Đồ thị chuyển động

Kvant 1970, số 6 tr. 39-45 Thẻ 5YCA

Bản dịch máy từ tiếng Nga (gpt-5.6-terra). Chưa được người kiểm tra. Bản gốc →

Chuyển động cơ học rất tiện biểu diễn bằng đồ thị. Tính đơn giản và trực quan của chúng cho phép lập tức đánh giá tính chất của chuyển động ở các giai đoạn khác nhau của nó và giải một số bài toán mà không cần tính toán.

Trong các kỳ thi tuyển sinh vào đại học, đồ thị thường được dùng trong các câu hỏi phụ. Vì vậy cần hiểu rõ đồ thị và biết phân tích chúng.

Đồ thị vận tốc

Trước hết hãy xét chuyển động thẳng. Ta chọn đường thẳng mà vật chuyển động theo làm trục tọa độ $x$ . Trên đó chọn điểm đầu $O$ và xác định vị trí của vật bằng tọa độ $x$ , tính từ điểm gốc này về một phía với dấu cộng, còn về phía kia — với dấu trừ. Nếu hướng chuyển động trùng với chiều dương của trục $x$ , vận tốc của vật được coi là dương, trong trường hợp ngược lại — là âm (hình 1).

Ta vẽ các trục tọa độ và đặt trên một trục thời gian $t$ , còn trên trục kia — vận tốc $V$ (hình 2). Bất kỳ đường nào trong các tọa độ này cũng biểu thị sự phụ thuộc bằng đồ thị của vận tốc vào thời gian. Có thể biết được gì từ một đồ thị như vậy?

Đường thẳng $I$ , song song với trục $t$ ,

đặc trưng cho chuyển động với vận tốc không đổi $V_0$ . Việc vận tốc là dương có nghĩa là hướng chuyển động trùng với chiều dương của trục $x$ . Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t_1$ đến thời điểm $t_2$ bằng về độ lớn diện tích của hình chữ nhật phía trên: $S = V_0(t_2 - t_1)$ .

Đường thẳng $II$ trên hình 2 cũng tương ứng với chuyển động đều, nhưng theo chiều ngược lại (vận tốc âm). Quãng đường mà vật này đi được trong thời gian $(t_2 - t_1)$ là một số dương, bằng về độ lớn diện tích hình chữ nhật phía dưới: $S_1 = V_1(t_2 - t_1)$ .

Từ đồ thị cũng có thể biết được độ biến thiên tọa độ của vật $\Delta x = x_2 - x_1 = V(t_2 - t_1)$ . Trong cả hai trường hợp, độ lớn tuyệt đối của nó bằng diện tích hình dưới đồ thị ( $S$ hoặc $S_1$ ), nhưng trong trường hợp thứ nhất nó dương, còn trong trường hợp thứ hai nó âm, vì trong trường hợp thứ hai $x_2 < x_1$ và $V_1 < 0$ (hình 3).

Khi chuyển động nhanh dần đều, đồ thị vận tốc cũng là một đường thẳng, chỉ có điều nghiêng một góc nào đó so với trục thời gian $t: V = V_0 + c t$ (hình 4). Ở đây $V_0$ là vận tốc của vật tại $t = 0$ . Tang của góc nghiêng của đường thẳng $I$ so với trục $t$ bằng về độ lớn gia tốc

$a = \frac{\Delta V}{\Delta t} = tg \alpha.$

Đường thẳng càng dốc thì gia tốc càng lớn.

Chuyển động tương ứng với đường thẳng $II$ trên hình 4 là chuyển động có gia tốc âm. Có thể nói rằng đó là chuyển động “chậm dần” không? Có thể, nhưng chỉ đến thời điểm $t_2$ , khi vận tốc và gia tốc có dấu khác nhau, tức là hướng về hai phía đối nhau. Khi $t > t_2$ giá trị tuyệt đối của vận tốc tăng lên, vì hướng của vận tốc và gia tốc trùng nhau: cả hai đều âm.

Ví dụ về chuyển động như vậy là sự bay của một hòn đá ném lên: vận tốc của nó lúc đầu giảm, sau đó đạt bằng không và cuối cùng, đổi hướng, quay trở lại. Gia tốc khi đó không đổi và bằng trừ $g$ (bỏ qua sức cản của không khí).

Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t = 0$ đến thời điểm $t = t_1$ bằng về độ lớn diện tích hình thang $A$ , còn quãng đường đi được từ thời điểm $t_1$ đến thời điểm $t_3$ bằng tổng diện tích các tam giác $B$ và $C$ . Độ thay đổi tọa độ của vật trong thời gian $t_3 - t_1$ bằng hiệu diện tích của các tam giác này, vì lúc đầu vật chuyển động theo một phía ( $V > 0$ ), rồi theo phía khác ( $V < 0$ ).

Nếu gia tốc của vật không không đổi, thì đồ thị vận tốc biểu diễn-

⟦trang 41⟧

là một đường cong (hình 5). Gia tốc tại bất kỳ thời điểm nào $t_0$ có thể tìm được bằng cách xác định tang của góc nghiêng của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ $t_0$ .

Điều này dễ kiểm tra bằng cách thay một đoạn cong bằng một đoạn thẳng nhỏ. $tg \beta$ bằng gia tốc trung bình $a_{cp} = \frac{\Delta V}{\Delta t}$ trong thời gian $\Delta t$ . Khi $\Delta t \to 0$ , đoạn thẳng tiến tới tiếp tuyến với đồ thị vận tốc, còn gia tốc trung bình trong thời gian $\Delta t$ tiến tới gia tốc tức thời tại thời điểm $t = t_0$ , tức là tới giá trị $a = tg\alpha$ .

Theo đường cong trên hình 5 có thể dễ dàng xác định rằng gia tốc lúc đầu tăng lên (tang của góc nghiêng của các tiếp tuyến tăng), sau đó giảm, đi qua không (đoạn nằm ngang) và trở thành âm.

Như vậy, chúng ta thấy rằng đồ thị vận tốc cho phép nhận được đặc điểm chung của chuyển động, tìm quãng đường đã đi và độ thay đổi tọa độ, biết vận tốc và gia tốc tại bất kỳ thời điểm nào, cũng như đánh giá sự thay đổi của các đại lượng này trong quá khứ và tương lai.

Đồ thị vận tốc cũng có thể dựng cho chuyển động cong của vật. Nếu biết quỹ đạo, thì khi chọn một trong các hướng dọc theo quỹ đạo là dương, có thể dựng đồ thị vận tốc giống như đã làm trong trường hợp chuyển động thẳng. Dấu của nó sẽ cho biết hướng chuyển động, còn giá trị tung độ — giá trị đại số của vận tốc.

Chẳng hạn, khi vật chuyển động theo đường tròn với vận tốc không đổi $V_0$ , đồ thị vận tốc sẽ là đường thẳng $I$ trên hình 2. Diện tích hình nằm dưới đồ thị vận tốc trong trường hợp này cũng bằng về mặt số học với quãng đường vật đã đi. Đường thẳng $II$ sẽ đặc trưng cho chuyển động tương tự, nhưng theo hướng ngược lại ( $V_1 < 0$ ).

Đồ thị quãng đường và đồ thị tọa độ

Cần hiểu rõ sự khác nhau giữa các đồ thị này. Quãng đường vật đã đi là một đại lượng dương, tăng lên không phụ thuộc vào hướng chuyển động của vật, vì vậy đồ thị quãng đường không thể đi xuống và nằm dưới $t$ .

Tọa độ đặc trưng cho vị trí của vật so với điểm gốc đã chọn. Trong quá trình chuyển động, nó có thể tăng, giảm, đi qua không, dương và âm.

Chẳng hạn, tọa độ thay đổi đúng như vậy khi vật chuyển động dọc theo trục $x$ trước hết theo một phía, rồi theo phía kia (hình 6). Ta thấy rằng độ thay đổi tổng cộng của tọa độ

trong toàn bộ thời gian chuyển động bằng $-2\text{ m}$ , còn quãng đường đi được trong cùng thời gian đó bằng $8\text{ m}$ . Trên những đoạn mà chuyển động không đổi hướng (ví dụ, $0-x_1$ hoặc $x_1-x_2$ ), độ biến thiên tọa độ bằng quãng đường đi được về giá trị tuyệt đối.

Xét đồ thị tọa độ chi tiết hơn.

