Решётки и правильные многоугольники

26

В этой статье разбираются три тестино связанные между собой вопросы.

1. Можно ли расположить правильный $n$-угольник на листе линованной бумаги — в прямую или косую клетку — так, чтобы его вершины попали в точки пересечения линей?
2. При каких углах $\alpha$, созмерных с полным — то есть содержащих целое или рациональное число градусов, значения синуса, косинуса или тангенса $\alpha$ рациональных?
3. В качестве положения может попасть центр правильного $n$-угольника, который разрезается перекатывать по плоскости (последний вопрос составлял содержание задачи М252 из «Заданияка «Кванта»).

§ 1. Точчные решетки на плоскости
Рассмотрим на плоскости сетку, образованную двумя семействами параллельных прямых, разрезающих плоскость на одинаковые параллельграммы (рис. 1).

Множество всех вершин этих параллельграммов называем мочечной решеткой, сами вершины — узлами решетки, а любой из параллельграммов разбиения — основным параллельграммом разбиения, или параллельграммом, порождающим решетку.

Заметим, что одна и та же решетка может получить из разных сеток прямых: на рисунке 2 изображена так называемая целочисленная решетка, то есть множество точек, имеющих в декартовой системе координат целочисленные координаты. Целочисленную решетку вместе с сеткой прямых, параллельных оси координат, можно представлять себе как бесконечный лист клетчатого бумаги (тогда сновным параллельграммом будет квадрат со стороной 1). Ту же самое целочисленную решетку можно получить, провода красные прямые (тогда сновным параллельграммом служит параллельграмм ABCD).

Таким образом, понятие основного параллельграмма решетки связано

Рис. 1, Рис. 2.

27

не только с самой решеткой, но и с сеткой прямых, эту решетку порождающих.

Из простейших свойств решеток пока отметим следующие.

1°. Всякий паралельный перенос, переводящий некоторый узел решетки в другой узел, переводит решетку в себя.

2°. (Лемма о чемвертой вершине паралелограмма). Если три вершины паралелограмма являются узлами некоторой решетки, то и четвертая вершина — тоже узел этой решетки.

3°. Если через произвольные два узла Q и R решетки проводится прямую, то эта пряма проидет через бесконечное количество узлов. При этом все расстояния между соседними узлами, лежащими на прямой, будут равны (см. рис. 1).

4°. Если паралелограмм с вершинами в узлах некоторой решетки не содержит других узлов на сторонах и внутри себя, то он эту решетку порождает.

У практики

1. Докажите свойство $1^\circ - 4^\circ$.
2. Пусть $a$ и $b$ — любые действительные числа. Докажите, что множество всех точек с координатами $(ka, lb)$, где $k$ и $l$ — целые числа, является решеткой.

Важное свойство решеток отражает следующая задача — шутка:
В некотором узле $A$ решетки находится охотник, а в остальных узлах сдят одинаковые и одинаково расположенные зайцы (см. рис. 3, а). Охотник наведет стрелем (траектория пули — луч, выходящий из точки $A$). Вернемся ли он домой с добией? (Зайцы сцимаются «молстыми»).

Понятно, что если траектория пули проходит через узел (отличный от точки $A$), то заяц, сидящий в этом узле, будет убит. Поэтому интерес только тот случай, когда узел $A$ — единственный на траектории пули; оказавается, что и в этом случae какой-нибудь заяц будет убит. Доказательство содержится в следующей лемме.

28

Легко видеть, что среди всевозможных попарных расстояний между узлами любой решетки есть наименьшее (доказhte!).

Это свойство вместе со свойством 2° решетки можно принять за определенное решеток.

Теорема. Пусть многочесство M на плоскости обладает следующими свойствами:

a) расстояние между любыми двумя его точки не меньше некоторого положительного числа d;

б) если три точки A, B, C множество M является вершинами некоторого параллелограмма ABCD, то и цветерная вершина D это параллелограмма приадлежит многочесму M.

Тогда M — решетка.

Доказательство. Возьмем произвольную точку B, принадлежшую многочесту M.

Пусть A — ближайшая к B точка из M (рис. 4, а); такая точка существует, так как все попарные расстояния между точками многочесва M больше d).

