Шар, касающийся рёбер многогранника

55

ШАР, КАСАНОЩИЙСЯ РЕБЕР МНОГОГРАННИКА

В последние годы на вступительных экзаменах вузы часто предлагаются задачи, в которых фигурирует шар, касающийся всех ребер многограника. Этот теме и посвязывана настоящая статья.

Пусть шар касается всех ребер неокторого многограника. Тогда справедливый следующие утверждения (доказите их самостояльно):

(1) каждый грань многограника пересекает поверхность шара по окружности, касающейся ребер многограника, мо есть по окружности, вписанной в грань; тем самым граними многограника будут также многоугольники, в котором можно вписать окружность;

(2) основание перепendlukуляра, опущенное из центра шара на любую грань многограника, является центром окружности, вписанной в эту грань;

(3) перепendlukуляры, восставленные к плоскостям граней в центрах вписанных окружностей, пересекаются в одной точке, равной лепленной от всех ребер многограника — в центре шара;

(4) отрезок перепendlukуляра, опущенное из центра шара на ребро многограника, равен радиусу шара.

Теперь рассмотрим неокторые типы многограников, для которых существует указанный шар.

Шар, касающийся ребер признамы

Теорема 1. Шар, касающийся всех ребер признамы, существует модель и molъко модели, когда эта признама правильная и все ее ребра равны между собой.

Рис. 1.

56

Таким образом, боковые грани призмы являются прямогольниками. Но по свойству (1) в эти грани можно писать окружность, а если в прямогольник можно писать окружность, то этот прямогольник — квадрат; следовательно, боковые грани призмы — квадраты. Отсюда $AB = BB_1 = BC = \dots$, то есть в основании призмы лежит многоугольник с равными сторонами. Спроектируем призму с шаром на плоскость $ABC$; призма спроектируется в многоугольник $ABC$…, а шар — в окружность, описанную вокруг этого многоугольника. Но многоугольник с равными сторонами, вписанный в окружность, — правильный, поэтому и призма — правильная.

Тепер докажем, что для правильной призмы с равными ребрами указынный шар существует. Для этого нужно показать, что существует точка, равнодулиная от всех ребер этой призмы. Такой точкой является середина $K$ отрезка $OO_1$, соединяющего центры оснований (рис. 1).

В самом деле, заметим, что отрезки $KM, KM_1, KN$ (и т.п.) равны, как гипotenузы прямогольных треугольников, один катет которых равен $KO$, а другой — апофеме правильного многоугольника $ABC$…, и равны перpendикулярам, опущенным из точки $K$ на боковые ребра призмы: $KF_1 = OA$, в $\Delta OAM$ имеем $AM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} BB_1 = \frac{1}{2} OO_1 = KO$,

Рис. 2.

Рис. 3.

57

ные из одной точки к данному шару, равны, поэтому

$$SM = SN = SK,$$
(1)
$$AM = AP = AF,$$
(2)
$$BP = BK = BE,$$
(3)
$$CN = CF = CE.$$
(4)

В каждую из сумм $AS + BC$, $AC + BS$, $AB + CS$ входитровно по одному отрезку из группы (1) — (4), следовательно, эти суммы равны.

Теорема 2. Если центр шара, касающейся всех ребер параметры, лежит на ее высоте, то максимальная.

Доказательство. Пусть центр $K$ шара лежит на высоте $SO$ (рис. 4). Примугольные треугольники $SKF_1$, $SKF_2$ (и т. д.) имеют общую гипotenузу $SK$ и равные катеты: $KF_1 = KF_2$ (радиуса шара), поэтому они равны. Отсюда $\Rightarrow F_1SK = \Rightarrow F_2SK$.

Примугольные треугольники $ASO$, $BSO$ (и т. д.) имеют общий катет $SO$ и равные острыые углы при вершине $S$, поэтому они равны и $OA = OB (= OC = \dots)$. Следовательно, $O$ — центр окружности, описанной вокруг центра крижности, висанной в основание параметры. А если описанная вокруг многоугольника и висанная в многоугольник крижности является концентрическими, то этот многоугольник — правильный (доказатель). Следовательно, исходная парамида — правильная, теорема доказана.

При решении задачи на шар, касающейся ребер правильной параметры, полезно использовать подобие прямогольных треугольников $KSF_1$ и $ASO$ ($\Rightarrow ASK$ общий, $\Rightarrow SKF_1 = \Rightarrow SAO$).

Задание 3. Сторона основания правильной четырехугольной параметры равна $a$, двумерный угол при боковом ребре равен $\varphi$. Определить радиус шара, касающейся всех ребер этой параметры.

Легко доказать, что искомый шар существует; обозначим его центр через $K$. Пусть $\Rightarrow SDC = \Rightarrow SCD = x$ (рис. 5). Проведем $KF \perp SC$ и $KP \perp PL$. SCD. Соединим точки $F$ и $P$. Из теоремы о трех перpendикулярах следует, что $FP \perp SC$, и поскольку параметра правильная, $\Rightarrow KFP$ равен половине линейного угла двумерного угла при боковом ребре параметры, то есть $\frac{\varphi}{2}$. Заметим, что $KF$ — радиус шара, касающейся ребер параметры, а $P$ — центр окружности, вписанной в боковую грань $SDC$, поэтому $PD$ — биссектриса $\Rightarrow SDC$, $\Rightarrow PDM = \frac{x}{2}$, $PM = PF$. Из $\Delta PDM$ и $\Delta KPF$ находится: $PM = \frac{a}{2}tg \frac{x}{2}$, $KF = \frac{PF}{\cos \frac{\varphi}{2}} = \frac{a tg \frac{x}{2}}{2 \cos \frac{\varphi}{2}}$.

58

Рис. 6.

