Lời giải các bài toán kiểm tra đầu vào của ZMSh năm 1970

46

Lời giải các bài toán
kiểm tra đầu vào
vào 3MSh năm 1970

A. L. Toom

Trong số đầu tiên của tạp chí chúng tôi (tr. 56), cũng như trên «Báo Giáo viên» (ngày 26 tháng 2 năm 1970), đã đăng các bài toán cần giải để được vào Trường Toán học Hàm thụ. ZMSh đã nhận khoảng 6000 thư của học sinh lớp tám kèm lời giải các bài toán, khoảng 3000 em trong số đó được nhận vào trường.

Chúng tôi nghĩ rằng các bài toán không chỉ làm những người đã gửi thư đến ZMSh quan tâm, mà còn nhiều độc giả khác của «Kvant», trong đó có cả các ứng viên tương lai của ZMSh, vì thế hôm nay chúng tôi công bố lời giải các bài toán. Hầu như tất cả các bài toán đều được phân tích rất chi tiết, «tường tận», để làm sáng tỏ lời giải ngay cả cho những độc giả chưa thật sự có chuẩn bị. Để tiện cho độc giả, chúng tôi nhắc lại ở đây đề bài.

Chỉ giải bài toán và nhận được đáp số đúng là chưa đủ: còn phải biết cách viết lời giải, điều hoàn toàn không dễ. Vì vậy chúng tôi khuyên ngay cả những người đã giải các bài toán cũng nên đọc các lời giải này và so sánh với lời giải của mình. Dĩ nhiên, các lời giải đưa ra ở đây không phải là những lời giải duy nhất có thể có, nhưng khi đọc chúng, có thể hiểu cần ghi lời giải các bài toán một cách chính xác và logic như thế nào.

47

Bài kiểm tra đầu vào
vào 3MSh năm 1970 (đề bài)

1. Một nhà toán học đi về nhà dọc theo bờ suối, ngược dòng, với vận tốc lớn gấp rưỡi vận tốc dòng nước, và cầm trong tay một cây gậy và một chiếc mũ. Vào một lúc nào đó, ông ném chiếc mũ xuống suối, nhầm nó với cây gậy, rồi tiếp tục đi ngược dòng với cùng vận tốc. Sau một thời gian, ông nhận ra sai lầm, ném cây gậy xuống suối và chạy ngược lại với vận tốc lớn gấp đôi vận tốc của chiếc mũ. Bắt kịp chiếc mũ đang trôi, ông lập tức vớt nó khỏi nước, quay lại và đi ngược *) dòng với vận tốc ban đầu. Sau 10 phút ông gặp cây gậy đang trôi theo suối. Nếu không nhầm cây gậy với chiếc mũ thì ông đã về đến nhà sớm hơn bao lâu?

2. Với mọi tam giác ABC, có tồn tại một điểm P sao cho cả ba điểm đối xứng với điểm P qua các đường thẳng AB, BC và AC đều nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC không?

3. Với những giá trị nào của a thì hiệu các nghiệm của phương trình ax²+x-2=0 bằng 3?

4. Trong năm năm học, một sinh viên đã thi 31 kỳ thi. Mỗi năm sau anh thi nhiều hơn năm trước. Ở năm thứ năm, số kỳ thi nhiều gấp hai lần năm thứ nhất. Anh đã thi bao nhiêu kỳ thi ở năm thứ tư?

5. Hai đáy của một hình thang cân là 4 cm và 8 cm, diện tích của nó là 21 cm². Đường phân giác của góc tại đáy lớn cắt cạnh nào: đáy nhỏ hay cạnh bên của hình thang?

6. Tất cả các chữ số của một số có bốn chữ số nào đó là một số chính phương đều có thể giảm đi cùng một số sao cho thu được một số có bốn chữ số cũng là một số chính phương. Hãy tìm tất cả các số như vậy.

7. Tổng các khoảng cách từ một điểm nằm bên trong một tứ giác lồi đến tất cả các đỉnh của nó có thể lớn hơn chu vi của nó không?

8**). Một trong ba tên găngxtơ nổi tiếng

*) Từ «ngược» này đã bị bỏ sót do nhầm lẫn trong số 1 của «Kvant», khiến một số độc giả khó hiểu đề bài.