Через точки A и B проведем прямую. Среди точек многочесва M, не лежащих на этой прямой, выберем ближайшую к точке B — точку C — и построим параллелограмм ABCD. В силу свойства 6) точка D также принадлежит многочесму M.

Построим решетку, порождаемую параллелограмм ABCD. Докажем, что многочесво M совпадает с построенной решеткой.

Из свойства 6) многочесва M следует, что все узлы этой решетки ему принадлежат

Рис. 4.

Рис. 5.

У разженце 3. Докажите это.

Позному нужно только проверить, что ни на границе, ни внутри параллелограмма ABCD нет точек многочесва M, отличных от его вершин.

Это почти очевидно: если точка S лежит внутри параллелограмма (рис. 4, 6), то хотя бы один из углов $\widehat{ASB}$, $\widehat{BSC}$, $\widehat{CSD}$ и $\widehat{ASD}$ будет тупым или прямым, и поэтому расстояние от S до одной из его вершин оказывается меньше какой-нибудь его стороны (если S лежит на границе — то же самое); пусть, например, это расстояние SC. Построим параллелограмм BCSS’ (S’ принадлежит M). Тогда BS’ меньше либо BC, либо BA, но это противоречит выбору любого точки C, либо точки A.

Остальные случаи разберите самостояно.

Теорема доказана.

У разженяя

4. Пусть $\alpha$ — произвольное irrationalное число. Докажите, что для любого $\epsilon > 0$ и любого действительного числа $\beta$ найдет такие целые числа m и n, что $|m\alpha + n - \beta| < \epsilon$.

5 *. Докажите, что десятичная запись числа $2^n$ может начинаться с любой, наперед заданной комбинации цифр.

§ 2. Правильные многоугольники

Возьмем лист клечатой бумаги. Поянято, что квадрат с вершинами в узлах такой решетки можно нарисовать многогими способами (рис. 5, а). А можно ли на клечатой бумаге нарисовать правильный треугольник? Правильный шестиугольник?

29

Оказывается, нельзя.

Упражнение 6. Докажите это.

В то же время легко построить решетку, на котором правильный треугольник уже можно «поместить» (рис. 5, 6).

Спрашивается, а как обстоят дела с остальными правильными многоугольниками? Существует ли, например, решетка, на котором было бы «поместить» правильный пятугольник так, чтобы все его вершины оказались узлами этой решетки?

Оказывается, такой решетки нет. Действительно, предположим, что нам удалось построить решетку так, что вершины правильного пятугольника оказались в ее узлах (см. рис. 6). Проведем диагонали этого пятугольника. По лемме 2 § 1 точки пересечения диагоналей являются узлами решетки: каждая из них служит четвертой вершиной параллелограмма, три другие вершины которого — узлы решетки (точка $A_1$, например, — вершина параллелограмма $A_1CDE$). Эти точки образуют правильный пятугольник с сторонами в $k = \frac{A_1B_1}{AB}$ раз большей стороны исходного пятугольника. Проведя диагонали нового пятугольника, получим еще меньший пятугольник с вершинами в узлах нашей решетки и так далее. В конце концов сторона пятугольника становится меньше минимального расстояния между узлами решетки,

Рис. 6.

а это нахождение в противоречии с тем, что вершины получаются пятугольников — узлы решетки.

Упражнение 7. Найдите $k$.

Итак, правильный пятугольник не может быть «нарисован» ни на одной решетке.

Докажем, что точно так же обстоит дело и с остальными правильными $q$-угольниками при $q \geq 7$.

Доказательство основывается на той же идее; предполагается, что правильный $q$-угольник с вершинами в узлах решетки существует, и строится меньший $q$-угольник с вершинами в узлах. Затем процесс построения повторяется. В конце концов получается правильный $q$-угольник со сторонами, меньшей минимального расстояния между узлами. Поэтому нам нужно только указыть, как по данному правильному $q$-угольнику с вершинами в узлах решетки построить меньший правильный $q$-угольник, вершины которого будут также находиться в узлах нашей решетки.

