Читатели предлагают задачи

57

Журнала «Квант» за 1973 год за успешное выступление в экспериментальном и теоретическомурах; В. Серенин (п. Хасын Магаданской обл., с. ш., 8 кл.) награжден призом завода «Красное Сормово», установленный для учатника олимпиды, прихавшего из «самой далекой точки» Советского Союза; И. Синсер (Лисаковск Кустаняской обл., с. ш. № 1, 8 кл.) награждена призом фабрики «Хохлома», установленный для девочки — победителя олимпиды; А. Слюсарь (Ижевск Удмуртской АССР, с. ш. № 30, 8 кл.) награжден призом Горьковского обома ВЛКСМ как самый юный победитель олимпиды; Г. Беспалова (Горький, с. ш. № 40, 9 кл.) награждена призом Министерства просвещения СССР, установленный для девочки — победителя олимпиды; В. Добрынин (Хмельницкий с. ш. № 17, 9 кл.) награжден призом газеты «Ленинская смена» за оригинальное решение задач; С. Качур (с. Ивановцы Мукачевского района, с. ш., 9 кл.) награжден призом завода «Красное Сормово», установленный для победителя олимпиды из сельской местности; А. Безлеский (Донецк, с. ш. № 10, 10 кл.) награжден подшивкой журнала «Квант» за 1973 год за успешное учатие в теоретическом и экспериментальномурах.

На закрытию олимпиды выступил академик А. В. Гапонов-Грехов. Он поздравил победителем и пожелал им дальнейших успехов. Затем учатники олимпиды посмотрели большей концерт коллективов детской художественной самоодеятельности Дворца культуры Автозавода.

В заключение мы хотим пожелать большеих успехов будущим «олимпийцам».

Читатели предлагают задачи

1. Доказать, что $(1 + 6 \cdot 0) + [1 + 6 (0 + 1)] + [1 + 6 (0 + 1 + 2)] + \{1 + 6 [0 + 1 + 2 + \dots + (n - 1)]\} = n^3$.
   Л. А. Максимов

2. Доказать, что уравнение $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 1$
   имеет только три целочисленных решений относительно неизвестных $x, y, z$.
   Н. Ф. Максимов

3. Доказать неравенства:
   a) $(1 + x)^n + (1 - x)^n \leq 2^n$ при $n > 1$, $|x| \leq 1$;
   b) $(1 + x)^n + (1 - x)^n \geq 2^n$ при $0 < n < 1$, $|x| \leq 1$.

4. А, В, С — углы остроугольного треугольника ABC. Что больше:
   $$\sin A + \sin B + \sin C$$
   с. т. Берковайко

5. Доказать, что $1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \dots + n (n + 1) (n + 2) = \frac{(n + 1) (n + 2) (n + 3)}{4}$.
   А. С. Савин

6. Решить уравнение $$\frac{x + y + z}{4} = \overline{x, yz}$$.
   А. А. Безносок

7. Решить уравнение $$\overline{abcd} + \overline{bcd} + \overline{cd} + d = 3022$$.
   Е. Ю. Гуеель