XVI Международная математическая олимпиада

Квант 1974, №12 с. 60-62 Тег LZEO

Международные олимпиады школьников

XVI Международная математическая олимпиада
В. А. Сковорцов, З. И. Моисеева

Начиная с 1959 года регуляро проводятся международные олимпиады школьников по математике (ММО). Эти олимпиады довольно быстро завоевали большой международный авторитет.
Если в I олимпиаде принимали участие команды 7 стран (Болгарии, Венгрии, ГДР, Польщи, Румынии, СССР и Чехословакии), то в XVI олимпиаде участвовали уже команды 18 стран (Австрии, Болгарии, Великобритания, Венгрии, ГДР, ДРВ, Кубы, Монголии, Нидерландов, Польщи, Румынии, СССР, США, Финляндии, Франции, Чехословакии, Швеции и Югославии).
Начиная с XI ММО наш журнал регуляро помещает подробную информацию о ходе олимпиад и разбор предлагавшихся на них задач.

С каждым годом растет число стран, участвующих в Международной математической олимпиаде школьников. В XVI олимпиаде, проходившей в июле 1974 года в городе Эрфурте (ГДР), участвовали уже 18 стран. К участникам прошли олимпиад в этом году присоединились довольно сильные команды Демократической Республики Вьетнам и Соединенных Штатов Америки, что сделало борбу за признание места еще болеестрой и интересной.
Как и в прошлие годы, команда каждой страны состояла из 8 учащихся, исключение в этом году составляли команды Кубы (из 7 человек) и ДРВ (из 5 человек).
Советский Союз на XVI олимпиаде представляли:
Аnhъевский Игорь, выпускник школь-интерната № 45 при ЛГУ; он получил на Ленинградской городской олимпиаде в 1972 году III премию, в 1973 году —

II премию, а на Всесоюзной математической олимпиаде в 1973 году — II премию и в 1974 году — I премию;

Бранлов Андрей, выпускник школь № 2 г. Москвы, получал премии на Московских городских олимпиадах в 1971—1974 годах, а на Всесоюзной олимпиаде в 1972, 1973 и 1974 годах получил соответствующего I, III и II премии;
Григорян Алексадр, выпускник школь № 211 г. Баку, получил на республиканской олимпиаде в 1972 и 1973 годах I премию, а на Всесоюзной олимпиаде в 1974 году — II премию;
Гусаров Михаил, выпускник школь № 30 г. Ленинграда, получал на Ленинградской городской олимпиаде в 1970—1974 годах I премию, а на Всесоюзной олимпиаде в 1971 году — II премию, в 1972 и 1973 годах — I премию и в 1974 году — II премию;

Команда СССР на XVI Международной математической олимпiadе. Слева направо: А. Григорян, Д. Тюковкин, А. Бранлов, М. Гуаров, З. И. Монисеева (зам. руководители)

Сивицкий Игорь, выпускник шкOLS-интерната № 45 при ЛГУ, получал на Ленинградской городской олимпiadе в 1972—1974 годах II премии, на Всесоюзной олимпiadе в 1972 году — II премию, в 1973 году — III премию и в 1974 году — I премию;

Тюковкин Дмитрий, выпускник шкOLS № 11 г. Иркутска, получал на облактной олимпiadе в 1972 и 1973 годах I премию, в 1974 году — II премию, а на Всесоюзной олимпiadе в 1972 и 1973 годах — II премию, в 1974 году — I премию;

Фомин Сергей, выпускник шкOLS-интерната № 45 при ЛГУ, получил на Ленинградской городской олимпiadе в 1970 году I премию, в 1971 году — III премию, в 1972 году — II премию, в 1973 и 1974 годах I премию, а на Всесоюзной олимпiadе в 1972 году — I премию, в 1973 и 1974 годах — II премию;

Чернов Николай, выпускник шкOLS № 95 г. Кривого теля команды), С. Фомин, В. А. Сковорцов (руководитель команды), И. Ананьевский, Н. Чернов, И. Сивицкий. (Фото И. Лемана, ГДР)

Рога УССР, получил на ресурсный олимпiadе в 1972 году III премию, в 1973 и 1974 годах — I премию и на Всесоюзной олимпiadе в 1973 году — III премию, а в 1974 году — I премию.

Участикам олимпiadы в каждый из двух дней совершенствовали было предложено за 4 часа решить по 3 задачи. Эти задачи были отображены международным жюри из числа задач, предварительно предложенных странами-участницами.

