Олимпиада по математике

40

VIII Всегоозная
олимппада
ШКОЛЬНИКОВ

Л. Г. Лиманов,
М. Л. Смолянский

Олимппада по математике

С 11 по 17 апреля 1974 года в столице Армянской Республики Евразеа проходит заключительный этап VIII Всегоозной олимппады школьников по математике.

Взяв старт в декабре 1973 года, олимппада успешно пришла к своему финишу. Много работы пришлось проделать школьникам за это время. Они участвовали в современных в школах, районах, области или ресурсных. И вот школьники, с успехом прошедшие три этапа, снова сели за парты, чтобы принять участие в четвертом, наиболее ответственном этапе Всегоозной олимппады.

Кроме победителей области и ресурсikanских олимппад к участию в заключительной.type были допущены также призеры VII Всегоозной олимппады. Всего в заключительной.type принял участие: по 8 классам — 169 человек, по 9 классам — 212 человек и по 10 классам — 220 человек.

11 апреля в здании Евразеанского университета состоялось торжественное открытие заключительного.type VIII Всегоозной олимппады. С привêtствием к школьникам образились министр просвещения Армении С. Т. Ахумян, председатель жюри олимппады член-корреспондент АН СССР С. Мергелян и другие. Было также считано привêtствие министра просвещения СССР М. А. Прокофьева:

«Дорогие ребята! Сегодня в городах Донецке, Горьком и Евразеа встречаются лучшие представители области, соозных и автономных ресурсных нашей страны — юные физики, химики и математики, проявившие интерес к науке, умение упорно трудиться, оригинально мысLISTЬ и самостояльно работать с книгой.

Эти качества помогут вам справиться с поставленными вопросами. Известно, что выигравают сильнейшие. Но выше участвие в этой олимппаде позволяет надеться, что она обогатит вас и приведет к осуществлению той цели, которую вы ставите перед собой.

Желаю вам больше успехов в овладении знаниями! Пусть никакода не ослабевет ваша увлеченность наукой, творческое отношение к делу!»

12 и 14 апреля состоялись I и II туры заключительного.type олимппады. Всего школьникам каждого класса было предложено по 7 задач. На решение задач каждого типа ответилось по 4 часа.

В этом году наряду с типичными «олимппадными» задачими, одинаково доступными школьникам 8, 9 и 10 классов, для решения которых требуется только остроумение, умение логически рассудить, давались также задачи, при решении которых нужно было предложеть неокоторые технические трудности.

41

В целом участники олимпиады справились с предложенными задачими успешно. «Непосильных» задач не оказалось: каждую задачу решил хотя бы один школьник. Некоторые же школьники решили все предложенные задачи. Статистику решения каждой задачи по классам вы видите в таблице.

Приведем теперь тексты предлагавшихся задачи и решения некоторых из них*).

8 класс
Первый день

1. На карточках написаны числа, каждое из которых равно +1 или —1. Разрешается, указывав три карточки, просить: «Чему равно произведение чисел на этих карточках?» (Сами числа нам не сообщают.) Кажоем наименьшее число таких вопросов надо задать, чтобы узнать произведение чисел на всех карточках, если число карточек равно: a) 30; b) 31; b) 32?

В каждом случае докажите, что меньше числом вопросов обойтись нельзя.

2. Среди чисел вида 36ᵉ —5ᵉ, где k и l — натуральные числа, найдите наименьшее по абсцилной величины. Докажите, что найденное число действительное наименьшее.

3. a) Каждая из сторон выпуклого шестугольника имеет длину больше 1. Всерда ли в нем найдется диагональ длины больше 2?

*) Мы даем полные тексты всех заданных. Част из них была уже опубликована в «Задачнике «Квант», см. «Квант», 1974, №7, 8.

6. В выпуклом шестугольнике ABCDEF длины диагоналей AD, BE и CF больше 2. Все данные стороны стороны длины больше 1?

Второй день

4. Найдите все натуральные числа n и k такие, что nᵉ имеет k цифр, а kᵉ имеет n цифр.

5. На катетах CA и CB равноведренного прямогоного треугольника ABC выбраны соответственно точки D и E так, что CD = CE. Продолжения перпендикуляров, опущенных из точки D и C на прямую AE, пересекают гипотенуzy AB соответственно в точках K и L. Докажите, что KL = LB.

