Kvant
Tạp lục

Một bao khoai tây

Kvant 1970, số 6tr. 38Thẻ 39RX

Bản dịch máy từ tiếng Nga (gpt-5-6-mini). Chưa được người kiểm tra. Bản gốc →

⟦trang 38⟧

các nghiệm của nó là
x1,x2=2±4+4m2−4m−3=2±(2m−1),x_1, x_2 = 2 \pm \sqrt{4 + 4m^2 - 4m - 3} = 2 \pm (2m - 1),
nghĩa là x1=1+2mx_1 = 1 + 2m và x2=3−2mx_2 = 3 - 2m.

Các nghiệm thu được sẽ là thực khi mọi mm thực. Đối với các giá trị đã tìm được của các nghiệm, cần yêu cầu thỏa mãn điều kiện xác định, tức là
{1+2m≥−1,3−2m≥−1;{m≥−1,m≤2;\begin{cases} 1 + 2m \geq -1, \\ 3 - 2m \geq -1; \end{cases} \quad \begin{cases} m \geq -1, \\ m \leq 2; \end{cases}
từ đó
−1≤m≤2.-1 \leq m \leq 2. (1)

Ngoài ra, theo điều kiện của bài toán, các nghiệm phải nhận các giá trị khác nhau. Điều này xảy ra khi x1⋅x2<0x_1 \cdot x_2 < 0 hoặc (1+2m)(3−2m)<0(1 + 2m)(3 - 2m) < 0. Sau đó bất đẳng thức được thỏa mãn với các giá trị mm sau:
m<−12 vaˋ m>32.m < -\frac{1}{2} \text{ và } m > \frac{3}{2}. (2)

So sánh các kết quả thu được (1) và (2) trên trục số (hình 3), ta nhận được rằng tất cả các điều kiện đã đặt ra của bài toán được thỏa mãn với các giá trị mm sau:
−1≤m<−12 vaˋ 32<m≤2.-1 \leq m < -\frac{1}{2} \text{ và } \frac{3}{2} < m \leq 2.

Cần lưu ý rằng vì x1x_1 và x2x_2 là nghiệm của phương trình đã cho, nên khi x=x1x = x_1 và x=x2x = x_2, biểu thức dưới dấu căn của nó nhất thiết phải là bình phương hoàn chỉnh, do đó không âm. Điều này cũng có thể kiểm tra bằng cách thế trực tiếp.

Sai lầm điển hình mà 70% thí sinh mắc phải trong bài toán này là không tính đến miền giá trị cho phép x≥−1x \geq -1.

В. А. Назаев
П. Н. Торжков

BAO KHOAI TÂY

Trong bao có 100 kg khoai tây với độ ẩm 99%. Khoai tây bị khô, độ ẩm giảm xuống còn 98%.

Khối lượng mới của nó là bao nhiêu?

CHỈ CÓ 2?

Mọi người đều biết rõ các quy tắc sau:

2×2=4,2+2=4;0+0=0.2 \times 2 = 4, \quad 2 + 2 = 4; \quad 0 + 0 = 0.

Hãy suy nghĩ về những câu hỏi sau:

  1. Có tồn tại những số nguyên aa và bb khác sao cho
    a+b=ab.a + b = ab.

  2. Có tồn tại những số hữu tỉ khác không?

  3. Giả sử thêm rằng
    a+b=ab=p,a + b = ab = p,
    trong đó pp — là số nguyên, p≠0p \neq 0, p≠4p \neq 4. Có thể xảy ra điều này:
    a) đối với các số thực a,ba, b;
    b) đối với các số hữu tỉ a,ba, b.

  1. Một số tự nhiên không chia hết cho 2, không chia hết cho 3, không chia hết cho 5. Tìm số dư khi chia lũy thừa bậc 4 của số này cho 480.

  2. Hai người mua những quyển sổ giống nhau: người thứ nhất mua 5 quyển, người thứ hai mua 31 quyển. Tiền thừa của người thứ nhất từ 5 rúp chứa số rúp và kopeck bằng với số kopeck và rúp tương ứng trong tiền thừa của người thứ hai từ 25 rúp. Giá một quyển sổ là bao nhiêu?