $S_{ABCD} = EF \cdot H$, trong đó $H$ — chiều cao của hình thang. Mặt khác,

$$S_{ECD} = S_{ECF} + S_{EFD} = \frac{1}{2} EF \cdot \frac{H}{2} +$$
$$+ \frac{1}{2} EF \cdot \frac{H}{2} = \frac{1}{2} EF \cdot H.$$

32

= 180° - 2α, theo định lý sin, ta được rằng
AC = 2R sin (180° - 2α) = 2R sin 2α. Vì thế
AO₁ = $\frac{1}{2}$ AC = R sin 2α.

Từ △ AEO₁ xác định chiều cao của hình chóp:
EO₁ = H = AO₁ · tg α = R sin 2α · tg α.

Diện tích đáy của hình chóp bằng
S_{ABCD} = 2 (S_{AO₁B} + S_{BO₁C}) =
= 2 [$\frac{1}{2}$ AO₁² sin β +

• $\frac{1}{2}$ AO₁² sin (180° - β)] =
  = 2R² sin² 2α sin β.

Thể tích hình chóp V bằng
V = $\frac{1}{3}$ 2R² sin² 2α sin β · R sin 2α · tg α =
= $\frac{2}{3}$ R³ sin³ 2α tg α sin β.

Đáp số:
V = $\frac{2}{3}$ R³ sin³ 2α tg α sin β.

2. Nhận thấy rằng
   cos 2x - sin 2x =
   = sin ($\frac{\pi}{2}$ - 2x) - sin 2x =
   = $\sqrt{2}$ sin ($\frac{\pi}{4}$ - 2x),

viết lại phương trình dưới dạng
$\sqrt{2} \sin 10x = \sqrt{2} \sin (\frac{\pi}{4} - 2x)$

hoặc
sin 10x + sin (2x - $\frac{\pi}{4}$) = 0,

suy ra
sin (6x - $\frac{\pi}{8}$) cos (4x + $\frac{\pi}{8}$) = 0.

Cho từng thành phần bằng không, ta được
x₁ = $\frac{\pi}{48}$ (8n + 1) (n = 0, ±1, …),
x₂ = $\frac{\pi}{32}$ (8k + 1) (k = 0, ±1, …).

3. Xét hai trường hợp: 3x + 4 > 1 và 0 < 3x + 4 < 1.

Trong trường hợp thứ nhất, ta được
$$\begin{cases} 3x + 4 > 1, \\ x^2 < 3x + 4, \\ x^2 > 0 \end{cases}$$ hoặc $$\begin{cases} x > -1, \\ -1 < x < 4, \\ x \neq 0, \end{cases}$$

suy ra
-1 < x < 0, 0 < x < 4.

Trong trường hợp thứ hai, ta có
$$\begin{cases} 0 < 3x + 4 < 1, \\ x^2 > 3x + 4, \\ x^2 > 0 \end{cases}$$

hoặc
$$\begin{cases} -\frac{4}{3} < x < -1, \\ x < -1, x > 4, \\ x \neq 0, \end{cases}$$

suy ra

• $\frac{4}{3} < x < -1$.

Đáp số:

• $\frac{4}{3} < x < -1$;
• -1 < x < 0; 0 < x < 4.

Khi giải bài toán này, nhiều người không xét điều kiện x ≠ 0 và vì thế thay hai khoảng cuối cùng đã nhận được -1 < x < 4.

4. Ta có
   $$(a + x^{1/2})^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{a + \sqrt{x}}} =$$
   $$= \frac{1}{\sqrt{a + 2\sqrt{a - 1}}} =$$
   $$= \frac{1}{\sqrt{(a - 1) + 2\sqrt{a - 1} + 1}} =$$
   $$(a - x^{1/2})^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{a - \sqrt{x}}} =$$
   $$= \frac{1}{\sqrt{a - 2\sqrt{a - 1}}} =$$
   $$= \frac{1}{\sqrt{(a - 1) + 2\sqrt{a - 1} + 1}} =$$
   $$= \frac{1}{\sqrt{(a - 1) - 1} + 1} =$$

33

$$\frac{1}{\sqrt{a-1}-1} = \frac{1}{1-\sqrt{a-1}},$$

vì $1 < a < 2$, tức là $\sqrt{a-1} < 1$.