6. На шахматной доске 8×8 двое играют в игру «кошки — мыши». У первого одна фишка — мышка, у второго несколько фишка — кошек. Все фишки ходят одинаково: вправо, вплево, вверх или вниз на одну клетку. Если мышка оказылась на краю доски, то очередным ходом она спрыгивает с доски; если мышка и мышка попадают на одну клетку, то мышка съедает мышику.

Играющие ходят по очереди, причем второй передиграет своим ходом всех конек сроку (разных конек можно при этом сdvигать в разных направлениях). Начинает мышка. Она старается спрыгнуть с доски, а конки старются до этого ее съедать.

a) Пусть конек всего две. Мышка уже поставлена на какую-то клетку не на краю. Можно ли так поставить конек на краю доски, чтобы они сумели съедать мышику?

b) Пусть конек три, но загошли ход: в первый раз она делает два хода подряд. Докажите, что мышка сможет убежать от конек, каково бы ни было начальное расположение фишек.

7. Докажите, что числа 1, 2, 3, …, 32 можно расставить в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их получим не равня-

42

9 класс
Первый день

1. Найдите наименьшее число вида $|36^k - 5^l|$, где $k$ и $l$ натуральные числа.
2. Даны две окружности радиусов $R$ и $r$, касающесая внешним образом. Строятся различные трапеции $ABCD$ так, чтобы каждая из окружностей касалась обеих боковых сторон и одною из оснований трапеции. Найдите наименьшую возможность длину боковой стороны $AB$.
3. По окружности написано 50 чисел, каждое из которых равно +1 или -1. Требуется узнать произведение всех чисел. За один вопрос можно узнать произведение трех стороны чисел. Какое наименьшее число вопросов необходимо задать?
4. На плоскости даны $n$ векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех $n$ векторов равна нулю вектору. Докажите, что векторы можно занутеровать так, чтобы при всех $k = 1, 2, \dots, n$ выполнялись следующее условие: сумма векторов имеет длину не более 2.
   Второй день
5. Найдите все трехзначные числа $A$, обладающие следующим свойствам: среднееарифметическое всех чисел, получающих из числа $A$ различными перестановками его цифр, равно $A$.
6. Дан выпуклый многоугольник, в котором нельзя поместить никакой треугольник площади 1. Докажите, что этот многоугольник можно поместить в треугольник площади 4.
7. Можно ли 1, 2, 3, …, 100 расставить в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их получuma не равнялась ни одному из чисел, поставленных между ними?
   10 класс
   Первый день
8. При каких действительных $a, b, c$ равенство
   $$|ax + by + cz| + |bx + cy + az| + |cx + ay + bz| = |x| + |y| + |z|$$
   верно для всех действительных $x, y, z$?
9. Дан квадрат $ABCD$. Точки $P$ и $Q$ лежат соответственно на сторонах $AB$ и $BC$, причем $BP = BQ$. Пусть $H$ — основание перпендикулара, опущенного из точки $B$ на отрезок $PC$. Докажите, что угол $DHQ$ — прямой.
10. Задано несколько красных и несколько синхус точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовем точку «особой», если более половины из соединенных с ней точек имеют цвет, отличный от ее цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбирается любая особая точка и перекрашивается в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется ни одной особой точки.
11. На плоскости даны $n$ векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех векторов равна нулю вектору. Докажите, что векторы можно занутеровать так, чтобы при всех $k = 1, 2, \dots, n$ выполнялись следующее условие: сумма векторов имеет длину не более 2.
    Второй день
12. На отрезке $0 \leq x \leq 1$ задана функция $f$. Известно, что эта функция неотрицательна и $f(1) = 1$. Кроме того, для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$ и $x_1 + x_2 \leq 1$, выполнялось следующее условие: сумма векторов имеет длину не более 2.

