Чертёж в стереометрических задачах

32

Чертеж в stereometрических задачах
И. Ф. Шарыцин

При проверке письменных работ поступающих в вычисление учебные задания часто обнаруживается следующие: в чистокие геометрическая задача сопровождается достаточно хорошо чертежом, а то, что изображен в черновике, чертежом можно назвать лишь условно. И приходит только удивляться, как с помощью такого «чертежа» абитуренты умудрились все-тakin решить задачу. Ведь не секрет, что хороший чертеж может оказать существенно помощь в решении геометрических задач, особенно задач по stereometрии. Конечно, научиться делать такие чертежи, как делают художники «Кванта», вряд ли возможно для рядуового школьника. Однако если при решении каждой геометрической задачи обращать внимание на качество чертежа, то в конце концов вы научитесь делать его вполне прилично. Возьмите себе за правило не приступать к решению задачи до тех пор, пока вы не сделаете хорошо чертежа. Не желайте бумаги, делайте свой чертеж крупным, невидимые линии изображайте пунктером, не проводите вспомогательных линей, пока не убедитесь в их необходимости. Очень часто stereometрические задачи сведятся к одной или нескольких задачам по планиетрии. Сделайте для каждой задачи отдельный чертеж. Шары, как правило, изображать не следует; достаточно бывают указать их центр, точки касания с прямой, плоскостью или другими шарами. Факт касания двух шаров означает, что расстояние между их центрами равно сумме радиусов, если касание внешнее, и это же расстояние равно разности радиусов, если касание внутреннее.

Перейдем к примерам.

Задача 1 (МГУ, химический факультет, 1968 г.). Внутри сферы пространжения четыре шара радиуса r. Какный из этих шаров касается трех других и поверхности сферы. Определить радиус сферы.

Решение. Пусть A, B, C и D — центры шаров радиуса r, а O — центр сферы (рис. 1). Из того, что шары касаются попарно друг друга внешним образом, следует, что ABCD — правильный tetrahedр с ребром 2r. Все шары касаются внутренним образом с центром O, поэтому расстояния AO, BO, CO, DO равны между собой и равны R — r, где R — искомый радиус сферы. С другой стороны, все эти расстояния

Рис. 1.

33

правны радиус шара, описанного около правильного tetraэдра с ребром 2r. Теперъ уже легко найти искомый радиус R. Следайте это сами.

Ответ: $R = r \left( 1 + \sqrt{\frac{3}{2}} \right)$.

Задача 2 (МФТИ, 1966 г.). Ребро правильного tetraэдра ABCD равно a. На ребре AB, как на диаметре, построена сфера. Найти радиус шара, описанного в трехгранный угол tetraэдра с вершиной в точке A и касающейся построенной сферы.

Решение. Пусть $O$ — середина $AB$ — центр данной сферы, $O_1$ — центр искомого шара. Легко сообщить, что $O_1$ лежит на высоте AM tetraэдра ABCD (рис. 2).

Обозначим через $x$ радиус шара с центром в точке $O_1$. Из того, что этот шар вписан в трехгранный угол A, следует, что $AO_1 = 3x$. В самом деле, для любого шара, описанного в трехгранный угол A, относение расстояния от его центра до вершины A к радиусу есть величины постоянная. Рассмотрим шар, описанный в правильный tetraэдр ABCD; центр его, как известно, совпадает с центром описанного шара; относение же радиусов описанного и описанного шаров для правильного tetraэдра легко вычисляется и равно 3.

Изображим $\triangle AMB$ на отдельном чертеже ($\times M$ — прямой) (рис. 3). Рассмотрим $\triangle AOO_1$.

Рис. 2.

Имеем

$$AO_1 = 3x, \quad AO = \frac{a}{2},$$

$$O_1O = \frac{a}{2} \pm x.$$

Знак «+» соответствует следующим внешнего касания шаров с центрами в точках O и O₁, знак «-» — следующим касания внутреннего. (На рисунке 3 изображен случай внутреннего касания. В случае внешнего касания точка $O_1$ должна находиться на продолжении AM за точку M.)

Из прямогоЛЬного треугольника AMB находится cos $\angle O_1AO$, а затем, написав теорему косинусов для $\triangle OAO_1$, находится x.

Ответ: $\frac{a}{8} \left( \sqrt{6} \pm 1 \right)$.

