Представления числа 1974

37

роне основания. Внутри примыды расположены два шара: шар радиуса $r$ касается всех боковых граней; шар радиуса $2r$ касается основания и двух смежных боковых граней; оба шара касаются друг друга внешним образом. Найти апофему этой примыды.

4. (МФТИ, 1973 г.). Два равных шара касаются друг друга и граней двумгранного угла $2\alpha$. Пусть $A$ — точка касания одного шара с одной граью угла, а $B$ — точка касания другого шара с другой граью угла. В каком отношении отрезок $AB$ делится сферами?

5. (МГУ, механико-математический факультет, 1968 г.). Дана правильная четырехугольная примма $SABCD$ (S — вершина) со стороны основания $a$ и боковым ребром $a$. Сфера с центром в точке $O$ проходит через точку $A$ и касается ребер $SB$ и $SD$ в их серединах. Найти объем примыды $OSCD$.

6. (МГУ, химический факультет, 1971 г.). Правильный треугольник со стороны $a$ лежит в плоскости $P$. Средним линиями он разделен на четыре треугольника, и на трех из них, прямых каоших к вершинам, построены, как на основаниях, три правильные треугольные примыды высотой $a$. (Все три по одному сторону от плоскости $P$). Найти радиус шара, лежащого между примыдами и касающейся как плоскости $P$, так и всех трех примыд.

7. (факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ, 1972 г.). Боковые ребра правильной треугольной приммы $SABC$ наклонены к плоскости основания под углом $45^\circ$. Шар касается плоскости основания $ABC$ в точке $A$ и, кроме того, касается вписанного в примму шара. Через центр первого шара и высоту $BD$ основания проведена плоскость. Найти угол наклона этой плоскости к плоскости основания.

8. Оси трех равных, попарно касающиеся цилиндрических поверхностей взаимно перпендикулярны. Найти радиус наиболее цилиндрической поверхности, которая может пройти между данными цилиндрами, если радиус данных равны $r$.

Представления числа 1974

1. $(1 + 9 + 7 + 4) \times [(19 + 74) - (1 + 9 - 7 - 4)] = 1974$.

2. $1! [9^3 + 7^3 + (4!)^2] + (1 + 9)^2 \cdot (7 - 4) + (1 + 9 + 7 - 4) \cdot [1974^0 + (\sqrt{1} + \sqrt{9} + 7^0 - 4)] = 1974$.

3. $(1 + 9)^3 + (7 + 4)^3 - (1 + 9 + 7^3 + 4) = 1974$.

4. $(1 \cdot 9 + 7 \cdot 4)^2 + 1 \cdot 9 \times 7 \cdot 4 + 1^0 \cdot 9^0 \cdot 7^3 \cdot 4^0 + (1 + 9) \cdot 7^0 \cdot 4^0 = 1974$.

5. $(1 + 9 \cdot 7 \cdot 4) \times (1 + 9 - 7 + 4) + (1^0 + 9 \cdot 7 + 4^0) \times (1 - 9 + 7 + 4) + \sqrt{(1 + 9 \cdot 7)} \cdot \sqrt{4} = 1974$.

6. $[(1 + 9 + 7 + 4)^2 + (1 + 9 + \sqrt{7} + 4) \times (\sqrt{9} \cdot 7^0 \cdot 4^0 + (1^0 + 9^2 + 7^0 + 4^0) = 1974$.

7. $(1 \cdot 9 + 7)^2 \cdot 4 + (1 + 9)^3 - 7^2 - 4^0 = 1974$.

8. $(1 + 9^2 + 7 \cdot 4) \cdot 1! \times \sqrt{9} \cdot (7 - 4)! - \sqrt{1} \cdot \sqrt{9} \times 7^0 \cdot \sqrt{4} = 1974$.

А. Ф. Гулиев