Cuối cùng, ta được

$$\left(a + x^{1/2}\right)^{-1/2} + \left(a - x^{1/2}\right)^{-1/2} = \frac{1}{1+\sqrt{a-1}} + \frac{1}{1-\sqrt{a-1}} = \frac{2}{2-a}.$$

Khi giải bài toán này, nhiều người đã quên điều kiện $1 < a < 2$ và vì thế mắc sai lầm khi khai căn.

Các kỳ thi viết cho thấy những điểm yếu chủ yếu sau đây ở thí sinh:

1. Vẫn còn nhiều sai sót khi rút gọn các biểu thức đại số: thí sinh chưa thành thạo các phép toán với lũy thừa, mắc lỗi ở những chỗ cần dùng giá trị xác định của căn thức (xem bài 4 của phương án 2 đã phân tích ở trên).

2. Nhiều thí sinh chưa nắm vững các công thức lượng giác, do đó đã xuất hiện sai sót khi giải bài toán lượng giác hoặc chọn một con đường giải không hề ngắn nhất cho bài toán đó.

3. Khi giải bất phương trình, có những sai sót liên quan đến việc không biết cả tính chất của bất phương trình lẫn tính chất của hàm số. Chẳng hạn, rất thường xuyên thí sinh không xét miền xác định của các hàm số có trong bất phương trình (xem bài 2 của phương án 1, bài 3 của phương án 2).

4. Khi giải các bài toán hình học không gian, điều gây trở ngại thường là sự không hiểu các khái niệm cơ bản của hình học không gian. Chẳng hạn, thí sinh thường xác định không đúng góc phẳng của góc nhị diện giữa các mặt bên kề nhau của hình chóp. Nhiều người lầm tưởng rằng góc phẳng trong trường hợp này là góc tại đỉnh của đa giác nằm ở đáy hình chóp.

Bây giờ hãy tự giải một số bài toán từ các phương án thi tuyển sinh khác.

Các bài toán được đưa ra tại các khoa MЧМИС và MЦРМИС.

1. Biến đổi thành tích

$$\sin 5\alpha \cdot \sin 4\alpha + \sin 4\alpha \cdot \sin 3\alpha - \sin 2\alpha \cdot \sin \alpha.$$

2. Tìm $tg \frac{\alpha}{2}$, nếu $\sin \alpha + \cos \alpha = 1,4$; $0 < \alpha < 45^\circ$.

3. Chứng minh đồng nhất thức

$$\frac{1}{1 + tg \alpha tg 2\alpha} = \sin \left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right).$$

4. Tính $18 \sin \frac{3}{2} x \sin \frac{x}{2}$, nếu $\cos x = \frac{2}{3}$.

5. Chứng minh đẳng thức

$$\cos 10^\circ \sin 20^\circ - 2 \sin 70^\circ = 1.$$

6. Giải bất phương trình

$$3^{x+1} + 18 \cdot 3^{-x} < 29.$$

7. Giải phương trình

$$\log_2 \left(4^{x-2} + 1\right) - x + 4 = \log_2 17.$$

8. Giải bất phương trình

$$\log_3 \frac{5x-3}{2-x} > 0.$$

9. Giải bất phương trình

$$\log_x \frac{15}{1-2x} < -2.$$

10. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{3}{y} = 7,5, \\ \frac{7}{x} + \frac{y}{6} = 1,5. \end{cases}$$

11. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} \sqrt[3]{\frac{x}{y}} + \sqrt[3]{\frac{y}{x}} = 2,5, \\ x + y = 9. \end{cases}$$

12. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} 2 \log_a x + \log_a y = 3, \\ \log_b x - \log_b y = 1. \end{cases}$$

13. Tìm tất cả các giá trị thực của $a$ mà tại đó hệ phương trình

$$\begin{cases} x^2 - y^2 = 1, \\ y = ax \end{cases}$$

có nghiệm thực.

14. Tìm tất cả các giá trị của $a$ mà tại đó tam thức

$$(a^2 - 1)x^2 + 2(a - 1)x + 2$$

dương với mọi giá trị thực của $x$.

34

15. Tìm các giá trị của $a$ mà tại đó nghiệm của hệ
    $$\begin{cases} x + y = 3, \\ ax + 4y = 6 \end{cases}$$
    thỏa mãn các bất phương trình $x > 1, y > 0$.

16. Với những giá trị nào của $a$ thì các phương trình $3x^2 - x - a = 0$ và $4x^2 + 8x + a = 0$ đều có nghiệm thực?

17. Số $m$ phải biến thiên trong khoảng nào để hai nghiệm của phương trình $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ nằm giữa -2 và 4?