Задача 3. (МГУ, химический факультет, 1971 г.). Три одинаковых прямых круговых конуса, радиусы оснований комorbix равны r и составляет $3/4$ их высоты, расположены по одному сторону от плоскости P, a их основания лежат в этой плоскости. Okружности оснований каждой двух из этих конусов касаются. Найти радиус шара, лежащое между конусами и касающейся как плоскости P, так и всех трех конусов.

Для решения задачи нам понадобится следующие две легмы (доказатель их самостоятельное):

Лемма 1. Если шар внешним образом касается поверхности конуса и плоскости, в котором лежит основа-

34

рис. 4.

ние конуса, мо ось конуса, образующая конуса, на котором расположена точка касания конуса с шаром, центр шара и точка касания шара с плоскостью, в котором лежит основание конуса, находящая в плоскости, перепределкой к плоскости основания конуса (рис. 4). (На рисунке 4 $SO_1$ — ось конуса, $SB$ — его образующая, $O$ — центр шара, $A$ — точка касания шара с плоскостью, в котором лежит основание конуса, $C$ — точка касания шара с конусом.)

Лемма 2. Точка касания шара с плоскостью $P$ находится в центре правильно треугольника, образованного центрами окружностей оснований конусов (шар, конусы и плоскость $P$ из условия задачи).

Теперь рисунок 4 помещет нам решить задачу. Имеем

$$AO_1 = \frac{2r\sqrt{3}}{3}, BO_1 = r, SO_1 = \frac{4}{3}r.$$

Искомый радиус $OA$ легко найти из прямогоного треугольника $AOB$, в котором известен катет $AB$ и $\angle OBA = \frac{1}{2} (\angle ABS)$, а все трионометрические функции $\angle ABS$ легко вычисляются.

Ответ: $2r \cdot \frac{2\sqrt{3} - 3}{3}$.

Задание 4 (МГУ, физический факультет, 1972 г.). На сфере, радиус которого равен 2, расположены три окружности радиусом 1, какдая из которых касается двух других. Найти радиус окружности меньше, чем

35

Теперь легко найдем

$$OO_1 = OO_2 = O_1O_2 = \sqrt{3}.$$

На рисунке 6 $M$ — центр правильного $\Delta O_1O_2O_3$ со стороны $\sqrt{3}$ и, значит, $O_1M = 1$, $O_4$ — центр искомой окружности, $B$ — точка ее касания с первой окружностью, $BN \perp MO_1$. Отрезок $NO_1$ легко найти из подобия $\Delta O_1BN$ и $\Delta O_1MO$, а искомый радиус $O_4B = MN = MO_1 - NO_1$.

Ответ: $1 - \sqrt{\frac{2}{3}}$.

Иногда бывают полезно рассмотреть какое-нибудь геометрическое тело — парамиду, паралелепипед, призму и т. д., не фигурирующее в условиях задачи.

Задача 5 (формулировка этой задачи является перефазировкой задачи, давшейся в 1973 году на олимпиade в МФТИ). Оси трех равных, попарно касающихся цилиндрических поверхностей взаимно перепредикularны. Наимену радиус наименьшего шара, касающейся всех трех поверхностей, если радиус каждого из них равен $r$.

Решение. Расмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $2r$. Мы можем считать, что ребро $AA_1$ лежит на оси одного цилиндра, ребро $DC$ — на оси другого и, наконец, ребро $B_1C_1$ — на оси третьего (рис. 7).

Докажем, что центр искомого шара совпадает с центром $O$ куба.

В самом деле, рассмотрим три цилиндра, концентрических данных и проходящих через точку $O$. Тогда $O$ — единственная точка, лежащая внутри или на поверхности всех этих трех цилиндров, и, значит, для любой точки, отличной от $O$, расстояние до одной из трех прямых $AA_1$, $DC$ и $B_1C_1$ больше, чем расстояния от $O$ до этих прямых.

Ответ: $r(\sqrt{2} - 1)$.

Задача 6. $n$ равных конусов ($n \geqslant 3$) имеем общую вершину, какый касаемся двух других, а все касаются одной плоскости. Наимену уелол при вершине освободо сеценя этих конусов.

Решение. Расмотрим треугольную парамиду $SABC$ (рис. 8), у которой в основании лежит равноведренный $\Delta ABC$ ($AC = CB$) с углом $ACB$, равным $\frac{2\pi}{n}$, $SC$ перпендикулярна плоскости $ABC$ и проекция $C$ на плоскость $SAB$ совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник $ABS$. Расмотрим теперь конус, вершина которого находится в точке $C$, а окружность основания является окружностью, вписанная в $\Delta SAB$. Легко убедиться, что этот конус можно рассматривать в качестве искомого. В самом деле, если поставить рядом друг с другом $n$ парамид, равных парамиде $SABC$, так, чтобы у них совпадали вершины $S$, то конусы, вписанные в эти парамиды, будут образовывать систему, удовлетворяющую условиям задачи.