6. Верно ли, что для всех $x$
   $$f(x) \leq 1, 9 x$$

6. Дан треугольник $ABC$ площади 1. Пусть $A_1, B_1$ и $C_1$ — середины сторона $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Какую минимальную площадь может иметь общая часть треугольников $A_1B_1C_1$ и $KLM$, если точки $K, L$ и $M$ лежат соответственно на отрезках $AB_1, CA_1$ и $BC_1$?
7. Можно ли расставить числа 1, 2, 3, …, 100 в таком порядке, чтобы ни для каких чисел их получuma не равнялась ни одному из чисел, поставленных между ними?
   Решения
   8 класс, задач 1. В случае a) нужно задать 10 вопросов, в случае b) — 11, а в случае b) — 12.
   Покажем сначала, что в каждом из случаях обойти указанным числом вопросов.
   a) Разложим нади тридцать карточки на десять стопок по три карточки и составим еще одну стопку из оставшихся семи карточек. Задав восемь вопросов, узнаем произведение чисел в первых восемь стопках. Произведение же чисел на оставшихся семи карточках можно узнать, задав три вопроса так, как это изобравено на рисунке 1. Итого — одинадцать вопросов.
   b) Разложим карточки в девять стопок по три карточки и одну стопку из пятей карточек. Чтобы за три вопроса узнать произведение чисел, стоящих на пятей карточках, нужно поступить так, как показано на рисунке 2.
   Теперь нужно доказать, и это наиболее трудная часть задачи, что в случае a) нельзя

43

обойтись девятью вопросами, в случае 6) — десятью, а в случае в) — одинадцатью.

a) Если задать меньше десяти вопросов (например, девять), то наверняка найдется карточка, про которого мы не просили ни разу. Поменяв знак написанного на ней числа, мы не изменим полученных ответов. Однако знак произведения при этом изменится. Значит, по полученным ответам произведение восстанавливается нельзя.

Случай 6) аналогичен случай a).
b) Сообщений, приведенных выше, здесь уже недостаточно, поскольку можно задать одинадцать вопросов так, чтобы каждая карточка была хотя бы в один вопрос. Однако сделать это можно единственным способом: про одну из карточек спроить два раза, а про каждую из оставшихся —ровно один. Два вопроса, в которых вышада одна общая карточка, показаны на рисунке 3. На нем же показаны замены знаков, не меняющие ни одного ответа, но меняющие знак произведения.

8 класс, задача 4. Докажем, что $n = k$.

Предположим, что $n > k$. Тогда

$$n^n > k^n > k^k;$$

но число $n^n$ имеет $k$ цифр, а потому должно быть меньше числа $k^k$, имеющего $n$ цифр. Аналогично не может быть $n < k$, и поэтому $n = k$. Остается выяснить, когда у числа $n^n$ будет $n$ цифр. Заметим, что $n$ не может быть больше десяти: если $n > 10$, то $n^n > 10^n$, а $10^n$ имеет $n + 1$ цифр; если же $n < 10$, то $n^n < 10^n$ и поэтому у $n^n$ не больше чем $n$ цифр. Убедиться в том, что подходят значения $n = 1$, $n = 8$ и $n = 9$.

$$9^9 > 8^4 \cdot 10^4 \cdot 9 > 6^2 \cdot 10^6 \cdot 9 > 3 \cdot 10^7 \cdot 9 = 27 \cdot 10^7 = 270 000 000.$$

Позному у $9^9$ девять цифр.

$$8^8 > 6^4 \cdot 10^4 = 36^2 \cdot 10^4 > 108 \cdot 10^5 > 10^7.$$

Рис. 4.

44

Рис. 5.

6. Проведем через клетку, на которой стоит мышка, обе диагонали. Эти диагонали разобьют доску на четыре сектора (рис. 5). Поскольку кошек три, внутри одного из этих четырех секторов кошек нет. Проведем (горизонтальный или вертикальный) отрезок, соединяющий мышку с краем доски внутри этого сектора (красный отрезок на рисунке 5). Докажите, что если мышка отправится по этому отрезку прямо к краю доски, то она убежит от кошек.