Пусть $A_1, A_2, \dots, A_q$ — узлы некоторой решетки, являющиеся вершинами правильного $q$-угольника, и пусть $M$ — произвольный узел решетки (рис. 7). Отложим от точки $M$ отрезки $MA'_1, MA'_2, MA'_3, \dots, MA'_q$, равные, параллельные и так же на-

30

правленные, как сторона $A_qA_1, A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_{q-1}A_q$ называемого многоугольника. Точки $A'_1, A'_2, A'_3, \dots, A'_q$—узлы решетки, так как каждая из них является четвертой вершиной параллелограмма, три другие вершины которого — узлы.

Легко видеть, что многоугольник $A'_1A'_2 \dots A'_q$ — правильный, причем длина его стороны в $k_q = \frac{|A_1A_2|}{|OA_1|}$ раз больше длины стороны исходного $q$-угольника.

Тем самым вопрос о правильных многоугольниках, «помещающся» на точных решетках, полностью решен: максимум многоугольника является molleко квадраты, правильные треугольники и правильные шестуугольники.

У практике не ия
8. Найдите $k_q$.
9. Существуют ли решетки, кроме целочисленной, на которые можно поместить квадрат?
10. Приведите пример решетки, отличной от изображенной на рисунке 5, 6, на котором можно поместить правильный треугольник.
11. Существует ли решетка, на котором помещаются и квадрат, и правильный треугольник?
12. (Н. Б. Васильев). На плоскости проведены параллельные прямые на одинаковом расстоянии друг от друга («тетрадь в линейку»). Кание правильные $n$-угольники можно направовать на плоскости так, чтобы все вершины лежали на проведенных прямых?

§ 3. Иrrациональное значение тригонометрических функций.

Сложите ли вы ответить на такой вопрос: рациональные или irrationalные числа $\sin 1^\circ, \cos \frac{\pi}{19}, \tg \frac{7}{55} \pi$?

Или на такой: сопзмермы *) ли числа $\pi$ и arctg $\frac{1}{3}$?

*) Напомним, что два числа $\alpha$ и $\beta$ называются сопзмерными, если их отношение — рационально, то есть $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p}{q}$ где $p$ и $q$ — числа числа и $q > 0$.

И вообщее: для каких углов $\alpha = \frac{p}{q} \pi$ ($p$ и $q$ целые) будут рациональными числа: a) $\cos \alpha$; b) $\sin \alpha$; b) $\tg \alpha$?

Ясно, что $\cos \alpha$ рационален при $\alpha = \frac{k\pi}{2}$ и $\alpha = \frac{\pi}{3} (3k \pm 1)$;

$\sin \alpha$ — при $\alpha = \frac{k\pi}{2}$ и $\alpha = \frac{\pi}{6} (6k \pm 1)$;

$\tg \alpha$ — при $\alpha = k\pi$ и $\alpha = \pm \frac{\pi}{4} + k\pi$ ($k$ — целое).

Мы видим, что при остальных $\alpha = \frac{p}{q} \pi$ значения всех трех функций irrationalны.

Для доказательства нам понадобится следующие простые факты из тригонометрики:

1. Для всякого натурального $n$ функция $\cos nx$ является многочленом $n$-й степени от $\cos x$ с целыми коэффициентами, то есть
   $$\cos nx = P_n(\cos x),$$
   где $P_n(y)$ — многочлен с целыми коэффициентами степени $n$.

2. Функция $\sin nx$ является произведением функции $\sin x$ на некоторый многочлен степени $n - 1$, относительно $\cos x$, с целыми коэффициентами, то есть
   $$\sin nx = \sin x \cdot Q_{n-1}(\cos x),$$
   где $Q_{n-1}(y)$ — многочлен с целыми коэффициентами степени $n - 1$.

У практике 13. Докажите эти утверждения.

Отметим простые следствия:
a) если $\cos x$ — рациональное число, то $\cos nx$ — можно рациональное число, а числа $\sin x$ и $\sin nx$ совпаданы (при $\sin nx \neq 0$);
b) если $p$ и $q$ взаимно простые числа и $\cos \frac{p}{q}$ π рациональное число.
Докажем 6) (свойство a) очевидно.
Заметим, что если $p$ и $q > 1$ взаимно просты, то существует такое натуральное

31

Пусть $A_0, A_1, A_2, \dots, A_{2q-1}$ — точки пересечения этих лучей с единичной окружностью (рис. 8).

