Электрон излучает фотоны

7

Классическая теория излучения

Существование в природе электромагнитного поля — давно и хорошего установленный факт. Заряженная частница, помещенная в электромагнитное поле, начинает дивгаться ускоренно. Следовательно, она испытывает воздействие со стороны электромагнитного поля. Поле, ускорязая заряд, производит над ним работу, а само теряет некоторое количество энергии — поле слабое, то есть действует на единичный заряд с меньшей силой. Наоборот, если поле замедляет заряд, оно усиливается. Иными словами, к первоначальному полю добавляется новое, созданное зарядом. Ослабление поля тоже можно рассматривать как добавление нового, созданного зарядом поля, но направление дополнительного поля противоположно направлению первого.

Эксперименты показали, что поле, создаваемое зарядом, зависит от величины заряда и от характеристики. Причина, вызвающая движение заряд, совершенное несуществование. Для вычисления поля, создаваемого движущимся зарядом, нужно решить систему дифференциальных уравнений (это и есть замененные уравнения Максвелла).

Для нас сейчас важно сам факт: движущийся с укоренением заряд может изменять энергию электромагнитного поля. Это явление называется излучением. Отметим, что хорошо известный закон Кулона, в силу которого поле неодвижного заряда может быть раз и нассгда подсчитано в любой точке пространства, показывает, что неодвижный заряд не излучает. В самом деле, поле такого заряда не изменяется с течение времени, то есть не изменяется энергия поля.

Проведем мысленный эксперимент. Возьмем неподвижный заряд. Заставим его описать окружность, вернуться в исходную точку и оставиться. Какой будет картина электромагнитного поля? На первом этапе, когда заряд неодвижен, он создает общное электростатическое поле. В течение второго этапа создается неодвижное поле. Исчезнет ли оно после того, как заряд остановится? Нет, не исчезнет! Но позвольте, ведь вокруг неподвижного заряда поле должно быть электростатическим. Неужели это неверно?

Верно, но не совсем. Созданное на втором этапе дополнительное электромагнитное поле начинает деформировать, так что спустя t секунд после остановки заряда внутри шара радиуса ct (c — скорость света) (рис. 1) устанавливается кулоновское поле. Вне этого шара поле будет существенно отличаться от кулоновского. Итак, поле излучения быстро удаляется от того места, где оно было создано, уступая кулоновскому полю все новые и новые области пространства. Подчерким, что это свойство — «убегать» со скоростью света от места зарожжения (и уносят

8

с собой всю полученную от движущихся зарядов энергии) — общее свойство излучения.

Отметим одно важное обстоятельство. Так как электромагнитное поле излучения уносит с собой всю полученную от движущшегося заряда энергии, то плотность энергии такого поля, то есть энергия, приходящая на единицу объема, уменьшается обратно пропорционально объему шарового слоя, в котором оно находится. Этот объем пропорционален квадрату радиуса *). Поэтому плотность энергии поля излучения обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника. Значит, плотность энергии электросатического поля убивает как четвертая степень расстояния, то есть гораздо быстрее, чем плотность энергии поля излучения. Эти и обьясняется, почему для радиосвязи используется поля излучения, а не электросатические поля.

*) Действительно, объем шарового слоя радиуса $R$ и толщины $\Delta R$ равен $S\Delta R = 4\pi R^2\Delta R$ (S — площадь поверхности шара), поскольку $\Delta R$ мало по сравнению с $R$.

**) См. учебное пособие «Физика-9», § 86.

Рис. 1.

Какие же волны излучает заряженная частьца, движущаяся сускорением? Частота излученной волны зависит от характера движения частицы. Если частота совершенное колебания с частотой $v_0$, то и частота излученных волн будет равна $v_0$.

Классическая электродинамика (уравнения Максвелла) дает возможность вычислить интенсивность излучения, то есть количество энергии, излученной за единицу времени. Так, например, интенсивность излучения движущогося сускорением $a$ заряда $e$ равна

$$I = \frac{2e^2a^2}{3c^3}.$$

В системе СГСЭ интенсивность излучения можно вычислить с точностью до коэффициента 2/3, если знать, от чего она зависит. В этой системе все единицы выражаются через три основные: длины, массы и времени. (В системе СИ основных единиц четыре — добавляется еще единица силы тока. Поэтому электросатические единицы не выражаются через механические, и такое рассмотрение проводится нельзя.)