Đường thẳng $I$ (hình 7), tạo với trục $t$ một góc $\alpha$ , tương ứng với chuyển động đều, vì trong những khoảng thời gian bằng nhau $\Delta t$ vật đi qua những đoạn tọa độ bằng nhau $\Delta x$ . Tang của góc nghiêng của đường thẳng này, như dễ thấy từ hình vẽ,

bằng về mặt số học với vận tốc chuyển động:

$V = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\Delta S}{\Delta t} = tg\alpha$

(trong ví dụ của chúng ta chuyển động không đổi hướng, vì vậy độ biến thiên tọa độ $\Delta x$ trong thời gian $\Delta t$ hoàn toàn bằng quãng đường $\Delta S$ đi được trong cùng thời gian đó).

Đường thẳng càng dốc, tang của góc nghiêng càng lớn và, do đó, vận tốc càng lớn. Điểm $x_0$ trên đường thẳng $I$ là tọa độ ban đầu của vật. Nó đặc trưng cho vị trí của vật tại thời điểm ban đầu (khi $t=0$ ). Theo thời gian, vật rời xa gốc tọa độ theo chiều dương ( $x>0$ và tăng).

Đường thẳng $II$ trên hình 7 cũng tương ứng với chuyển động đều, nhưng có vận tốc âm ( $tg\beta<0$ ). Khi $t=0$ , vật ở cách gốc tọa độ một khoảng $x_1$ . Nó chuyển động về phía vật thứ nhất, đến gốc tọa độ khi $t=t_1$ và tiếp tục chuyển động theo chiều âm.

Đồ thị quãng đường cho cả hai trường hợp được đưa ra trên hình 8. Đó là các đường thẳng tạo với trục hoành các góc $\alpha$ và $\beta$ .

Chuyển động có gia tốc được biểu diễn trên đồ thị bằng một đường cong (hình 9). Nếu gia tốc không đổi, đường cong là một parabol. Tang của góc nghiêng của tiếp tuyến với đồ thị

tọa độ bằng về độ lớn giá trị số của vận tốc vật. Do đó, nếu đường cong uốn như ở đoạn I (hình 9), tang của góc nghiêng tăng, và do đó vận tốc tăng; còn nếu đường cong uốn như ở đoạn II, vận tốc tăng. Đồ thị quãng đường tương ứng được đưa ra trên hình 10. Chừng nào tọa độ của vật còn tăng, đồ thị quãng đường trùng với đồ thị tọa độ; khi tọa độ giảm, quãng đường tăng sao cho độ tăng của quãng đường bằng độ giảm của tọa độ.

Cần nhớ rằng vận tốc của vật không thể thay đổi đột ngột và vì vậy các đồ thị tọa độ và quãng đường không thể có chỗ gấp khúc. Ví dụ, đồ thị tọa độ

không thể như trên hình 11. Tại thời điểm $t=t_1$ , trong chuyển động như vậy vận tốc phải thay đổi đột ngột từ $V_1=tg\alpha$ đến $V_2=tg\beta$ , điều đó là không thể.

Hãy giải hai bài toán.

Hai vật, ở cách nhau một khoảng $S_0=3\text{ m}$ , bắt đầu chuyển động về phía nhau với các vận tốc $V_1=2\text{ m/сек}$ và $V_2=1\text{ m/сек}$ . Chúng gặp nhau ở đâu và khi nào?

Bài toán dễ giải bằng đồ thị (hình 12). Ta sẽ coi vật thứ nhất chuyển động từ gốc tọa độ theo chiều dương, tức là trên đồ thị đi lên, còn vật thứ hai — từ điểm $x_1=S_0$ theo chiều âm, tức là trên đồ thị đi xuống (tọa độ giảm). Cả hai chuyển động được biểu diễn bằng các đường thẳng nghiêng đi về phía nhau và cắt nhau tại điểm tương ứng với tọa độ và thời điểm gặp nhau.

Độ nghiêng của các đường thẳng được xác định từ điều kiện: $tg\alpha_1=V_1=2$ , $tg\beta=V_2=-1$ . Từ đồ thị thấy rằng chúng gặp nhau tại điểm có tọa độ $t=1\text{ сек}$ và $x=2\text{ м}$ .

