Задачи М296—М300; Ф308—Ф312

44

Задачи

M296—M300; Ф308—Ф312

M296. В таблицу $n \times n$ записаны $n^2$ чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что можно переставить столбцы таблицы так, что сумма $n$ чисел по диагонали, ищей из левого нижнего угла в правый верхний, будет неотрицательна.

A. Тупанов

M297. На плоскости заданы 12 точек, являющихся вершинами четырех квадратов $A_1B_1A_2C_1$, $A_2C_2A_3B_2$, $A_3B_3A_4C_3$ и $A_4C_4A_1B_4$ (вершины каждого квадрата перечислены по часовой стрелке). Докажите, что $B_1B_2B_3B_4$ и $C_1C_2C_3C_4$ — конгруэнтные параллелограммы, один из которых получается из другого поворотом на $90^\circ$ (эти параллелограммы могут быть вырожданы: четыре вершины каждого из них в этом случае лежат на одной прямой).

J. П. Купцов

M298. Запишем все несократимые дроби $\frac{p}{q}$, где $0 < p < q \leq m$, в порядке возрастания ($m$ — данные натуральное число). Например, при $m = 5$ получится последовательность $\frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}$.

Докажите, что для любых двух сседних дробей $\frac{p}{q} < \frac{r}{s}$ в такой последовательности выполняется равенство $qr - ps = 1$.

M299. При каких $n$ правильный $n$-угольник можно разместить на листье бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях? (Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)

H. B. Васильев

45

М300*. Алфавит состоит из трех букв: a, b, c. Изовем словом последовательность любой длины, состоящую из этих букв. При образование слов некоторых буквосочетания (из двух и более букв) считаются запрещенными. Известно, что в списке запрещенных буквосочетаний все слова имеют разную длину.

Докажите, что существуют слова любой длины, не содержащие запрещенных буквосочетаний.

А. М. Степин

Ф308. Фотометр представляет собой лист бумаги с жирным пятом. Этот лист устанавливают между двумя точными источниками света. Сила света одного источника 20 св, сили света другого источника требуется определить. Для этого вначале подбирают расстояния $l_1$ и $l_2$ источников от листа так, чтобы пятно не выделялось на фоне бумаги, если смотреть на нее со стороны первого источника. Оказаюсь, что $l_2 = 2l_1$. Затем подбирают расстояния $l_1'$ и $l_2'$ так, чтобы пятно не выделялось на фоне бумаги, если смотреть со стороны второго источника. Оказаюсь, что $l_1' = l_2'$. Определить силу света второго источника.

Лист ставится перpendикулярно к линии, соединяющей источники.

Подсказка. Каждый участок бумаги можно охарактеризовать коэффициентом пропускания и коэффициентом отражения света.

Ф309. Змея заполла направину в неподвижную узку трубу, лежащую на плоскости. Вторая половина змеи извивает произвольное по плоскости. Считая змею тонким однородным шнуром длины $l$, найти, в какой области может оказаться центр тяжести всей змеи.

В. Д. Горбунова

Ф310. Концы рукки закреплены. Как, не освобождая концов рукки, деформировать ее так, чтобы рукка после такой обработки

стремилась a) сократиться? б) удалиться?

Ф311. Оdnородное магнитное поле меняется по абсолотной величины с постоянной скоростью $k(B=kt)$. Имеется кусок меди, плотность которого $d$ и удельное сопротивление $ρ$. Масса куска $m$. Из этого куска можно вытянуть однородную проволоку, из которого в свою очередь сделать замкнутый контур. Какой можно получить максимальное возможный ток в этом контуре?

В. Д. Кержанцев

Ф312. Обруч раднуса $R$, катящийся со скоростью $v$ по горизонтальной поверхности, налетает абсолотно неупруго на ступенку высоты $h(h < R)$. Какую скорость будет иметь обруч, когда он «взбегется» на ступенку? При какой минимальной скорости обруч может «взобраться» на ступенку?

Проссказывания нет.

М. Герке, Д. Сахаров, А. Цесис (ученики Винничкой с. ii. № 17)