Величина интенсивности излучения определяется зарядом $e$, имеющим размерность $(e^{1/2} \cdot cm^3/2 \cdot c^{-1})$, егоускорением $a$ $(cm \cdot c^{-2})$ и скорость света $c$ $(cm \cdot c^{-1})$. Из этих величины можно построить только одну комбинацию, имеющую размерность $(\partial p \cdot c^{-1})$, которая приводит к выражению (1). Попробуйте проверить это.

Формула (1) показывает, что заряд, движущийся с постоянной скоростью ($a = 0$), не излучает. Этот же вызов можно получить и более простым рассудением. Покоящая частьца не может излучить электромагнитную волну, так как ей неоткуда взять для этого энергия. Следовательно, и частца, летящая с постоянной скоростью $v$ в пустоте, тоже не может излучать — ведь по принципу относительнойности Галлия всегда

9

Да можно выбрать эквивалентную систему отчета, в которой эта частница поконтся.

Есть еще один важный случай, когда движущиеся заряды не излучают. Расмотрим постоянный ток, текущий по какому-либо кривой ному контуру. Из эксперимента и из теории хорошего известного, что такой ток создает постоянное магнитное поле, но не излучает. Но ведь всякий ток есть движение заряженных частниц. Каждый из этих частниц, как мы знаем, создает поле излучения. Почему же эти заряды, взятые вместе, не излучают? Оказывается, поля излучения, создаваемые разными частцами, компенсируют друг друга с такой точностью, что в результате остается чисто статическое поле. Можно считать, что в этом случае заряженные частцы движут с одинаковой постоянной средней скоростью, и излучение отсутствует.

С помощью уравнения Максвелла можно установить общий факт: если расположение токов и зарядов в пространстве не зависит от времени, то излучение отсутствует.

Планетарная модель атом и излучение

Временно игнорируя квантовую природу атомных частниц, опишем язык классического физики простейший atom — atom водорода, состоящий из одного протона и одного электрона.

Электрон врашается вокруг протона по окружности радиуса $r_B^*$ (рис. 2), так что сила, вызывающая центростремительное ускорение, $mv^2/r_B$, равна кулоновской силе приженяния $e^2/r_B^2$ (м—масса электрона):

$$\frac{mv^2}{r_B} = \frac{e^2}{r_B^2}.$$

Отсюда можно выразить скорость врашения электрона

$$v^2 = \frac{e^2}{mr_B}.$$ (2)

Скорость электрона тем больше, чем меньше расстояние между ним и протоном.

Полная энергия электрона в atomе водорода — это сумма его кинетической энергии $E_{kин} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{e^2}{2r_B}$ и псевдопространной $E_{пот} = -e^2/r_B$:

$$E = \frac{e^2}{2r_B} - \frac{e^2}{r_B} = -\frac{e^2}{2r_B}.$$ (3)

Классическая физика не может обьясить тот факт, что все atoms водорода имеют один и тот же размер. Мы пока просто примем, считая это экспериментальный фактор, что у всех atoms водорода $r_B \approx 10^{-10} m$.

Centростремительное ускорение электрона при движении по окружности равно

$$a = \frac{v^2}{r_B} = \frac{e^2}{mr_B^2}.$$

Но ведь если электрон движется с ускорением, он излучает. Какова интенсивность этого излучения, мала она или велика? Оценим ее, подставив в формулу (1) значение ускорения $a$:

$$I = \frac{2e^2}{3c^3} \left( \frac{e^2}{mr_B^2} \right)^2 = \frac{2e^6}{3c^3m^2r_B^4}.$$

Хотя все величины, входящие в эту

$$*) r_B$$ — радиус так называемой борвской орбиты электрона.