**) Trong các ấn phẩm khác, bài toán này được đăng dưới một cách diễn đạt khác:

Tin đồn đã đến tai Sa hoàng Đậu Hà Lan rằng cuối cùng đã có ai đó giết được Rắn Gorynych. Sa hoàng Đậu Hà Lan biết rằng việc đó chỉ có thể do Ilya Muromets, hoặc Dobrynya Nikitich, hoặc Alyosha Popovich làm. Và đây họ, đầy bụi bặm, đã đến triều đình. Sa hoàng bắt đầu hỏi họ. Mỗi dũng sĩ đều nói ba lần. Và họ nói như sau:

Ilya Muromets: 1) Không phải ta đã giết Rồng Gorynych. 2) Ta đã đi đến các nước xa xôi. 3) Rồng Gorynych bị Alyosha Popovich giết.

Dobrynya Nikitich: 1) Rồng Gorynych ở thành phố M, dưới các biệt danh Archie, Boss và Wesley, đã trộm chiếc cặp (có tiền). Trong khi thẩm vấn, mỗi người trong số họ đưa ra ba lời khai:

A rch ie: 1) Tôi không lấy chiếc cặp.
2) Vào ngày xảy ra vụ trộm, tôi đã rời thành phố M.
3) Wesley đã trộm chiếc cặp.
4) Boss: 1) Wesley đã trộm chiếc cặp.
2) Nếu tôi có lấy nó, thì tôi cũng đã không thú nhận.
3) Tôi vốn đã có nhiều tiền.
Wesl ey: 1) Tôi không lấy chiếc cặp.
2) Tôi từ lâu đang tìm một chiếc cặp tốt.
3) Archie nói đúng khi nói rằng anh ta đã rời M.

Trong quá trình điều tra, người ta выяснили, rằng trong ba lời khai của mỗi người có hai lời đúng và một lời sai. Ai đã trộm chiếc cặp?

9. Tìm các số x và y sao cho x>y>0 và x³+7y=y³+7x.

10. Một quảng trường hình vuông kích thước 100 m×100 m được lát bằng các tấm vuông 1 m×1 m có bốn màu: trắng, đỏ, đen và xám—sao cho không có hai tấm cùng màu nào tiếp xúc nhau (tức là không có cạnh hoặc đỉnh chung). Có thể có bao nhiêu tấm đỏ?

11. Giải phương trình
    (x²+6x-4)(x²+6x-3)=12.

12. Cho tam giác ABC. Tìm các điểm K và H nằm lần lượt trên các cạnh AB và BC, sao cho BK=KH=HC.

13. Tìm tất cả các số p sao cho p²+13 cũng là số nguyên tố.

LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN

1. Trước hết, nhận xét rằng thời gian nhà toán học bị mất, tức là thời gian cần tìm, gồm hai phần: a) thời gian ông chạy ngược lại, ký hiệu là t (phút); b) thời gian ông dùng để đi bộ quãng đường mà ông đã chạy; vì ông chạy nhanh gấp đôi đi bộ, nên thời gian này bằng 2 t, còn toàn bộ thời gian bị mất bằng 3 t.

Vậy chỉ cần tính t. Ký hiệu vận tốc dòng chảy là v. Khi đó vận tốc đi bộ bằng $\frac{3}{2}v$, còn vận tốc chạy bằng 3v. Xét tình huống từ lúc nhà toán học ném một chiếc que xuống nước và đánh dấu, cho đến lúc ông gặp chiếc que đang trôi về phía mình. Ông chạy ныча đã giết Alyosha Popovich. 2) Nếu ta có giết hắn, thì cũng đã không nói. 3) Vẫn còn nhiều thế lực không sạch.

A lyosha A Popovich: 1) Không phải ta đã giết Rồng Gorynych. 2) Ta từ lâu đang tìm kiếm chiến công nào mà đã thực hiện đến các nước xa xôi.

Sau đó Sa hoàng Gorokh biết rằng mỗi dũng sĩ hai lần nói thật và một lần nói dối. Ai đã giết Rồng Gorynych?

