Trường hợp với Dedekind

⟦trang 25⟧

và hơn nữa mỗi số hạng trong ngoặc lại xuất hiện hai lần. Như vậy, $\alpha_n$ chia hết cho $2^{2n+2}$, điều phải chứng minh.

Vậy là hiện tượng lạ về tính chia hết của các số $\alpha_n$ cho các lũy thừa cao của số hai đã được giải thích ở một mức độ nào đó. Nhưng điều tương tự cũng xảy ra nếu thay số hai bằng số ba, số năm, số bảy. Thật vậy,

$$C_9^3 - C_3^1 = 84 - 3 = 81 = 3^4;$$

$$C_{27}^9 - C_9^3 = 4686825 - 84 = 4686741 = 3^7 \cdot 2143;$$

$$C_{81}^{27} - C_{27}^9 = 2306279447501851002720 - 4686825 = 2306279447501846315895 = 3^{10} \cdot 39057044954221855;$$

$$C_{25}^5 - C_5^1 = 43130 - 5 = 43125 = 5^5 \cdot 69;$$

$$C_{49}^7 - C_7^1 = 85900584 - 7 = 85900577 = 7^5 \cdot 5111.$$

Nói ngắn gọn, có vẻ như đúng là với số nguyên tố $p$, số

$$C_{pn+1}^{p^n} - C_{pn}^{p^n-1}$$

chia hết cho một lũy thừa cao của số $p$. Nhưng chúng tôi không biết cách chứng minh điều này.

Nhân tiện, nếu $p$ không phải là số nguyên tố, thì không quan sát thấy điều gì tương tự. Chẳng hạn,

$$C_{16}^4 - C_4^1 = 1820 - 4 = 1816$$

thậm chí không chia hết cho $4^2$;

$$C_{36}^6 - C_6^1 = 1947792 - 6 = 1947786$$

không chia hết ngay cả cho $6^2$.

Chúng tôi cho rằng có ai đó trong số độc giả của «Квант» có thể tìm hiểu được vấn đề phức tạp này của số học các hệ số nhị thức.

TRƯỜNG HỢP
VỚI DEDEKIND

Tác giả của sự phổ biến rộng rãi nhất của lý thuyết số vô tỉ, P. Dedekind, như đã biết, qua đời ngày 12 tháng 2 năm 1916 ở tuổi 84.

Tuy nhiên, ngay từ năm 1904, trong «Sổ tưởng niệm.dat dành cho các nhà toán học», được xuất bản như một phụ lục cho danh mục của nhà xuất bản Teudner và dành cho những người tham gia Đại hội Toán học Quốc tế lần thứ ba tổ chức tại Heidelberg cũng trong năm đó, dưới ngày 4 tháng 9 năm 1899 đã ghi … ngày mất của P. Dedekind.

Người quá cố đã không thay việc viết thư cho người biên soạn cuốn sách nói trên bằng một nội dung đại khái như sau: «Kính thưa đồng nghiệp! Trong cuốn «Sổ tưởng niệm.dat» đầy ý nghĩa của Ngài, Ngài đã vui lòng nhắc đến cả tôi. Tôi rất biết ơn Ngài về điều đó. Tuy nhiên, tôi xin phép lưu ý Ngài rằng trong việc ghi ngày mất của tôi, ít nhất là một năm, chắc hẳn đã được chỉ ra không đúng».