10

формулу, известны, и мы можем вычислить, какое количество энергии в секунду излучает электрон, ответ мало что скажет, ведь в мире атомов теряются общие представления. Поступим иначе. Вычислим, какую энергию $\Delta E$ теряет электрон за время одного оборота вокруг ядра — за один период $T = \frac{2\pi r_B}{v}$:

$$\Delta E = I \frac{2\pi r_B}{v} = \frac{4\pi}{3} \frac{e^5}{r_B^{5/2} m^{3/2} c^3}.$$

Преобразуем это выражение к виду

$$\Delta E = \frac{8\pi}{3} \left( \frac{1}{r_B} \frac{e^2}{mc^2} \right)^{3/2} \frac{e^2}{2r_B}.$$

(4)

В этой формуле член $\frac{e^2}{2r_B} = E_a$ — характерная «atomная» энергия электрон в atomе. Следовательно, все сстальные величины, входящие в формулу (4), должны образовать безразмерную комбинацию. Действительно, величина $e^2/mc^2$ имеет размерность длины. Ее называют классическим радиусом электрон и обозначают $r_e$:

$$r_e = \frac{e^2}{mc^2} \approx 2,5 \cdot 10^{-15} \text{ m}.$$

Таким образом,

$$\frac{\Delta E}{E_a} \approx 10^{-6}.$$

Итак, при каждом обороте электрон теряетничную часть своей энергии — одну десятимилонную долю. Посмотрим на эту велиницу с другой точки зрения.

Попробуем оценить, сколько времени «проживет» atom, если электрон будет излучать электромагнитную энергию даже такими малыми порциями. За один оборот энергия электрон уменьшится на величины $\Delta E \approx 10^{-6} E_a$, и при этом расстояние от электрона до ядра тоже уменьшится. А приблинительно за $10^6$ оборотов электрон вовсе свапится на ядро!

Но один оборот электрон совершает за

$$\frac{2\pi r_B}{v} = \frac{2\pi r_B}{e} (mr_B)^{1/2} \approx 10^{-16} c.$$

Следовательно, если бы законы классической механики и классической электродинамики были справедливы в мире атомов и электронов, атомы могут быть просуществовать не более $10^{-10} c$.

Это, пожалуй, одно из наиболее кастрофейческих расхожений между классической теории и экспериментом: «вечные» атомы оказались предельно неустойчивыми.

Существует еще одно противоречие между планетарной моделью атома и экспериментом. Эксперимент показывает, что атомы излучают (правда, для этого надо их предварительно возбудить, то есть передать им некоторое количество энергии) электромагнитные волны строго определенных частот. Набор этих частот является своеобразной визитной карточкой атома (на этом основанспектральный анализ).

С точки зрения планетарной модели возбужденного тем, что его электрон имеет несколько Cóльшую энергию и, следовательно, больший радиус орбиты $r_1 > r_B$. В процессе излучения расстояние от электрона до ядра постепенно уменьшается до величины $r_B$, при этом непрерывно изменяется (увеличивается) частота обращения. Следовательно, спектр излученных частот должен быть не перерывным от начальной частоты

$$\frac{v_1}{2\pi r_1} = \left( \frac{e^2}{mr_1} \right)^{1/2} \frac{1}{2\pi r_1}$$

до максимальной частоты

$$\frac{v}{2\pi r_B} = \left( \frac{e^2}{mr_B} \right)^{1/2} \frac{1}{2\pi r_B}.$$

Объяснить истинный дискретный спектр излучения атомов классической планетарная модель не может. Для объяснения всего этого необходимо механика.

11

Электрон излучает фоотоны

Как же квантовая механика обязывает, почему электрон не падает на ядро?

Прежде всего следует подчернуть, что для обязывания свойств микромира пришлось создать принципально новую науку: подправить классическую механику так, чтобы она обязывала свойства atomов и молекул, оказалось невозможно. Основная новизна квантовой механики — учет единства волновых и корпускулярных свойств микроэтиц.

Согласно строгим выводум квантовой механики энергия электрона может принимать не любые, а лишь дискретные значения. Значения энергии в atomе водорода

$$E_n = -\frac{2\pi^2 me^4}{h^2} \frac{1}{n^2},$$

где $n = 1, 2, 3, \dots$

Среди всех состояний электрона в atomе водорода есть одно особое состояние — основное состояние с наименьшей энергейой. Ему соответствует $n=1$. Электрон не может иметь энергию, меньше $E_1 = -2\pi^2 me^4/h^2$. Этот запрет связаан с волновыми свойствами электрона. Он настолько строг, что обеспечивает бесконечное время жизни atomа.