48

trong thời gian $t$ với vận tốc $3v$ và do đó đã chạy quãng đường $t \cdot 3v$. Sau đó ông đi ngược lại với vận tốc $\frac{3}{2}v$ và trong $10$ phút đi được quãng đường $10 \cdot \frac{3}{2}v$. Chiếc que trôi trong toàn bộ thời gian đó, tức là $(t+10)$ phút, với vận tốc $v$ và trôi được $(t+10) \cdot v$. Hiển nhiên, quãng đường thứ nhất trong các quãng đường đã tính ở đây bằng tổng hai quãng đường còn lại:

$$t \cdot 3v = 10 \cdot \frac{3}{2}v + (t+10) \cdot v.$$

Rút gọn cho $v$, ta được $t=12,5$, từ đó $3t=37,5$.

Đáp số: $37,5$ phút.

Có thể giải bài toán này bằng đồ thị (xem hình 1; ở đây $S$ là khoảng cách từ cửa sông ngược dòng, $T$ là thời gian; đường màu đỏ là quãng đường của nhà toán học; các đoạn màu xanh là chiếc mũ và cây gậy đang trôi). Theo giả thiết $\frac{AC}{CD} = 2$ và $BC=DE$, từ đó có thể tìm được tỉ số các đoạn $AB:BC:CD:DE=6:4:5:4$ và $\frac{AD}{DE} = \frac{AD}{10\text{ мин}} = \frac{15}{4}$, từ đó $AD = 37,5$ phút.

2. Điểm $P$ phải thỏa mãn phương án thứ ba:

1. điểm $P_1$, đối xứng với $P$ qua $AB$, nằm trên đường tròn ngoại tiếp;
2. điểm $P_2$, đối xứng với $P$ qua $BC$, nằm trên đường tròn ngoại tiếp;
3. điểm $P_3$, đối xứng với $P$ qua $CA$, nằm trên đường tròn ngoại tiếp.

Trước hết, hãy tìm tất cả các điểm $P$ thỏa mãn điều kiện thứ ba 1). Mọi điểm $P$ như vậy tạo thành một đường tròn đối xứng với đường tròn ngoại tiếp qua $AB$ (được vẽ màu trắng trong hình 2).

Như vậy, yêu cầu 1) đối với điểm $P$ có thể được phát biểu lại như sau:

1’) điểm $P$ nằm trên đường tròn $O_1$, đối xứng với đường tròn ngoại tiếp qua $AB$.

Hoàn toàn tương tự, ta thấy rằng các điều kiện 2), 3) có thể được phát biểu lại thành điều kiện điểm $P$ nằm trên các đường tròn $O_2, O_3$, đối xứng với đường tròn ngoại tiếp qua $BC$ và $CA$.

Cần выяснить xem với mọi tam giác có tồn tại điểm $P$ nằm đồng thời trên cả ba đường tròn $O_1, O_2, O_3$ hay không, nói cách khác, với mọi tam giác ba đường tròn $O_1, O_2, O_3$ có đi qua một điểm hay không. Ta sẽ chứng minh rằng điều đó quả thật đúng với mọi tam giác $ABC$.

Nghĩ ra một lập luận như vậy, dùng được ngay cho mọi tam giác $ABC$, khá khó (vấn đề là ta không biết trước điểm $P$ giao của các đường tròn $O_2$ và $O_3$ nằm ở đâu — bên trong tam giác hay bên ngoài nó, ở phía nào đối với mỗi đường thẳng $AB, BC$ và $CA$, v.v., và nếu lập luận phụ thuộc vào vị trí của điểm $P$, thì cần xét vài trường hợp riêng). Nhưng để tiết kiệm chỗ, chúng tôi vẫn sẽ đưa ra chính một lời giải dùng được ngay cho mọi trường hợp, tuy có phần nhân tạo.

