Задачи

59

Задания

1. У школьника была некоторая сумма денег монетами достоинством в 15 коп. и 20 коп., причем двацатикопеечных монет было больше, чем пятнадцатикопеечных. Пятую часть всех денег школьник истратил, отдав две монеты за билет в кино. Половину оставшихся денег он отдал за обед, оплатив его tremя монетами.

Сколько монет каждый достоинства было у школьника вначале?

2. Расстояние Земля — Солнце приблизительно в 387 раз больше расстояния Земля — Луна. Можно ли, пользоваться этим данных, оценить, во сколько раз объем Солнца больше объема Луны?

3. В ветреный день нам ставится теплое, если мы «спрячемся» от ветра. А одинаковы ли показания термометра на ветру и «за углом»?

4. «Московское время — 19 часов», — услышали мы, сидя за ужином в один из последних дней пребывания в доме отдельха. А на моих часах было без пятни семь. Но часы бегут вперед, расчитал я, и к моменту моого отъезда покажут точное время отхода поезда.

Часы моей соседки Тамары показали без четырех минут семь. Но часы убегали вперед на 3 мин. в сутки больше, чем мои. Тамара должна была уехать тем же позедом, норовно на сутки раньше меня. И ее часы к моменту отъезда тоже показали точное время.

На сколько минут в сутки спешат наши часы?

Рисунки Э. Назарова

61

тельный ответ. Покажем это на примерах.

Пример 2. Доказать, что уравнение
$$6(x^2 + y^2) = z^2 + t^2$$
неразрешимо в натуральных числах.

Пусть уравнение (4) разрешимо в натуральных числах. Правая часть уравнения (4) делится на 3. Легко доказать, что это возможно лишь тогда, когда числа z и t делятся на 3:
$$z = 3z_1, \quad t = 3t_1$$
при этом $z > z_1$, $t > t_1$, и потому $z^2 + t^2 > z_1^2 + t_1^2$. Подставляя найденные значения z и t в уравнение (4), получим
$$6(x^2 + y^2) = 9(z_1^2 + t_1^2).$$

Правая часть этого уравнения делится на 9, следовательно, на 9 делится и его левая часть. Это возможно лишь тогда, когда $x^2 + y^2$ делится на 3. Отсюда и из предыдущего немедленно вытекает, что
$$x = 3x_1, \quad y = 3y_1.$$
Тепер получим
$$6(9x_1^2 + 9y_1^2) = 9(z_1^2 + t_1^2)$$
и, сокращая на 9,
$$6(x_1^2 + y_1^2) = z_1^2 + t_1^2.$$
Посленее уравнение только индексами отличается от уравнения (4). Итак, построен процесс, который для каждой решения уравнения (4) дает еще одно решение с меньшим корнями: $x_1 = x/3$, $y_1 = y/3$, $z_1 = z/3$, $t_1 = t/3$. А это невозможно, поскольку последовательность, например $t_1 > t_2 > \dots > 0$, конечна.

Уражение 2. Доказать, что уравнение
$$7(x^2 + y^2) = z^2 + t^2$$
не имеет решений в натуральных числах.

Уражение 3. Доказать, что уравнение
$$x^2 + y^2 + z^2 = 2xyz$$
неразрешимо в натуральных числах.

Пусть уравнение (5) разрешимо в натуральных числах. Правая часть уравнения (5) делится на 2, следовательно, и его левая часть делится на 2. Это возможно лишь тогда, когда лево x, y, z — четные числа, либо одно из них — четное, а два других — нечетные. В последнем случае правая часть уравнения (5) делится на 4, а левая — только на 2. Итак, числа x, y, z — четные:
$$x = 2x_1, \quad y = 2y_1, \quad z = 2z_1.$$
Подставляя найденные значения z и t в уравнение (5), найдем, что
$$x_1 = 2x_2, \quad y_1 = 2y_2, \quad z_1 = 2z_2, \quad x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 = 8x_2y_2z_2.$$
Соответственно $x_k = 2x_{k+1}$ приводит к бесконечной последовательности
$$x > x_1 > x_2 > \dots > x_k > x_{k+1} > \dots > 0.$$
Но эта последовательность натуральных чисел обязана быть конечной. Следовательно, уравнение (5) в натуральных числах неразрешимо.

Пример 4. Доказать, что диагональ квадрата несозмерима с его стороной.

Отложим на диагонали квадрата от точки B его сторону $AB = BD_1$ (см. рисунок), это удastoreть только один раз. Из полученной точки D$_1$ восстановим к диагонали квадрата перепendlukляр, который пересечет сторону квадрата в точке B$_1$, и соединим B$_1$ с B; треугольники $AB_1B$ и $BB_1D_1$ равны, так как они прямогольные, сторона $BB_1$ — общая и $BD_1 = BA$ по построению. Следовательно, $AB_1 = D_1B_1$.

В прямогольном треугольнике $B_1CD_1$ имеем $B_1CD_1 = 45^\circ$ (BC — диагональ квадрата), следовательно, и $CB_1D_1 = 45^\circ$, и потому $B_1D_1 = D_1C$. Мы доказали, что $AB_1 = B_1D_1 = D_1C$, откуда $D_1C < CD$. Восстановим теперь перепendlukляр к диагонали CB в точке C, отложим на