Задачи М286—М290; Ф298—Ф302

20

Задачи
M286—M290; Ф298—Ф302

M286. На плоскости расположено $N$ точек. Отметим все середины отрезков с концами в этих точках. Какое наименьшее количество точки плоскости может оказаться отмещенным?

А. Печковский

M287. Существует ли такая последовательность натуральных чисел, что любое натуральное число 1, 2, 3, … можно представить в виде разности двух чисел этой последовательности единственным способом?

А. Лифшиц

M288. На конгрессе собрать учены, среди которых есть друзья. Оказалось, что никакие двое учены, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Докажите, что найдется учены, у которойровно один друг.

С. Коняzin

M289. $N$ гирь, каждая из которых весит целое число граммов, разложены на $K$ равных по весу куч. Доказите, что можно не менее чем $K$ разными способами убрать одну из гирь так, что оставшиеся $(N-1)$ гири уже нельзя разложить на $K$ равных по весу куч.

С. Коняzin

M290. Для каких $n$ существует такая замкнутая несамодерсекающая ломанная из $n$ звеньев, что любая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломанной, содержит еще хотя бы одно ее звено?

С. Коняzin

Ф298. Внутри Fotoаппарата перpendикулярно фотопластике расположено плоское зеркало,лина которой $DB$ равна половине фокусного расстояния объекта (рис. 1). Изображение 1.