Признак делимости на 29

62

нем отрезок $CA_1 = D_1B_1$ и соединим точку $A_1$ с точкой $B_1$. Четырехугольник $A_1B_1D_1C$ — квадрат с диагональю $B_1C$.

Процесс построения квадратов можно продолжить. При этом мы получим бесконечную последовательность отрезков

$$CD_1 > CD_2 > CD_3 > CD_4 > \dots > 0;$$

каждый из них есть разность между диагональю и стороной одного и того же квадрата; легко найти выражения для их длины:

$$CD_1 = CB - AB, CD_2 = CB_1 - A_1B_1, \dots$$

Пусть теперь диагональ и сторона исходного квадрата созмерны, то есть существует такой отрезок $e$ — единница длины, — который укладывает целое число раз и в диагонали $BC$, и в стороне $AB$ квадрата, то есть длины отрезков $BC$ и $AB$ выражаются целыми числами. В таком случае и длина отрезка $CD_1 = CB - AB$ выражается целым числом, и длина диагонали $B_1C$ квадрата $A_1CD_1B_1$, равная разности $AC - AB_1 = AB - CD_1$, — целое число.

Итак, мы построили бесконечную последовательность убивающих целых положительных чисел

$$CD > CD_1 > CD_2 > \dots > CD_h > \dots > 0$$

(здесь $CD_i$ это длина отрезка $CD_i$), хотя бесконечной она быть не может. Полученное противоречие доказывает неисперимость диагонали квадрата и его стороны.