Многоугольник $A_0, A_1, A_2, \dots, A_{2q-1}$ правильный; точка $A_k$ имеет следующие координаты:

$$\left( \cos \frac{k}{q} \pi, \sin \frac{k}{q} \pi \right).$$

Так как $\cos \frac{\pi}{q}$ рационален, то абсцисса точки $A_k$ — число рационального числа $Q_k \left( \cos \frac{\pi}{q} \right) = \frac{r_k}{s_k}$ на число $\sin \frac{\pi}{q}$ (см. упражнение 13 и 14; $k=1, 2, \dots, 2q-1$; координаты точки $A_0=(1, 0))$.

Итак,

$$A_k = \left( \frac{m_k}{n_k}, \frac{r_k}{s_k} \cdot \sin \frac{\pi}{q} \right).$$

Приведем все дроби $\frac{m_k}{n_k}, \frac{r_k}{s_k}$ к общему значению; обозначим его через $D$. Тогда

$$A_k = \left( \frac{M_k}{D}, \frac{N_k}{D} \cdot \sin \frac{\pi}{q} \right),$$

$M_k$ и $N_k$ — целые, $k=1, 2, \dots, 2q-1$.

Рассмотрим теперь все точки с координатами

$$\left( \frac{i}{D}, \frac{j}{D} \cdot \sin \frac{\pi}{q} \right)$$

($i$ и $j$ — целые) — эти точки образуют решетку (см. упражнение 2), причем вершины нашего правильного $2q$-угольника $A_0 A_1 \dots A_{2q-1}$ являются ее узлами. Но этого не может быть (см. § 2), так как $2q \geq 8$. Поэтому наше предположение о том, что при $q>3$ число $\cos \frac{\pi}{q}$ рационально, было неверным, и, следовательно, все числа $\cos \frac{p}{q} \pi$ ($q>3$, $p$ и $q$ взимно просты) irrationalны!

32

Рис. 9.

Упражнение 15. Пусть $q \geq 3$, $p$ и $q$ взаимно просты. Докажите, что

a) числа $\sin \frac{p}{q}$ для $q \neq 6$ irrationalны;

b) то же для чисел $\lg \frac{p}{q}$, если $q \neq 4$.

Полученные результаты можно сформулировать еще и так: числа $\arcsin \frac{p}{q}$, $\arccos \frac{p}{q}$ при $\frac{p}{q} \neq 0, \pm \frac{1}{2}, \pm 1$, а также числа $\arctg \frac{p}{q}$ при $\frac{p}{q} \neq 0, \pm 1$ (и взаимно простых $p$ и $q$) несоизмеримы с числом $π$.

§ 4. Решение задачи M252

Итак задача M 252: a) На плоскости лежит правильный воспцуольник со сторной а. Ето разрешается «перекатывать» по плоскости, переворочная (симметрично отраская) относительно любой стороны. Докажите, что для любой точки $A$ плоскости и любое $\varepsilon > 0$ можно перекатывать воспцуольник в макое положение, что центр его будем находиться от точки $A$ на расстоянии меньше $\varepsilon$.

b) Решите аналогичную задачу для правильного прямоугольника.

в) Для каких правильных $q$-уольников верно аналогичное утверждение?

Мы приведем два решения этой задачи. Первое решение описется на irrationalность чисел $\cos \frac{2\pi}{q}$ при $q > 4, q \neq 6$. Второе основывает на теореме, доказанной в § 1.

Прежде всего заметим, что утверждение задачи не справедливо для правильных треугольника и шести-угольника, а также и для квадрата: в этих случаях точки, в которые попадает центр соответствующего многоугольника в результате «перекатываний», образуют решетку (доказательное это!). Оказывается, что для всех остальных правильных $q$-уольников утверждение задачи верно — мы докажем, что каковы бы ни были точка $A$ и $\varepsilon > 0$, центр любого правильного $q$-уольника при $q \neq 3, q \neq 4, q \neq 6$ после некоторого количества «перекатываний» попадает в круг радиуса $ε$ с центром в точке $A$.