Итак, электрон в основном состоянии не излучает электромагнитных волн (фотонов) *. Если же электрон находится в одном из возбужденных состояний с $n > 1$ ($n = 2, 3, 4, \dots$), он может перейти в состояние с более низкой энергейой, излучив электромагнитную волну. Как и всякий процесс в природа, процесс излучения подчиняется закону сохранения энергии. Его легко записать, если воспользоваться соответствием связиывающим частоту электромагнитной волны $v$ энергейой фоотона

$$E_n - E'_n = hv,$$

где $n, n' = 1, 2, 3, \dots; n > n'$.

*) Не только atom водорода, но и любой другой atom не излучает энергии, если он находится в основном состоянии.

Отсюда

$$v = \frac{E_n - E'_n}{h}.$$

Для водорода

$$v = \frac{2\pi^2 me^4}{h^3} \left( \frac{1}{n'^2} - \frac{1}{n^2} \right).$$

Формулы (5) и (6) определяют спектр (набор) частот, которые излучить или поглотить atom водорода.

Квантовая механика позволяет определить не только спектр частот излучения и поглощения, но и интенсивность излучения.

Формулы квантовой механики обладают одной интерсейной особенностью. Они переходят в формулы классического физики, когда «квантовость» пренебрежимо мала, то есть когда движение почти классического. (Это важное обстоятельство получило даже специальное название — принцип соответствия.) В расстматриваемом нами случае малость квантовых эффективов проявляется в том, что при значениях $n$, стремящемся к бесконечности, $\Delta E = E_n - E_{n-1}$ стремится к нулю. Ведь в классическом физике энергия может иметь любое значение! Мы привели только один пример, но любая формула квантовой механики допускает проверку принципом составствия. Лучше сказаать иначе: любая формула классического физики есть предельное значение квантовой формулы. Квантовая механика неотменила классического, а указала ее место (и весма почетное место). Классическая механика справедлива тогда, когда мы квантовые эффективы, и справедлива с точностью, которое допускает квантовая механика.

Излучение частицы, движущейся с постоянной скоростью

Do sins пор мы говорили, что излучает только частица, движущаяся с

12

ускорением. Но у этого правила есть одно исключание. Электрон, движущийся с постоянной скоростью, но не в пустоте, а в какой-либо среде, излучает свет. Этот эффект называется излучением Вавилова-Черенкова.

Слова «черенковское излучение», «излучение Черенкова», «эффект Черенкова», называемое, известны многоим. И многое знают, что такое излучение возникает, когда заряженная часть движения со скоростью $v$, больше скорости света в среде, окружающей частицу. Сверхсветовое излучение было открыто П. А. Черенковым — учеником С. И. Вавилова, а объявили его физики-теоретики И. Е. Тамм и И. М. Франк. За эту работу Черенкову, Тамму и Франку была присуждена Нобелевская премия 1958 года по физике.

Скорость света в среде с показателем преломления $\varepsilon$ (ε — диэлектрическая проницаемость среды) равна $u = c/1/\varepsilon$. Поскольку $\varepsilon > 1$, скорость света в среде $u$ меньше скорости света в вакууме $c$. Это позволяет частице (например, электрону) лететь в среде со «сверхсветовой» скоростью $v$:

$$\frac{c}{\sqrt{\varepsilon}} = u < v < c.$$

Условие возникновения черенковского излучения

$$v > \frac{c}{\sqrt{\varepsilon}}$$

замечательно тем, что не содержит постоянной Планка. Это означает (по принципу соответствия), что оно может быть получено средствами как квантовой, так и классический физики. Интересно отметить, что квантовое и классическое описание эффекта Черенкова приводят практические к одинаковым результатам. Но мы ограничим только квантовой картиной, так как для полной классической теории является Черенкова необходимый сложный математический аппарат.

При этом нам понадобится дополнительные сведения о фотонах.

1. Фотон обладает не только определенной энергей $E$, но и определенным импульсом $p$. Направление импульса может быть любым, а величина определяется энергей:

$$p = \frac{1}{c} E.$$

2. Электромагнитное поле в среде с диэлектрической постоянной ε также состоит из фотонов. Фотоны в диэлектрике отличаются от фотонов в пустоте тем, что связь между их энергей и импульсом содержит диэлектрическую постоянную ε:

$$p = \frac{\sqrt{\varepsilon}}{c} E = \frac{1}{u} E,$$

$$E = p \frac{c}{\sqrt{\varepsilon}}.$$

Связь между энергей и частотой у фотонов в среде такая же, как и у фотонов в пустоте: $E = hv$.