9 класс, задача 5.
$$A = 10^2 a + 10 b + c$$
где $a, b$ и $c$ — цифры числа $A$. Им нужно найти такие $A$, что $3 A = (10^2 + 10 + 1)(a + b + c)$.
Отсюда
$$37 (a + b + c) = 10^2 a + 10 b + c.$$
Следовательно,
$$63 a = 27 b + 36 c$$
или
$$7 a = 3 b + 4 c.$$
Предположим, что $b \geq c$. Если $7 a = 3 b + 4 c$, то $7 (a - c) = 3 (b - c)$. Отсюда
$$b - c = a - c = 0$$
или
$$b - c = 7, a - c = 3.$$
Если же $b < c$, то $7 (a - b) = 4 (c - b)$, откуда
$$c - b = 7, a - b = 4.$$
(Напомним, что $a, b$ и $c$ — цифры). Окончательно получаем следующие решения: числа $A$, у которых все цифры одинаковы (таких чисел девять); числа 370, 481, 592 и числа 407, 518, 629 — всего пятнадцать чисел.
9 класс, задача 6. Средние треугольников с вершинами в вершинах данного многоугольника выберем треугольник $t$ максимальной площади (поскольку таких треугольников конечное число, то треугольник $t$ найти можно) и построим его.
Проведем через вершины треугольника $t$ прямые, параллельные противолежащим столбцами (рис. 6). Получим треугольник $T$, площадь которого в четыре раза больше площади треугольника $t$. По условию задачи площадь треугольника $T$ меньше четырех, что треугольник $T$ содержит данные многоугольник. Действительно, внутри полплоскости $I, II$ и III (рис. 7) не может быть вершин нашего многоугольника — иначе нашеся бы треугольник с площадью, больше площади треугольника $t$. Отсюда и из вышеложности данного многоугольника следует, что он лежит в треугольнике $T$.

10 класс, задача 1. Подставим в данное равенство последовательно $x = 1, y = = z = 0, x = y = z = 1$ и $x = 1, y = -1, z = 0$. Получим, что
$$|a| + |b| + |c| = 1,$$
$$|a + b| + |c| = 1,$$
$$|a - b| + |b - c| + |c - a| = 2.$$
Из равенств (1) и (2) видно, что числа $a, b$ и $c$ либо все неотрицательны, либо $a \geq b \geq c \geq 0$. Из (3) тогда следует, что $a - c = 1$. Из этого равенства и из (1) получаем, что $a = 1, b = c = 0$. Поскольку $a, b$ и $c$ входят в равенства (1), (2) и (3) симметрично, получаем окончательно следующее ответ:

Рис. 7.

46

Зам. главного редактора журнала «Квант»
М. Л. Смолянский вручает премию журнала абсолотному победителю олимпиады Д. Тюковнику

(Нахчевань, с.ш. № 3), А. Деетярев (Камышин, с.ш. № 8), А. Кленцын (Ульяновск, с.ш. № 25), И. Кормильченко (Орджонкидзе, школа-интегат № 2), С. Лукьяненко (Москва, школа-интегат № 18), А. Мальцев (Краснойский край, Курганский р-н, с.ш. № 1), А. Мельник (Новосибирск, с.ш. № 127), И. Панин (Ленинград, школа-интегат № 45), Ю. Пасс (Ленинград, с.ш. № 121), В. Федоров (Москва, школа-интегат № 18), С. Хазанов (Куйбышев, с.ш. № 41);

по 9 классам — В. Гейзель (Новороссийск, с.ш. № 40), К. Гробдрук (Ворошиловград, с.ш. № 26), А. Карабеков (Ереван, школа-интегат № 1), А. Корнищин (Москва, школа-интегат № 18), А. Музыкантов (Новосибирск, с.ш. № 130), А. Резников (Киев, с.ш. № 145), Б. Розенштейн (Каменец-Подольский, с.ш. № 8), К. Рыбасов (Киев, школа-интегат при КГУ), Б. Спокойный (Новокузнецк, с.ш. № 11), Г. Шмелев (Ярославль, с.ш. № 20);

по 10 классам — В. Бойко (Киев, школа-интегат при КГУ), А. Браилов (Москва, с.ш. № 2), А. Владиславский (Красногорск Московской обл., с.ш. № 7), А. Вятчин (Павлово Горьковской обл., с.ш. № 1), А. Григорян (Баку, с.ш. № 211), Гром-Мазничевский (Киев, с.ш. № 145), М. Гусаров (Ленинград, с.ш. № 30), Л. Данилов (Москва, школа-интегат № 18), В. Козырев (Ленинград, школа-интегат № 45), П. Корнилов (Москва, школа-интегат № 18), Н. Лукьянец (Одеcca, с.ш. № 116), В. Перцель (Москва, школа-интегат № 18), А. Поносов (Пермь, с.ш. № 9), С. Фомин (Ленинград, школа-интегат № 45), Е. Шустин (Ленинград, школа-интегат № 45).