Задачи первого дня совершенствования

Имеется три карточки, на каждой из которых написано одно из целых чисел. Эти числа p, q, r удовлетворяют условию 0 < p < q < r.

Три игрока A, B и C играют в игру, один круг которого состоит в следующем: карточки перемещаются и разделяются игрокам по одному; затем каждой игрок получает количество шариков, равное числу, написанному на полученной им карточке; потом карточки собираются, а шарики остаются у игроков. Игра продолжается N кругов, N ≥ 2. В конце игры у игрока A накопилось 20 шариков,

у $B - 10$ шариков, у $C - 9$ шариков. Известно, что в последнем круге игрок $B$ получил $r$ шариков. Требуется установить, кто из игрок получил $q$ шариков в первом круге (США; за полное решение этой задачи давалось 5 очков).

В треугольнике $ABC$ величины углов при вершинах $A, B$ и $C$ равны соответственно $\alpha, \beta$ и $\gamma$ . Доказать, что неравенство

$\sin \alpha \cdot \sin \beta \leq \sin^2 \frac{\gamma}{2}$

является необходимым и достаточно условным условием того, чтобы на отрезке $AB$ нашла точка $D$ такая, что величина $CD$ является средним геометрическим величини $AD$ и $BD$ (Финляндия; 6 очков).

Доказать, что для любого натурального числа $n$ число

$\sum_{k=0}^{n} C_{2n+1}^{2k+1} 2^{3k}$

не делится на 5 (Румыния; 8 очков).

Задания второго дня совершенний

Рассмотрим разбиения шахматной доски $8 \times 8$ на $p$ взаимно непересекающихся прямогольников, удовлетворяющих следующим условиям:

каждый прямогольник состоит из неокоторого числа клеток и содержит белых клеток столько же, сколько и черных;
если $a_i$ — число белых клеток в $i$ -м прямогольнике, то $a_1 < a_2 < \dots < a_p$ .

Найти наиболее значение $p$ , при котором такое разбиение возможно, и определить для этого значения $p$ все последовательности $a_1, a_2, \dots, a_p$ , для которых можно реализовать такое разбиение (Болгария; 6 очков).

Найти множество значений суммы

$S = \frac{a}{a+b+d} + \frac{b}{a+b+c} + \frac{c}{b+c+d} + \frac{d}{a+c+d},$

где $a, b, c, d$ — произвольные положительные действительные числа (Нидерланды; 7 очков).

Пусть $P$ — многочлен с целочисленными коэффициентами, не являющихся константой, и пусть $n(P)$ — число всех различных целых чисел $k$ , для которых $[P(k)]^2 = 1$ . Доказать, что

$n(P) - \deg(P) \leq 2,$

где $\deg(P)$ означает степень многочлена $P$ (Швеция; 8 очков).

Подведя итоги оlimппады, между дунаровное яюри, образованное руководителем команды-участниц, присуdlю призы поедителям.

Диплом I степени

получили 10 из 140 участников оlimппады: Александр Грицорян (СССР), Жан-Кристоф Екоз (Франция), Янои Колар (Венгрия), Андриан Окняну (Румыния), Герберт Синвель (Австралия), Микаэль Стайнер (Швеция), набравшие по 40 очков; Йохеф Б. Варea (Югославия) и Дмитрий Тюковин (СССР), набравшие по 39 очков; Миодрае Живкович (Югославия) и Хоан Ле Минь (ДРВ), набравшие по 38 очков.

Диплом II степени

был присужден 24 участником, набравшим от 37 до 30 очков. Среди них члены советской команды Серцей Фомин (36 очков), Андрей Брайлов (34 очка) и Михаил Гусаров (32 очка).

Диплом III степени

присуждался участником, набравшим от 29 до 23 очков. Его получили 37 человек, в том числе членов советской команды Игорь Сивцукий (29 очков) и Николай Чернов (27 очков).

В целом команда Советского Союза выступила весна успешно, набрав наиболее число очков — 256. Далее следуют команды США (243), Венгрии (237), ГДР (236), Югославии (216), Австрарии (212), Румынии (199), Франции (194), Великобритания (188), Швеции (187), Болгарии (171), Чехословакии (158), ДРВ (146 при 5 участниках), Польщи (138), Нидерландов (112), Финляндии (111), Кубы (65 при 7 участниках), Монголии (60).

Поправка

В «Кванте» № 9 за 1974 год на с. 62 формула (2) должна выглядеть так:

$T_{n+1}(x) = x T_n(x) - \frac{1}{4} T_{n-1}(x);$

$T_2(x) = x^2 - \frac{1}{2}.$