Обозначим через $l$ образуюшую конуса, а через $r$ — радиус окружности его основания. Из подобия пря-

36

Рис. 9.

модульных треугольников SCD и OCD найдем $SD = \frac{l^2}{r}$, из $\triangle CDB$ — $DB = l \mathrm{tg} \frac{\pi}{n}$. С другой стороны, из $\triangle SDB$ находится

$$SD = DB \cdot \mathrm{tg} \varphi = DB \frac{2 \mathrm{tg} \frac{\varphi}{2}}{1 - \mathrm{tg}^2 \frac{\varphi}{2}},$$

где $\varphi$ — угол SBD, то есть

$$\mathrm{tg} \frac{\varphi}{2} = \frac{OD}{DB} = \frac{r}{l \mathrm{tg} \frac{\pi}{n}}.$$

Синус половины искомого угла равен отношению $r/l$, которое легко определяется из полученного уравнения:

$$\frac{l^2}{r} = l \mathrm{tg}^2 \frac{\pi}{n} \frac{2 \frac{r}{l \mathrm{tg} \frac{\pi}{n}}}{1 - \frac{r^2}{l^2 \mathrm{tg}^2 \frac{\pi}{n}}}.$$

Ответ: $2 \operatorname{arcsin} \frac{\mathrm{tg} \frac{\pi}{n}}{\sqrt{1 + 2 \mathrm{tg}^2 \frac{\pi}{n}}}$

Задание 7. На плоское зеркало под углом α падаем лиу света. Зеркало поворачивается на угол β вокруг проекции лиу на зеркало. На какой угол отклонится отраженный лиу?

Пусть $A$ — неокторая точка на лиу, $B$ — точка падения лиу на зеркало, $A_1$ — точка, симметриная $A$ относительно данного зеркала, а $A_2$ — точка, симметриная $A$ относительно поверхности поверхности $A$ относительно поверхности $A_1$ и $A_2$ с точки $A$ на эти зеркала (рис. 9). Тогда $BA_1$ и $BA_2$ суть продолжения отраженных лучей и, следовательно, искомый угол равен $\not\prec A_1BA_2$.

В тетраэдре $AA_1A_2B$ (см. рис. 9) $D$ и $C$ — середины ребер $AA_1$ и $AA_2$ соответственно; плоскость BDC (плосокость поверхности $A_2$) перпендикулярна ребру $AA_2$, $AB = A_1B = A_2B$, $\not\prec ABA_1 = 2\alpha$, $\not\prec A_1AA_2 = \beta$. Отсюда легко находим:

$$A_1A_2 = 2DC = 2AD \sin \beta = 2AB \sin \alpha \sin \beta.$$

Теперь из $\Delta A_1BA_2$ находится нуждим нужный угол.

Ответ: 2 arcsin ($\sin \alpha \sin \beta$).

Переходя к самостояльному решению задач, список которых приводится в конце этой заметки, просмотрите внешательное еще раз решения задачи 1—7. На первый взгляд каждется, что во всех этих задачах необходимо весма сложный чертеж. Однако мы сумели обойтись простыми, в некоторых случаях даже число планиметрических чертежами. Чтобы проиллюстрировать достаточно трудную стереометрическую задачу простым чертежом, необходимо обладать хорошо развитым пространственным воображением. Доступается это практикой и только практикой.

Уражнения

1 (МГУ, физ. фак., 1963 г.). В конус помещены пять равных шаров. Четыре из них лежат на основании конуса, причем каждый из этих четырех шаров касается двух других, лежащих на основании, и боковой поверхности конуса. Пятый шар касается боковой поверхности и остальных четырех шаров. Определить объем конуса, если радиус каждого шара равен R.

2 (МГУ, хим. фак., 1968 г.). При шара радиуса $r$ лежат на нижнем основании правильной треугольной.prismsы, причем каждый из них касается двух других шаров и двух боковых граней.prismsы. На этих шарах лежит четвертый шар, который касается всех боковых граней и верхнего основания.prismsы. Определить высоту.prismsы.

3 (МФТИ, 1966 г.). В правильной четырехугольной пррамыле апофема равна сто-