Дипломы III степени

получили следующие участники олимпиады:

по 8 классам — А. Белошапко (пос. Вышков Новозыбковского района Брянской обл., Вышковская с.ш.), Е. Белов (Оренбург, с.ш. № 12), З. Берkalцев (Караганда, с.ш. № 1), Р. Даян (Ереван, с.ш. № 42), Д. Иванов (Калинин, с.ш. № 6), А. Кашапова (Уфа, с.ш. № 55), Д. Кондаков (Новосибирск, с.ш. № 22), Е. Ландман (Ленинград, с.ш. № 531), В. Леднев (Ижевск, с.ш. № 30), А. Лейдерман (Могилев-Подольский, с.ш. № 5), И. Морозов (Горький, с.ш. № 184), М. Мухамеджанов (Ташкент, с.ш. № 110), С. Тимашин (Кировабад, с.ш. № 13), Ю. Шербиц (Могилев, с.ш. № 3), Б. Яцало (Морочное Ровенской обл., с.ш. № 1);

по 9 классам — Е. Байсалов (Алма-Ата, школа-интегат РФМШ), И. Бахмутский (Львов, с.ш. № 52), С. Белолевов (Пермская обл., Усть-

47

Члены жюри олимпиды

Кищерская с.ш.), А. Блох (Харьков, с.ш. № 27), Д. Ботвищ (Курская обл., с.ш. № 7), Л. Генкин (Горький, с.ш. № 40), О. Ефремов (Ангарск, с.ш. № 10), М. Кац (Москва, школа интернант № 18), Ф. Кремзер (Новосибирск, с.ш. № 165), А. Осипов (Москва, с.ш. № 91), В. Продницек (Латвийская ССР, Лиелвардская с.ш.), Е. Романовский (Киев, с.ш. № 145), А. Черебамов (Омск, с.ш. № 80), А. Черкун (Тула, с.ш. № 61);

по 10 классам — М. Баум (Москва, школа-интернант № 18), И. Белоелов (Канев Черкасской обл., с.ш. № 4), А. Берлин (Бобрыйск, с.ш. № 3), А. Буяновский (Гомель, с.ш. № 28), В. Данилов (Петушки Владимирской обл., с.ш. № 3), В. Дубицкий (Ленинград, с.ш. № 239), С. Елисеев (Москва, с.ш. № 179), А. Заславский (Калинин, с.ш. № 20), В. Карапетян (Ереван, школа-интернант № 1), А. Колдова (Ворошиловград, с.ш. № 2), А. Кристаль (Ленинград, с.ш. № 30), А. Макариев (Львов, с.ш. № 14), М. Панченко (Бровары, с.ш. № 5), В. Паньков (Минск, с.ш. № 93), А. Рейтсакас (Таллин, с.ш. № 19), Г. Скляр (Харьков, с.ш. № 27), И. Старовице (Горький, с.ш. № 82), И. Шербина (Днепропетровск, с.ш. № 80).

Похвальные отзывы I степени поучили 92 и II степени — 123 участника олимпиды.

Призами жюрнала «Квант» за абсолотно лучший результат были нагружены: ученик 10 класса с.ш. № 11 г. Иркутска Д. Тюковкин и самый юный победитель олимпиды, ученик 8 класса с.ш. № 1 г. Севастополя Д. Лимвиенко.

Кроме того, годовой подпиской на журнал «Квант» на 1975 год нагружены победители олимпиды — учащиеся сельских школ:

1. А. Белошапко — 8 кл., п. Вышков Брянской обл.;
2. А. Криворученко — 8 кл., п. Ушаты Витебской обл.;
3. В. Яцало — 8 кл., с. Морочное Ровенской обл.;
4. Д. Ботвищ — 9 кл., с. Камышино Курской обл.;
5. В. Печенков — 9 кл., с. Красный Кут Приморского края.

В заключение нам хочется сказать не только ученике — доктора и кандидаты наук,— но и студенты, бывшие еще совсем недавно школьниками — участниками олимпиды, их победителями. Поэтому жюри в целом довольно «молодое», средний «возраст» членов жюри меньше 30 лет. Во время олимпиды жюри выполняет огромную работу. Начинается эта работа уже задолго до официального открытия олимпиды: ведь более чем изста задан, подготовленных членами жюри, нужно отбрать двадцать одну наиболее интересную и оригинальную иметь привлекательную формулировку, выражать достаточно интересный