Анри Лебег

2

Анри Лебег
(к столетю со дня рождения)

Анри Лебег родился это лет тому назад, 28 июня 1875 года, в маленьком французском городке Бовэ. После успешного окончания школы Лебег поступил в Парижскую Высшую Нормальную школа, где слушал лекции Ж. Таннери, К. Жордана и других выдающихся математиков. Окончив ее, он работал преподавателем математики лицея в Нанси, продолжая научную работу, начатую еще в Париже. Зашитив в 1902 году докторскую диссертацию, Лебег перешел на кафедру математики провинциального университета в городе Ренне, откуда переехал в Пуатье, и лишь в 1910 году вернулся в Париж, где стал профессором Сорбонны, а с 1921 года — Коллек де Франс.

За свои научные заслуги Лебег был избран в 1922 году членом Французской Академии наук, в 1924 году — почетным членом Лондонского математического общества, а в 1930 году — членом Королевского общества (Англійской Академии наук). Четыре раза он получал академические премии, написал несколько книг и много научных работ. После тяжелой болезни Лебег скончался 26 июля 1941 года.

Тихая, неторопливая жизнь кабинетного ученого! Но насколько незаетейливыми были внешние события жизни Лебета, настолько ярким и глубокими оказались его научные достижения. Если открыть научад любу страницу какой-нибудь книги по теории функций действительного (или, как еще говорят, вещественного) переменного, по функциональном анализу или по теории вероятности, почти наверняка там встреется слова «мера Лебета», «точка Лебета», «интеграл Лебета», или введенные им понятия «суммируемая функция», «почти всюду», а иногда имя Лебета оказывается зашифрованным символом $L^p$: ведь $L$ — это первая буква его фамилии Lebesque, а $L^p$ — пространство функций, $p$-я степень которых суммируется по Лебету. Почти все понятия, относящиеся к современной теории меры и интеграла, восходят к работам Лебета, и введение этих понятий в каком-то смысле оказалось поворотным пунктом перехода от математики XIX века к науке XX века.

В развитии научки бываютdlительные перiodы, напоминающие способное течение большой реки. В эти периоды, исходя из уже готового запаса понятий и представлений, учены们 получают новые научные результаты и расширяют области применения уже известных методов. Но понемного научного накапливается проблемы, решения которых в рамках существующих научных представлений невоз-

4

понятный не слишком положи на привычные.

Оказалось, например, что существуют непрерывные линии, проходящие через любую точку квадрата, кривые, к которым ни в одной точке нельзя проверсти касательную, области, которые нельзя приписать никакого значения площади. Дело было в том, что понятие геометрической фигуры стало применяться в ином смысле, чем это делали математики предыдуших поколений. После того как Кантор создал теорию бесконечных множеств, математики стали считать фигурами любые точные множества, в том числе определяемые с помощью бесконечных процессов. Вот несколько примеров таких фигуры.

Возьем квадрат со стороны 1 и разделим его на 9 квадратов. После этого выбросим «крест», образованный пятью квадратами, сохранив границы оставшихся квадратов. Получится фигура, состоящая из четырех квадратков (рис. 1). С каждым из них проделаем ту же операцию и будем продолжать этот процесс до бесконечности. У нас будет получаться фигуры, состоящие из все большого и большого числа квадратков, размеры которых все время уменьшаются. Фигуры, полученные на каждом шагу этого про-
цесса, обччны, но если взять пересечение всех получившихся фигуры, то перед нами оказывается весьное множество.

Другое множество получается, если выбрасывайте не креsts, а лишь центральные квадраты, оставляя их границы (рис. 2).

Исследования таких множеств, а также фигуры, имеющих веса страницы свойства (например, всоду разрывных, или непрерывных во всех irrationalных точках и разрывных во всех разциональных точках, фигуций, графики которых не имеют ни в одной точке определенного направления), стали все чаще и чаще появляться во второй половине XIX века. Эти исследования привètствовались далеко не всему учеными!