Lưu ý rằng đường tròn $O_1$ có thể nhận được từ đường tròn $O$ không chỉ bằng phép đối xứng qua cạnh $AB$, mà còn bằng phép đối xứng tâm $K$ — trung điểm của cạnh $AB$, tức là bằng phép quay quanh điểm $K$ một góc $180^\circ$. Còn nếu cùng với đường tròn $O$ quay cả tam giác $ABC$ thì sao? Rõ ràng, nó sẽ chuyển thành $\triangle ABC_1$, tam giác này bổ sung $\triangle ABC$ thành hình bình hành $ABC_1C$, hơn nữa $\triangle ABC_1$ nội tiếp đường tròn $O_1$ (hình 3). Thực hiện các dựng hình tương tự đối với các cạnh $BC$ và $CA$, ta sẽ nhận được bốn tam giác bằng nhau, cùng tạo thành một

51

và 2l < 3l.

Điều viết ở đây, chỉ là trong một cuộc trò chuyện khác, không ràng buộc gì, có thể xem là lời giải.

Lời giải chính xác của bài toán này «dành cho bài thi viết» có thể có dạng, chẳng hạn, như sau: dựng tứ giác ABCD và điểm O bên trong nó, như trên hình 6, trong đó BD ⊥ AC, AM=BM=DM=1, OM=100, CM=101. Khi đó

$$OA + OB + OC + OD = 101 + 2 \cdot BO + 1,$$

$$AB + BC + CD + DA = 2\sqrt{2} + 2 \cdot BC.$$

Vì BC < OB + OC = OB + 1, nên 2 \cdot BC < 2 \cdot OB + 2 và do đó, AB + BC + CD + DA < 2\sqrt{2} + 2 \cdot BO + 2 < 100 + 2 \cdot BO + 2 = OA + OB + OC + OD.

8*). Có ba giả thiết về người đã lấy cắp chiếc cặp. Xét lần lượt chúng để выяснить, giả thiết nào mâu thuẫn với điều kiện.

1). Giả sử Archie lấy cắp chiếc cặp. Khi đó phát biểu thứ nhất và thứ ba của anh ta sai, còn trong điều kiện nói rằng chỉ một phát biểu là sai. Vậy giả thiết này mâu thuẫn với điều kiện; Archie không thể lấy cắp chiếc cặp.

2). Giả sử Boss lấy cắp chiếc cặp. Khi đó phát biểu thứ nhất của anh ta sai, do đó hai phát biểu còn lại phải đúng. Đúng là trong phát biểu thứ hai của anh ta có hàm ý rằng chính anh ta, Boss, không lấy chiếc cặp, nhưng anh ta không nói điều đó trực tiếp, nên sẽ không có mâu thuẫn. Tiếp theo, phát biểu thứ ba của Archie khi đó sai, do đó hai phát biểu đầu phải đúng. Vì phát biểu thứ hai của Archie đúng, nên phát biểu thứ ba của Wesley cũng đúng, và vì phát biểu thứ nhất đúng, nên phát biểu thứ hai sai.

Ta thấy rằng không có mâu thuẫn nào với

*) Bài toán về Rắn Gorynych được giải tương tự. (ĐÁP ÁN: Dobrynya Nikitich đã giết Rắn Gorynych.)

điều kiện. Vậy Boss có thể đã lấy cắp chiếc cặp.

3). Giả sử Wesley lấy cắp chiếc cặp. Khi đó phát biểu thứ nhất của anh ta sai, nên phát biểu thứ hai và thứ ba đúng. Vì phát biểu thứ ba của Wesley đúng, nên phát biểu thứ hai của Archie cũng đúng. Phát biểu thứ nhất và thứ ba của Archie cũng đúng. Vậy cả ba phát biểu của Archie đều đúng, điều này mâu thuẫn với điều kiện. Wesley không thể lấy cắp chiếc cặp.

Đáp án: Boss đã lấy cắp chiếc cặp.

Ghi chú. Có thể, sau khi xét giả thiết rằng Boss lấy cắp chiếc cặp và xác nhận rằng nó thỏa mãn điều kiện, dừng lại ở đó và coi điều ấy đã được chứng minh không? Không.

Bởi vì có thể hóa ra rằng những dữ kiện thu thập được trong điều kiện hoàn toàn không đủ để xác định chính xác ai đã lấy cắp chiếc cặp.