18. Chứng minh rằng nếu đường trung tuyến và đường cao kẻ từ một đỉnh của tam giác chia góc thành ba phần bằng nhau, thì tam giác là tam giác vuông.

19. Chứng minh rằng trong một ngũ giác đều, một trong các đoạn của những đường chéo cắt nhau bằng cạnh của ngũ giác.

20. Tam giác $ABC$ quay quanh đường phân giác $AD$. Chứng minh rằng diện tích các mặt được tạo bởi các cạnh $AB$ và $AC$ khi đó tỉ lệ như các thể tích nhận được khi quay các phần $ABD$ và $ACD$.

21. Chứng minh rằng nếu có thể nội tiếp một quả cầu trong hình nón cụt, thì thể tích hình nón bằng tích của diện tích toàn phần của nó với $1/6$ chiều cao.

22. Chứng minh rằng thể tích hình nón bằng tích của diện tích toàn phần của nó với $1/3$ bán kính quả cầu nội tiếp.

Các bài toán đã được đề nghị tại các khoa ФХ và ПМП.

23. Một hình hộp chữ nhật được nội tiếp trong hình trụ, trong đó một cạnh của đáy bằng $b$. Đường chéo của hình hộp tạo với mặt phẳng đáy một góc $\alpha$, và với mặt bên đi qua cạnh đáy đã cho một góc $\beta$. Xác định diện tích mặt xung quanh của hình trụ.

24. Xác định thể tích của hình chóp tứ giác đều, có cạnh bên bằng $l$, và góc giữa hai mặt bên kề nhau bằng $\beta$.

25. Tính không dùng bảng
    $$\text{tg} 9^\circ - \text{tg} 27^\circ - \text{tg} 63^\circ + \text{tg} 81^\circ.$$

26. Giải phương trình
    $$\sec^2 x = \frac{2 - \cos x - \sin x}{1 - \sin x}.$$

27. Giải bất phương trình
    $$x^2 + \frac{5}{2} x - \frac{3}{2} < 1.$$

28. Giải bất phương trình
    $$\frac{|x - 2| - |x + 2|}{x - 1} < 0.$$

29. Giải bất phương trình
    $$\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_3 \log_2 \left(x^2 - \frac{4}{5}\right)} < 1.$$

30. Giải bất phương trình
    $$\lg \left| \frac{3x - 1}{2x + 1} \right| < 0.$$

31. Giải bất phương trình
    $$\log_2 x 2 \log_2 x 2 \log_2 (4x) > 1.$$

32. Chứng minh rằng khi $n^2 < a < 2n^2(n > 0)$
    $$\left(\sqrt{a + 2n \sqrt{a - n^2}} + \sqrt{a - 2n \sqrt{a - n^2}}\right):$$
    $$\left(\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{a + 1}} + \frac{1}{\sqrt{a + 1} + \sqrt{a + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{a + n - 1} + \sqrt{a + n}}\right) = 10^{\lg 2} + \lg \left(\sqrt{a} + \sqrt{a + n}\right).$$

33. Giải phương trình
    $$\sqrt{a^2 + bx} + \sqrt{a^2 - bx} = \sqrt{2abx}$$
    với $a > 0, b > 0$.

34. Sau khi rút gọn, giải phương trình
    $$\frac{\left(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1} + 2\right)(2x - \sqrt{x^2 - 1})}{(x + 1)^{3/2} + (x - 1)(x - 1)^{1/2}} = \sqrt{x^2 - 1} \left(\frac{\log_a x}{\log_ab x} - \log_a b\right).$$

35. Giải hệ phương trình
    $$\begin{cases} 3 |x| - 5y = 3, \\ 2x + |y| = 11. \end{cases}$$

36. Chứng minh rằng
    $$\left[ \frac{1}{2^{1/4} + 2^{1/8} + 1} + \frac{1}{2^{1/4} - 2^{1/8} + 1} - 2 \cdot \frac{2^{1/4} - 1}{2^{1/2} + 2^{1/4} + 1} \right] \cdot \frac{2^{1/2} + 2^{1/4} + 1}{2} = 1 + \lg 4 + \sqrt{4 \lg^2 2 + \lg 5 - \lg 8}.$$

37. Với những giá trị nào của tham số $t$ thì phương trình
    $$1 + \sqrt{x + 2 \lg t} = \sqrt{x - 1}$$
    có nghiệm thực?

V. V. Galđbere