Mathematики классического направления считали, что наука должна иметь дело с объектами, неосредственно отражающими свойства реального мира. Их мнение о таких исследованиях ярко выражил один из крупнейших ученых того времени Ани Пуанкаре. Он сказал: «Раньше, когда изобретали новую функцию, то имели в виду какую-нибудь практическую цель; теперь их изобретал, не извлекая из них никакой ползы, а только для того, чтобы обнаружить недос-

5

татки в рассужdenях наших отцов».
Еще резче выразился на эту тему руководитель французской математической шкалы Шарль Эрмит. В своей письме видному голландскому математику Т. Стильсесу он писал: «Я сужасом и отвращением отворчиваюсь от этой разратающейся языfuкиций, не имеющих производной». Новую математику классики назвали «тераторогей» (наукой об уродствах) функций.

Но молодежь тянулась к новым областям науки, не обращая внимание на вопросные математиков предшествующего поколения. Во Франции их вдохновляли лекции Жюля Таннери и Камилла Жордана, в которых математического анализа строился на творной основе точных определений, безупречных доказательств, железной логики. Они усаивали на этих лекциях, что хотя разрывные функции и не встречались в существовавших тогда приложениях, их надо изучать наравне с непрерывными, так как этого требуют правильно понимание интерсымы математики; они узнавали, что определения длин, площадей и объемов, годные лишь для гладких линей и поверхностей, слишком узки, что надо искать более общие определения. Эти идеи накопились, переодили в убеждания, становились стимулом к научной работе. В 1898 году молодой французский ученый Р. Бэращитил диссертацию, в котором дал глубокую классификацию разрывных функций. В том же году появился книга одного из самых ярких лидеров молодежи, двадцатисемилегного математика Эмиля Бореля, посвященная новой теории функций. К этой научной школе и примкнул начинающий в ту пору своего научную деятельности Анира Лебег.

Одной из первых работ Лебега была заметка «О непленечных развертывающихся поверхностях». Эта работа разгневала математков классического направления. Особенно возмущался один из ведущих геометрового времени Гастон Дарбу. Само название работы казалось ему противоестетенным. Дело в том, что развертывающийся называют поверхности, достаточно маленькой которых можно получить, изгибая кусок плоскости. Но все известные к тому времени развертывающие поверхности — цилиндры, конусы и другие — составили из прямолинейных образующих. Они были, как говорят, линейными. Поэтому говорить о непленечных развертывающихся поверхностях казалось полной нелепостью. Но все дело было в том, что молодой автор по-иному, чем геометры-классики, понимал развертывающие поверхности. Он считал таким не только поверхности, получаемые аккуратным изгибанием листа бумаги, но и поверхности, которые получаются, если этот лист скомкать (объясняя эту работу своим друзям, он так и сказал: «Представьте себе скомканный носовой платок»). Оказалось, что можно так «скомкать» кусок плоскости, что после этого на нем не остается ни одного прямолинейного отрезка. Разумеется, получившаяся развертывающая поверхность игнорде не имела касательной плоскости, она всегда из складок и изломов. И понятно, почему ее пропустили геометры, классифицируя развертывающие поверхности — они-то занимались лишь гладкими поверхностями.

Интерес Лебега к развертывающимся поверхностям не был случайным. Его интересовал общий вопрос, поставленный еще Камиллом Жорданом: как определить площад поверхности, не предполагая ее гладкости. Найти площад скомканной развертывающей поверхности легко — достаточно развертнуть ее на плоскость. Но сосчитать площад такой поверхности по формулам, предлагаем классический математикой, невозможно — в них входят произвольные, а они существуют лишь для гладких поверхностей.

Конечно, вместе касательных плоскостей можно было попробовать вы-

Рис. 3.

числить площадь поверхности по-другому, вписывая в нее многогранники и переходя к пределу при уменьшении всех размеров граней. Но немецкий математик Г. Шварц доказал, что таким путем невозможно найти площадь самого обыкновенного цилиндра — в него можно вписать многогранник со сколь угодно малыми гранями, имеющий сколь угодно большую площадь. Такой многогранник весь состоит из мелких складочек.