Trong các kỳ thi thường yêu cầu nhận xét về chuyển động được biểu diễn trên một đồ thị nào đó và chỉ ra (vẽ) đồ thị của cùng chuyển động ấy trong các tọa độ khác trông như thế nào.

Theo đồ thị tọa độ (hình 13), vẽ đồ thị gần đúng của vận tốc.

Nên dựng các đồ thị cái này dưới cái kia để có thể đối chiếu chúng tại những thời điểm giống nhau. Việc phân tích đồ thị nên bắt đầu từ những đoạn đơn giản nhất (trong bài toán của chúng ta là 1 và 5), ở đó vận tốc bằng nhau và không đổi về độ lớn (các tang của góc nghiêng bằng nhau và không thay đổi). Sau khi biểu diễn các đoạn này trên đồ thị vận tốc bằng những đường thẳng nằm ngang, có thể chuyển sang phân tích phần cong của đồ thị tọa độ.

Không khó thấy rằng trên đoạn 2 vận tốc tăng (tang của góc nghiêng của tiếp tuyến tăng), trên đoạn 3 — giảm, tại điểm A vận tốc đạt giá trị ban đầu (tiếp tuyến song song với đường thẳng ban đầu), còn tại điểm B bằng không (tang bằng không). Trên đoạn 4 vật chuyển động theo chiều ngược lại, và vận tốc luôn âm. Tại điểm C vận tốc lại đi qua không rồi tăng đến độ lớn trước đó.

Để dựng đồ thị thành công, dĩ nhiên cần luyện tập. Điều này dễ thực hiện bằng cách vẽ các đồ thị trong một hệ tọa độ và dựng các đồ thị tương ứng trong hệ khác.

Hãy tự giải các bài toán sau.

Theo đồ thị vận tốc (hình 14), tìm các đồ thị tọa độ và gia tốc. Các giá trị âm của t có nghĩa gì?
Theo các đồ thị tọa độ (hình 15), vẽ các đồ thị vận tốc.

Chuyển động nào được biểu diễn trên hình 16 và nó sẽ có dạng thế nào trên đồ thị vận tốc? Đường cong cuối cùng $t=t_1$ của đồ thị là một parabol.
Theo đồ thị gia tốc (hình 17), vẽ các đồ thị vận tốc, tọa độ và quãng đường.
Trong hai giây đầu vật đi được 4 mét, sau đó, giảm vận tốc, nó chuyển động trong 4 giây theo cùng chiều và cuối cùng quay trở lại với vận tốc ban đầu. Trong mỗi giai đoạn trong ba giai đoạn, coi vận tốc là không đổi. Vật thứ hai bắt đầu chuyển động sớm hơn một giây từ

cùng điểm đó và chuyển động với vận tốc không đổi $V = \frac{3}{4} m/sec$ . Theo đồ thị quãng đường, xác định: 1) vận tốc của vật thứ nhất ở giai đoạn thứ hai; 2) thời gian và vị trí gặp nhau của hai vật; 3) quãng đường vật thứ nhất đi được trong toàn bộ thời gian chuyển động.

Hai xe đạp xuất phát theo cùng một hướng cách nhau 10 giây. Xe thứ nhất trong 5 giây chuyển động với gia tốc $a_1=2 m/sec^2$ , sau đó với tốc độ không đổi mà nó có thể đạt được, còn sau khi xe đạp thứ hai xuất phát — chậm dần với gia tốc $a'_1=-0,25 m/sec^2$ . Xe đạp thứ hai chuyển động với gia tốc $a_2=1 m/sec^2$ . Ngay khi tốc độ của các xe đạp bằng nhau, cả hai tiếp tục chuyển động với tốc độ không đổi. Theo đồ thị tốc độ, hãy tìm: 1) khi nào và ở khoảng cách nào so với điểm xuất phát thì tốc độavel của các xe đạp bằng nhau; 2) tốc độ này bằng bao nhiêu; 3) quãng đường của xe đạp thứ nhất cho đến lúc xe đạp thứ hai xuất phát.
Hai quả cầu bắt đầu đồng thời và với cùng một tốc độ chuyển động trên các bề mặt có hình dạng như trên hình 18. Tốc độ và thời gian chuyển động của các quả cầu sẽ khác nhau như thế nào khi chúng đến điểm $B$ ?