Теперь найдем связь между углами φ и x. Для этого рассмотрим прямуюольные треугольники OND и DNC: $DN = \frac{OD}{\sin \frac{\varphi}{2}}, DN = DC \sin x$.

Отсюда $OD = DC \cdot \sin x \sin \frac{\varphi}{2}, \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2 \sin \frac{\varphi}{2}}$. Нахождение тг $\frac{x}{2}$ (с учетом неравенства $0 < x < \pi/2$), получаем ответ

$$KF = \frac{a}{\sqrt{2} \sin \varphi + 2 \cos \frac{\varphi}{2} \sqrt{-\cos \varphi}}.$$

Задача 4 (НГУ). Найти объем части правильного метраэдра с ребром длины a, заключенной между двумя сферами: одна сфера касаемая всех граней метраэдра, другой — всех ребер.

Обозначим искомый объем через $v$, тогда $v = v_1 - 4v_2 - v_3$, где $v_1$ — объем шара радиуса $R$, касающейся всех ребер метраэдра, $v_2$ — объем шарового сегмента, отсекаемого одной гранью метраэдра от этого шара, $v_3$ — объем шара радиуса $r$, высанного в метраэдр.

Заметим, что если шар вписан в куб, то он касается всех ребер правильного метраэдра, образованного диагоналями граней куба (рис. 6). Если диагональ грани куба равна $a$, то его ребро равно $\frac{a}{\sqrt{2}}$, а радиус шара, высанного в куб, равен половине этого ребра, $R = \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{4}$.

Рис. 7.

Теперь из $\triangle OKD$ (рис. 7) находится $r$ шара, вписанного в метраэдр: $OK = r = \sqrt{KD^2 - OD^2} = \frac{a\sqrt{6}}{12}$, и высот сегмента: $h = R - r = \frac{a\sqrt{2}}{4} - \frac{a\sqrt{6}}{12} = \frac{a(3\sqrt{2} - \sqrt{6})}{12}$.

Подставив найденные значения $R$, $r$ и $h$ в выражение

$$v = \frac{4}{3}\pi R^3 - 4\pi h^2 \left(R - \frac{h}{3}\right) - \frac{4}{3}\pi r^3$$

и упрощая, получаем:

$$v = \frac{1}{216}\pi a^3 \left(7\sqrt{6} - 9\sqrt{2}\right).$$

Шар, касающийся ребер правильной усеченной пирамиды

Если шар касается всех ребер правильной усеченной пирамиды, то, как следует из утверждения (1) — (4) (см. с. 55), центр этого шара лежит на высоте пирамиды, соединяющей центры $O, O_1$ оснований, и шар касающейся ребер оснований пирамиды в их серединах $M, M_1, \dots$ (рис. 8), причем $OO_1M_1M$ — трапеця, $OO_1 \perp OM$, и перpendикуляр, опущенный из центра $K$ шара на боковой грань, попадает в точку $P$ — середину апофемы $MM_1$. Это построение и теорема 2 (применяем и к усеченной пирамиде) лежат в основе решения задач на шар, касающийся всех ребер усеченной пирамиды.

Задача 5. В правильную п-yзольную усеченную пирамиду впи-

59

Рассмотрим трапецию $OO_1M_1M$ (рис. 9), в ней $OM = 2(cm)$, $O_1M_1 = 1(cm)$, $KM = KM_1$ как радиус шара, касающегося ребер усеченной пирамиды. Как и в предыдущей задаче, $CC_1 = CM + C_1M_1 = \frac{CD + C_1D_1}{2} = 3(cm)$. Теперь находим высоту трапеции $CC_1D_1D : M_1M = C_1E = \sqrt{CC_1^2 - (CM - C_1M_1)^2} = \sqrt{8}(cm)$, и высоту трапеции $OO_1M_1M : OO_1 = M_1N = \sqrt{M_1M^2 - (MO - M_1O_1)^2} = \sqrt{7}(cm)$.

Обозначим $OK$ через $x$, тогда $O_1K = \sqrt{7} - x$, $KM_1 = \sqrt{O_1K^2 + O_1M_1^2} = \sqrt{(\sqrt{7} - x)^2 + 1^2}$, $KM = \sqrt{x^2 + 2^2}$. Но $KM_1 = KM$, получается уравнение относительно $x$; решая его, находим: $x = \frac{2}{\sqrt{7}}$. Осталось найти $KM = \sqrt{\frac{4}{7} + 4} = \sqrt{\frac{32}{7}}$ и $KP = \sqrt{KM^2 - PM^2} = \frac{3\sqrt{14}}{7}(cm)$.

Упражнения

1. (НГУ). Шар касается всех ребер куба. Найти площадь поверхности куба, лежащей внутри куба, если ребро куба равно 1 см.
2. (НГУ). Шар касается всех ребер куба. Найти объем объекта шара и куба, если ребро куба имеет длину $a$.
3. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный $45^\circ$. Где находится центр шара, касающего всех ребер?
4. (НГУ). Шар радиуса $R$ касается каждой ребра правильного tetraэдра. Найти объем их объекта.
5. (МГУ, механизм, 1966). Шар радиуса $r$ касается всех ребер треугольной пирамиды. Центр шара лежит внутри пирамиды на ее высоте на расстоянии $r\sqrt{3}$ от вершины. Доказать, что пирамида правильная. Найти высоту пирамиды.
6. (МФТИ, 1963). Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, боковое ребро пирамиды равно $b$. Найти радиус сферы, касающего всех ребер пирамиды.
7. Боковое ребро правильной $n$-угольной пирамиды образует с плоскостью основания угол $a$. На каком расстоянии от плоскости основания центра шара, касающего всех ребер пирамиды, если сторона ее основания равна $a$?