Лебегу удалось после длительных размышлений придумать определение площади поверхности, которое не требовало проведения касательных плоскостей, но в то же время обходило все трудности, связанные с примером Шварца. Решая эту частную задачу, Лебег пришел к общим идеям о том, что такое мера множества, как измерять длины, площади и объемы самых причудливых фигур. Этим вопросом интересовались до него многие математики. Наиболее удачным оказалось определение Жордана.

Основная идея Жордана заключалась в следующем. Существуют фигуры, заведомо имеющие площадь, например, многоугольники. Предположим теперь, что фигура $\Phi$ обладает следующим свойством: какое бы малое положительное число $\varepsilon$ мы ни взяли,

найдутся две многоугольные области*) $\Phi_\varepsilon$ и $\Phi_\varepsilon^*$, такие, что $\Phi_\varepsilon$ целиком содержится в фигуре $\Phi$, а $\Phi_\varepsilon^*$ целиком ее содержит, причем разность площадей $\Phi_\varepsilon^*$ и $\Phi_\varepsilon$ меньше $\varepsilon$. Тогда за площадь фигуры $\Phi$ надо принять число, которое заключено между площадями $\Phi_\varepsilon$ и $\Phi_\varepsilon^*$ для всех $\Phi_\varepsilon$ и $\Phi_\varepsilon^*$. По другому это же определение можно сформулировать так: фигура $\Phi$ измерима по Жордану, если для любого $\varepsilon > 0$ ее можно представить в виде объединения многоугольной области $\Phi_\varepsilon$ и остатка, который покрывается многоугольной областью, имеющей площадь ме́ньшую, чем $\varepsilon$. Мера же $m\,(\Phi)$ такой фигуры заключена между числами вида $m\,(\Phi_\varepsilon)$ и числами вида $m\,(\Phi_\varepsilon) + \varepsilon$, где $m\,(\Phi_\varepsilon)$ — площадь $\Phi_\varepsilon$.

Это определение соответствует обычному процессу измерения площадей фигур. К нему мы прибегаем в школе, измеряя площадь круга — в роли внутренних многоугольников выступают правильные вписанные многоугольники, а остаток состоит из сегментов круга, отрезанных сторонами этого многоугольника. Эти сегменты можно заключить в треугольники, образованные хордами и касательными (рис. 3) и показать, что при достаточно большом числе сторон многоугольника суммарная площадь этих треугольников сколь угодно мала.

Мера Жордана обладает многими хорошими свойствами, в частности, как тому и положено быть, объединение конечного числа попарно непересекающихся измеримых по Жордану множеств измеримо, и его мера равняется сумме мер частей. С помощью этой меры удалось приписать площадь множествам, которые математики-классики не считали настоящими фигурами. Например, вспом-

---

*) Многоугольной называется область, которую можно разбить на несколько многоугольников, не имеющих общих внутренних точек.

6

7

ним фигуру, которое мы получили путем выбрасывания крестов из квадрата со стороны 1. После $n$ выбрасывания остается $4^n$ квадратов, каждый из которых имеет площадь $1/9^n$. Поэтому все остальные множества можно покрыть квадратами с общей площадью $\left(\frac{4}{9}\right)^n$. Но $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4}{9}\right)^n = 0$, а это значит, что при достаточно большом $n$ общая площадь покрывающих квадратов сколь угодно мала, а потому мера всего оставшегося множества равна нулю.

To, что описанное выше множество имеет нулевую меру по Жордану, не удивительно, ведь оно пасквозь продуктявлено выбрасываемыми крестами и не имеет «живого места». Удивительно то, что другие столы же дырявые множества оказались невозможно изменить по Жордану. Такое множество можно построить, более экономно выбрасывая крестья, а именно выбрав первый крестья с площадью $1/4$, потом четыре крестья общей площади $1/8$ и т. д. Остационные квадраты имеют последовательное общие площади в $3/4$, $5/8$, $9/16$ и т. д. Все эти числа больше, чем $1/2$, и потому любой многоугольник, содержащий остащееся после бесконечного числа выбрасываний множество, имеет площадь не меньше, чем $1/2$. В то же время это множество не содержит ни одного целого квадрата, и потому его площадь не может быть больше нулю. Получившееся противоречие показывает, что это множество не имеет меры по Жордану. Таким образом, определенные меры по Жордану не охватывают многое интересные фигуры.

