Числовые последовательности

66

Числовые последовательности встречы часто. Вспомните, например, ряды чисел, которые второклассики твердили при повторении таблицы умножения на 2:
$$\Pi_1 = (2, 4, 6, 8, 10, \dots);$$
на 5:
$$\Pi_2 = (5, 10, 15, 20, 25, \dots);$$
на 6:
$$\Pi_3 = (6, 12, 18, 24, 30, \dots)$$
и многое другое.

Вспомните надписи на объективные фотоаппарата; и там вы найдете последовательность чисел, а именно:
$$\Pi_4 = (2; 2,8; 4; 5,6; 8; 11; 16; 22).$$

Вот еще несколько примеров последовательностей:

$$\Pi_5 = \left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots\right);$$
$$\Pi_6 = (1, 4, 9, 16, 25, \dots);$$
$$\Pi_7 = (7, 4, 1, -2, -5, -8);$$
$$\Pi_8 = (-2, +4, -8, +16, -32, +64, -128, +256, -512, \dots).$$

Отделные числа, входящие в числовую последовательность, называются членами последовательности. Если последовательность состоит из конечного числа членов, то ее называют конечной, в противном случае — бесконечной **).

*) Dozent Dr. H. Lohse «Elementare Zahlenfolgen», «Альфа» (ГДР), 1968, № 3—6. Перевод и обработка А. Я. Халамайзера.
**) В нашей литературе числовой последовательность обычно называют бесконечную последовательность. (Прим. перев.)

Ряд чисел, появляющийся в школьной таблице умножения на 2 (иначе, в последовательности чемных чисел), рассматривается в начальных классах лишь до 20, а именно:

$$\Pi_9 = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).$$

Здесь число 20 — последний из десяти членов последовательности. Если последовательность продолжить неограниченно, то есть так, чтобы она не имела последнего (конечного) члена, то получится бесконечная последовательность чисел.

$$\Pi_{10} = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, \dots).$$

Здесь многооточие означает, что последовательность бесконечна — не имеет «конца» (последнего члена).

Задание последовательности указываем нескольких первых членов тант в себе возможность ошибки. Предполагается, например, что последовательность $\Pi_5$ следует продолжить так:

$$\Pi_5 = \left(\dots, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{10}, \dots\right),$$

но этого никак и ничего не гарантирует. После члена $1/5$ могут, например, идти члены

$$\frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1, \frac{2}{1}, \dots$$

67

или, скажем, $\frac{1}{5}, \frac{1}{5}, \frac{1}{5}, \dots$;

можно продолжить последовательность $\Pi_5$ и другими способами. Мы видим, что бесконечную последовательность нельзя однозначно задать конечным числом первых членов. Значит, нужно искать лучшие способы задания числовой последовательности.

Особенно простой является последовательность

$$\Pi_{11} = (1, 2, 3, 4, 5, \dots),$$

называемая последовательностью намуральных чисел, в ней каждой последующей член на 1 больше предыдущего.

Этот последовательности можно сопоставить любую другую бесконечную последовательность — каждому члену последовательности поставить в соответствии его порядковый номер: первый член — число 1; второй член — число 2, … $k$-му члену, который часто называют общим членом, — число $k$. Сами же эти члены обычно обозначают так:

$$(a_1, a_2, a_3, \dots, a_k, \dots).$$

Так, например, в последовательности $\Pi_1$ второй член $a_2 = 4$; третий член $a_3 = 6$, $k$-й член $a_k = 2k$. Таким образом, числовая последовательность представляет собой множество упорядоченных пар чисел $[k, a_k]$, в которых первое число (номер) — натуральное, а второй (сам член) — действительное. Кроме того, существует однозначное отображение есте не что иное, как функция. Поэтому числовые последовательности — это особый класс функции. Область определения таких функций является множество $[1, 2, 3, 4, 5, \dots, k, \dots]$ натуральных чисел для бесконечных последовательностей и мнс-

жество $\{1, 2, 3, \dots, n\}$ — для конечных (здеся $n$ — номер последнего члена конечной последовательности). Например, последовательность $\Pi_7$ состоит из шести членов, для нее $n = 6$.

Теперь нам нетрудно дать четкое определение понятия «числовая последовательность».

Числовые последовательности — это функция, областую определения компонх является множество намуральных чисел $\{1, 2, 3, \dots, k, \dots\}$ или подмножество первых его $n$ элементов $\{1, 2, 3, \dots, n\}$, а областую изменения — множество намуральных чисел.

Выражение $k$-го члена через его номер $k$: $a_k = f(k)$ позволяет задать всю последовательность.

Такой способ задания последовательности называется аналитической.

В качестве примера заметим, что общий член последовательности $\Pi_6 = (1, 4, 9, 16, 25, \dots)$ имеет вид $a_k = k^2$.

Аналитическая последовательность очень похож на аналитическая способ задания функции — лишь при записи функции независимую переменную обозначают через $x$, а зависимую — через $y$. Скажем, формула $y = 2x$ — это аналитическая запись линейной функции. Если область ее определения считать множество всех действительных чисел, то график функции $y = 2x$ будет прямая (рис. 1). Равенство же $a_k = 2k$ является аналитическим заданием последовательности четырех чисел (независимая переменная $k$ принимает лишь натуральные значения).

Графическое изображение последовательности $a_k = 2k$ будет не вся пряма, а лишь отдельные ее точки (рис. 2). Математик сказал бы о них: дискретная последовательность точек. Такие точки для любой последовательности могут располагаться лишь в I и IV квадратах

69

Последовательность чисел Фибоначи *)

$$\Pi_{12} = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots)$$

также задается рекуррентным соотношением $a_{k+1} = a_k + a_{k-1}$ при $k > 2$ и начальными условиями $a_1 = a_2 = 1$.

Мы рассмотрели четые способа задания числовой последовательности: аналитический, табличный, графический и рекуррентный. Естеще один способ — додчистый (словеное описание). Так например, слова «последовательность квадратов» (или, точнее, «последовательность квадратов натуральных чисел») — это словеное описание последовательности

$$\Pi_6 = (1, 4, 9, 16, 25, \dots, k^2, \dots).$$

Аналитический способ является важнейшим, этим способом наиболее лаконично и четко можно указать закон построения последовательности. Однако существует и такие последовательности, для которых аналитическое задание вообще невозможно (например, последовательность простых чисел) или очень громоздко.

Итак, мы знаем теперь все основные способы задания последовательности. Как уже было сказано, числовые последовательности играют важную роль не только в математике, но и в естественных и технических ОСобенно часто применение находится в вида последовательностей: арифметические и геометрические прогрессии. Их вы будете изучать в 8 классе.

*) Леонардо Фибоначи — итальянский математик XIII века. Впервые числа Фибоначи встретились при решении старинной задачи о размножении кроликов. В последствии числа Фибоначи встретились в ряде практических и теоретических задач. Подробнее об этом рассказано в брошюре Н. Н. Воробьева «Числа Фибоначи» (М., «Наука», 1969), рассчитанной на школьников старших классов.(П р и м. перев.)