[Две задачи]

38

корни которого
$$x_1, x_2 = 2 \pm \sqrt{4 + 4m^2 - 4m - 3} = 2 \pm (2m - 1),$$
т. е. $x_1 = 1 + 2m$ и $x_2 = 3 - 2m$.

Полученные корни будут действительны при всех действительных $m$. Для найденных значений корней необходимо потребовать выполнения ОДЗ, т. е.
$$\begin{cases} 1 + 2m \geq -1, \\ 3 - 2m \geq -1; \end{cases} \quad \begin{cases} m \geq -1, \\ m \leq 2; \end{cases}$$
отсюда
$$-1 \leq m \leq 2.$$ (1)

Кроме того, по условию задачи корни должны иметь разные значения. Это будет в том случае, если $x_1 \cdot x_2 < 0$ или $(1 + 2m)(3 - 2m) < 0$. После нее неравенство выполняется при следующих значениях $m$:
$$m < -\frac{1}{2} \text{ и } m > \frac{3}{2}.$$ (2)

Сопоставляя полученные результаты (1) и (2) на числовой оси (рис. 3), получим, что все поставленные условия задачи выполняются при следующих значениях $m$:
$$-1 \leq m < -\frac{1}{2} \text{ и } \frac{3}{2} < m \leq 2.$$

Остается отметить, что поскольку $x_1$ и $x_2$ являются решениями заданного уравнения, то при $x = x_1$ и $x = x_2$ его подкоренное выражение обязательно будет полным квадратом, а следовательно, неотрицательное. Это можно проверить и неосредственной подстановкой.

Типичная ошибка, которую допускали 70% абитриентов в этой задаче, заключалась в том, что не учитываясь область допустимых значений $x \geq -1$.

В. А. Назаев
П. Н. Торжков

МЕШОК КАРТОШКИ

В мешке находится картошка весом 100 кг при влажности 99%. Картошка высохла, влажность уменьшалась до 98%.

Каков стал ее новый вес?

ТОЛЬКО ЛИ 2?

Всем хорошо известны следующие правила:

$$2 \times 2 = 4, \quad 2 + 2 = 4; \quad 0 + 0 = 0.$$

Подумайте над таким вопросами:

1. Существуют ли другие целые $a$ и $b$, что
   $$a + b = ab.$$

2. Существуют ли другие рациональные числа?

3. Пусть к тому же
   $$a + b = ab = p,$$
   где $p$ — целое число, $p \neq 0$, $p \neq 4$. Возможно ли это:
   a) для действительных $a, b$;
   b) для рациональных $a, b$.

---

1. Натуральное число не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. Найти остаток от деления 4-й степени этого числа на 480.

2. Двое купили одинаковые блокноты: первый 5 шт., второй 31 шт. Сдача первого с пятим рублей содержала столько рублей и копеек, сколько копеек и рублей соответствующего содержала сдча второго с 25 руб. Сколько стоит блокнот?