Выход из создавшегося положения нашей Борель. Сложив площади всех выбрасываемых крестов, он получил бесконечную убывающую геометрическую прогрессию

$$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^{n+1}} + \dots,$$

сумма которой равна $1/2$. Это число Борель принял за площадь выбро-
шенной части, а за площадь остатка — разность $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Конечно, такой ответ оказывается весом непrivичным — в множестве не было ни одной целой части, а его площадь положительная. Но Борель пошел еще дальше, изменяясь различные множества с помощью двух приципов:

a) Если множество $\Phi$ состоит из счетной *) совокупности изменимых подмножества $\{\Phi_n\}$, никакие два из которых не имеют общей точки, то

$$m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \Phi_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} m(\Phi_n).$$

b) Мера дополнения к изменимому множеству $\Phi$ получается вычитанием из меры целого $U$ меры подмножества,

$$m(\Phi') = m(U) - m(\Phi).$$

Первый из этих приципов — далеко идущее обобщение древнего положения: мера целого равна сумме мер его части; второй следует из того же положения. Получясь своим приципами, Борель нашел меры всех множества, с которых имели дело математики его времени. Например, из его приципов следовало, что любое счетное множество точек имеет нулевую меру: ведь каждая из точек имеет меру нуль, а тогда и объедининие этих точек имеет нулевую меру.

Но в построениях Бореля был один недостаток — одно и то же плоское множество $\Phi$ можно сконструировать из многоугольников различными способами. И ноткуда не следует, что при этом получится один и тот же результат для меры. Над было даь определенные меры, не зависимости от выбора того или иного способа построения множества.

Эту-то пробелу и решил в своих работах Лебег. Взяв от Бореля идею суммирования рядов, он следующим образом видозменил определенное

*) Бесконечное множество называется счетным, если его элементы можно переменать.

9

Точно так же, чтобы счастить значение интеграла от счёв разрывной функции, Лебег предложил делать не область изменения аргумента, а область значений функции. Если заданы числа $y_k$ и $y_{k+1}$, то через $E_k$ обозначим совокупность тех значений $x$, для которых выполняется неравенство $y_k \leq f(x) < y_{k+1}$. Интегральной суммой Лебега называют сумму $\sum_{k} y_k m(E_k)$.

Переход к предлу при безграничном изменении отрезков разбиения, получаем число, которое и равно интегралу Лебега $\int_a^b f(x) \, dx$. Наглядно говоря, суть иден Лебега состоит в том, что для разрывных функции «криволинейную трапецю» надо было резать не параллельно оси ordinат, а параллельно оси абсцисс.

В настоящее время лебеговский процесс вычисления интеграла кажется математикам чем-то само собой разумением. Но в начале века он казался потрясающим самые основы математики. И тогда Лебег придумал новое обоснование того, что его метод вычисления интегралов естествен. Возможно, на него оказал влияние пример Гильберта, давшего несколько ранее аксиоматку геометрии. Подобно этому Лебег сформулировал систему требований, который должен удовлетворять интеграл, и доказал, что единственным определением интеграла, которое удовлетворяет всем этим требованием, является предложенное им.

В 1902 году, благодар поддержке К. Жордана и Э. Пикара, удалось предолеть предубежение противников новой математической шкалы, и Лебег успешно зашитил докторскую диссертацию.

Создание меры и интеграла Лебега позволило предолеть многое трудности, накопившее к тому времени в математическом анализе. Особенно полезной оказалась идея Лебега, что не надо требовать, чтобы каксе-то свойство функции выполнялось для всех значений аргумента, а достаточно изучать свойства, выполняющиеся почти всюду, т. е. всюду, кроме множества точек нулевой меры. Оказалось, например, что если функция $y = f(x)$ ограничена и интерпретаем по Лебегу, то функция $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ почти для всех значений $x$ имеет произвольную, совпадаюшую с $f(x)$. Чрезвычайно полезен интеграл Лебега в теории тригонометрических рядов, т. е. рядов вида

$$\frac{a_n}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx).$$

Сам Лебег много и с увлечением заималался этой теории.