Прежде чем приступать к доказательству, выясним неокоторые свойства множества $M$ тех точек плоскости, в которых переходит центр правильного $q$-уольника $P$ после четверого числа «перекатываний». Заметим, что $q$-уольник $P'$, получающий из $P$ после четверого числа «перекатываний», расположен таким образом, что его стороны параллельны сторонам исходного. Поэтому мы можем считать, что $P'$ получен из $P$ параллельным переносом.

Лемма 1. Если при вершины параллелограмма $A, B$ и $C$ принадлежат $M$, то и цветерая его вершина $D$ также принадлежит $M$.

Доказательство. Пусть точки $A, B$ и $C$ принадлежат $M$ (см. рис. 9) и $D$ — четвертая вершина параллелограмма. Ясно, что мы можем пройти из точки $C$ в точку $D$, осуществляя те же параллельные переosci что и при переходе из точки $B$ в точку $A$.

Рис. 10.

33

Лемма 2. Множество $M$ переходим в себя при повороте на угол $\frac{2\pi}{q}$ вокруг любой из его точек.

Доказательство. Построим цепочка $q$-угольников, примыкающих друг к другу по стороне и «соединиющих» наш $q$-угольник с центром в заданной точке $O$ с $q$-угольником с центром в любой другой точке $A$ множество $M$ (рис. 10). При повороте на угол $\frac{2\pi}{q}$ вокруг точки $O$ эта цепочка многоугольников переходит в другую цепочку, соединишую исходный многоугольник с многоугольником, центром которого является точка $A'$, полученная из $A$ поворотом. Следовательно, точка $A'$ также принадлежит многоугольнике $M$.

Перейдем к доказательству сделанного утверждения.

Первое доказательство. Разберем сначала случай правильного воспоминания. (Будем считать, что апофема многоугольника равна 1.)

Введем на плоскости системы координат так, как показано на рисунке 11, и просмотр, что проискодит с координатами центров при «перекатывании» через стороны многоугольника $P$.

При «перекатывании» вдоль оси $Ox$ ordinalы центров не меняются, а абсциссы увеличиваются или уменьшаются на 2. При перекатывании вдоль биссертрисы первого координатного угла координаты точек любую увеличивается, либо уменьшается на $\sqrt{2}$.

Если сделать $n$ шагов вдоль этой биссертрисы вправо — вверх, затем $m$ шагов вдоль оси $Ox$ влево и $m$ шагов вдоль оси $Oy$ вниз, то мы попа-дем в точку $N$ с координатами $(n\sqrt{2}-2m, n\sqrt{2}-2m)$ (см. рис. 11); так как $\bar{2}$ число irrationalное, то (см. § 1) найдет также натуральные $m$ и $n$, что

$$0 < n, \bar{2} - 2m < \frac{\varepsilon}{4},$$

где $\varepsilon$ — любое положительное число.

Отметим, что мы можем также притить в точку $N'$, получающийся из $N$ поворотом на угол $45^\circ$ по часовой стрелке, и в точку $N''$, получающийся из $N$ поворотом на угол $45^\circ$ против часовой стрелки.

Достроим треугольник $ON'N''N''$ и рассмотрим решетку, им порождаемую.

Так как стороны и диагонали квадрата $ON'N''N''$ меньше $\varepsilon$ (см. (*) и рисунок 11), то во всяком кругге $L$ радиуса $\varepsilon$ оказывается хотя один узел решетки. Но по лемме 1 все узлы этой решетки можно получить «перекатываниями» из центра воспоминания.

Тем самым про воспоминания все доказано.

Для остальных многоугольников (конечно правильных) доказательство проводится по той же схеме.

Второе решение. Это решение несколько короче первого и, пожалуй, нагляднее, но оно использует трудную теорему из § 1.

Как мы видели, достаточно доказать, что во множестве $M$ найдет сколькую уголно близкие точки.

Предположим, что это не так, то есть предположим, что между точками многоугольника $M$ больше некоторого положительного числа $d$.

В силу теоремы из § 1 и лемм 1, и 2 многоугольно является решеткой, которая, к тому же, переходит в себя при повороте на угол $\frac{2\pi}{q}$. Из этого немедленно следует, что существует правильный $q$-угольник с вершинами в ее узлах, а это возможно лишь при $q = 3$, $q = 4$ или $q = 6$.

Решение законено.