9. Biến đổi:

$$(x^3 - y^3) - 7(x - y) = 0,$$

$$(x - y)(x^2 + xy + y^2) - 7(x - y) = 0,$$

$$(x - y)(x^2 + xy + y^2 - 7) = 0.$$

Vì $x > y$, nên $x - y \neq 0$, vậy ngoặc thứ hai bằng không:

$$x^2 + xy + y^2 - 7 = 0,$$

$$x^2 + xy + y^2 = 7.$$

Mỗi trong ba số $x^2, xy, y^2$ là số nguyên, dương và nhỏ hơn bảy. Khi đó $x, y$ chỉ có thể bằng 1 hoặc 2 (ngay khi $x = 3, y = 9 > 7$). Vì $x > y$, nên $x = 2, y = 1$. Thay vào, ta xác nhận rằng đây là nghiệm của bài toán.

Đáp án: $x = 2, y = 1$.

10. Trước hết hãy xác nhận rằng có thể lát diện tích bằng các viên gạch theo đúng yêu cầu của điều kiện. Chẳng hạn, có thể làm như trên hình 7. Quy luật sắp xếp gạch trên toàn bộ diện tích rõ ràng từ phần có hướng. Các đường đậm được vẽ để quy luật này dễ hiểu hơn. Với cách sắp xếp như vậy, có 2500 viên gạch mỗi màu. Vậy số gạch đỏ có thể là 2500. Chứng minh rằng không thể có số viên gạch nào khác.

Giả sử diện tích được lát bằng các tấm theo một cách nào đó phù hợp với các điều kiện. Chia nó thành các hình vuông $2m \times 2m$, mỗi hình chứa 4 tấm, như trên hình 7. Có tất cả 2500 hình vuông như vậy. Xét một hình vuông như thế. 4 tấm cấu thành nó tiếp xúc từng đôi một. Vì vậy tất cả chúng phải có các màu khác nhau, tức là mỗi màu một tấm. Vì trong mỗi hình vuông có một tấm đỏ, mà có 2500 hình vuông, nên số tấm đỏ cũng là 2500.

11. Đặt ký hiệu: $x^2 + 6x = y$. Khi đó $(y - 4)(y - 3) = 12,$ $y^2 - 7y = 0,$ $y_1 = 0,$ $y_2 = 7.$

52

Bây giờ cần giải hai phương trình:

1. $x^2 + 6x = 0$, $x_1 = 0$, $x_2 = -6$;
2. $x^2 + 6x = 7$, $x^2 + 6x - 7 = 0$, $x_1 = -7$, $x_2 = 1$.

Đáp số: $x_1 = -7$, $x_2 = -6$, $x_3 = 0$, $x_4 = 1$.

12. 1. Phân tích. Vì $KB = KH$, nên $\angle KHB = \angle B$. Kẻ $KC$. Vì $KH = HC$, nên $\angle HKC = \angle HCK$. Nhưng tổng của chúng bằng góc ngoài $\angle KHB$: $\angle HKC + \angle HCK = \angle KHB$ (xem hình 8). Vậy mỗi góc bằng một nửa góc đó:

$$\angle CKH = \angle KCH = \frac{1}{2} \angle KHB = \frac{1}{2} \angle B.$$

2. Dựng hình. Cho $\triangle ABC$. Chia đôi $\angle B$ và dựng góc $\angle BCM = \frac{1}{2} \angle B$ sao cho tia $CM$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $BC$ như điểm $A$. Cho tia $CM$ cắt cạnh $AB$ (chứ không phải phần kéo dài của nó) tại điểm $K$. Dựng góc $\angle CKN = \frac{1}{2} \angle B$ sao cho tia $KN$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $CK$ như điểm $B$. Cho tia $KN$ cắt cạnh $BC$ (chứ không phải phần kéo dài của nó) tại điểm $H$. Các điểm đã dựng $K, H$ là các điểm cần tìm.

3. Chứng minh. Theo cách dựng $\angle HKC = \angle HCK$, do đó $KB = KH$.

Tiếp theo,

$$\angle KHB = \angle HKC + \angle HCK = \frac{1}{2} \angle B + \frac{1}{2} \angle B = \angle B,$$

vì vậy $KB = KH$.