3. Любое взаимодействие фотонов с другими частицами подчиняется закону сохранения энергии и закону сохранения импульса.

Теорей рассмотрим электрон, движущийся в среде с постоянной скоростью $v$. Пусть в некоторый момент времени он излучает фотон частицы $v$ с импульсом $p$. Обозначим импульс электронаdo излучения $P$, а после — $P'$. Тогда энергия электронаdo излучения $E = P^2/2m$, а после излучения — $E' = P'^2/2m$. По закону сохранения импульса $P' = P - p$, а закон сохранения энергии можно записать в виде

$$\frac{P^2}{2m} = \frac{P'^2}{2m} + \frac{c}{\sqrt{\varepsilon}} p.$$

Проверим, всегда ли может выполнять это равенство. Введем угол $\theta$ между импульсом частицы до излучения и импульсом фотона. Косинус этого угла найден из закона сохранения импульса, записанного в скалярной форме:

$$P'^2 = P^2 + p^2 - 2Pp \cos\theta$$

13

(мы воспользовались теоремой косинусов). Отсюда

$$\cos \theta = \frac{P^2 - P'^2 + p^2}{2Pp} = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon}} \left( 1 + \frac{p}{2mc} \sqrt{\varepsilon} \right),$$

где $v$ — скорость излучющей частицы. Вспомним, что $p = \frac{hv}{c} \sqrt{\varepsilon}$.

Следовательно, $\frac{p \sqrt{\varepsilon}}{2mc} = \frac{hv\varepsilon}{2mc^2}$.

Это — единственная безразмерная комбинация параметров в формуле (8), куда входит постоянная Планка. Она дает возможность оценить степень квантовости явления. Для видимого света

$$v \approx 10^{14} c^{-1}, \varepsilon \geq 1$$

и $$\frac{\varepsilon h v}{2mc^2} \approx 10^{-7}$$.

Отсюда видно, что мы, не делая большой ошибки, можем просто пренебречь вторым слагаемым в числитель формулы (8). Поэтому и классический рассмотрение приводит к правильному результату.

Так как cosθ должен быть меньше единицы, мы можем вывести условия (7): имея частница, lemma с постоянной скоростью, модель излучатель световые волны, ее скорость должна превышать скорость света в среде.

Приведенное рассужждение обьясняет, почему электрон со скоростью $v < c/\sqrt{\varepsilon}$ не излучает и почему конус возможных направлений излучения (в случае $v > c\sqrt{\varepsilon}$) определяется формулой (8). Вычисление интенсивности излучения Чerenкова значительно сложнее, и мы не будем им занимать.

Классический смысл условия (7) очень прост: частница «убегает» от созданного его электромагнитного поля, которое в виде волн распространяется самостояльно.

Приближенное (с классической точки зрения — точное) равенство

$$\cos \theta = \frac{c}{v\sqrt{\varepsilon}}$$

показывает направление излученных волн.

Подумаем еще раз, на чем основан выбор формулы (9) и условия черенковского излучения (7). Во-первых, на законах сохранения энергии и импульса в процессе излучения; во вторых, на том, что энергия фотона и величины его импульса связаны линейной зависимости, и, наконец, в-третьих, на малости квантовой поправки. Если бы решила не об электронномгинитной волне, а о звуковой, то все эти «во-первых», «во-вторых» и «в-третьих» были в точности выполены. Для звуковой волны квант ее энергии — фонан и величины его импульса связаны линейной зависимости

$$p = \frac{1}{s} E,$$

где $s$ — скорость звука. Но так как скорость звука значительное меньше скорости света, то условия черенковского излучения $v > s$ может быть выполнено даже при движении максимальной скорости света.

Приимеров черенковского излучения звука — щелчок бича, кончик которого в умелых руках движется со сверхзвуковой скоростью.

Чerenковское излучение света нашло важное применение в экспериментальной физике. Но это — отдельная большая и интересная тема. Для нас, пожалуйста, важно то, что черенковское излучение — очень общое явление. Всегда, когда частница движется со скоростью, превышающее скорость волн в данной среде, она излучает.