На первый взгляд казалось, что интеграл Лебега — слишком сложный и тонкий инструмент для того, чтобы им можно было пользоваться в приложениях; на практике также «дикие» функции и множества не встречаются, и все практические проблемы обслуживания объчными интеграми. Но в те годы стала развивать теория бесконечномерных пространств, необходимая для изучения и решения интегральных уравнений (уравнения, содержащих искому функцию под знаком интеграла). К таким уравнением свойства многое задчи математической физики, и были придуманы способы их решения, основанные на построении последовательности функций, в известном смысле приближающегося к искому решение. Доказать, оставаясь в рамках классической математики, что такая последовательность кчем-то приближается, не удалалось. Положение дел на поминало здесь попытку решить уравнение $x^2 = 2$, попытясь лишь рациональными числами. Конечно, можно составить последовательность рациональных чисел, приближающегося к искому корню, но сам корень интегрален, и последовательность не имеет предела внутри множества рациональных чисел. Как известно, что

10

бы выйти из этого положения, надо пополнить множество рациональных чисел, присоединив к нему иррациональные числа.

Точно так же последовательность функций, получаемых при приближенном решении интегрального уравнения, не всегда сходится к какой-нибудь «хорошей» функции. Чтобы быть уверенным в существовании решения, надо пополнить множество функций, присоединив к нему разрывные функции. Но если присоединить к множеству непрерывных функций какие попало разрывные функции, то хорошей теории построить не удастся. Оказалось, что присоединять надо функции, квадрат которых интегрируем по Лебегу. Тогда получается пространство, очень похожее по своим свойствам на наше евклидово пространство, только бесконечномерное. Это пространство называют гильбертовым.

Триумф идей Лебега, Бэра и Бореля привел к тому, что даже Дарбу изменил свое мнение о новой математике, и, выступая в 1908 году на Математическом конгрессе в Риме, говорил о пламенном и пытливом духе математики XX века, о науке, ведущей свои изыскания в абсолютно новой области с неизведанными перспективами. Он подчеркнул, что наука XX века не боится атаковать основы построений, которые столь долго казались непоколебимыми.

Позже идеи, приведшие к созданию меры и интеграла Лебега, позволили А. Н. Колмогорову построить аксиоматику теории вероятностей, Н. Винеру определить понятие меры для функциональных пространств. Всюду, куда проникали идеи меры, использовались конструкции и понятия, восходящие к Лебегу. Весьма полезны они оказались в статистической физике, дав возможность А. Я. Хинчину и Дж. фон Нейману обосновать некоторые идеи американского физика Гиббса.

Замечательные работы, лежавшие в области теории функций действи-

тельного переменного (так стали называть область математики, изучавшую общую теорию функций, меры и интеграла) сделали московские математики Д. Ф. Егоров и Н. Н. Лузин, а также их многочисленные ученики.

Сам же Лебег в эти годы интересовался возникавшей тогда теоретико-множественной топологией, предвосхитив в одной из работ позднейшие исследования П. С. Урысона по теории размерности топологических пространств, теорией потенциала и другими вопросами математики. И хотя ничего равного достижениям своей математической молодости он уже не создал, их оказалось вполне достаточно, чтобы обессмертить его имя.

Последние двадцать лет жизни Лебег посвятил проблемам истории и преподавания математики. Естественно, что основное внимание он уделил теории измерения величин в средней школе. В серии статей, позднее собранных в книгу «Об измерении величин» (она переведена и на русский язык), он остроумно подверг критике распространенные заблуждения в преподавании этих вопросов. Он показал в своей книге несостоятельность распространенных определений длины, площади и объема, критиковал учебники за стремление к строгости в одних местах при грубых логических промахах в других.

Прошло 75 лет с тех пор, как Лебег создал свою теорию меры и интегрирования. Эти понятия навсегда вошли в математику — без них нельзя мыслить ни теорию вероятностей, ни функциональный анализ, ни статистическую физику, ни топологическую алгебру.