Задачи наших читателей

48

Один из возможных путей доказательства неравенства (7’) состоит в следующем: сначала нужно доказать, что

$$p_1 \leqslant \frac{3}{2} r_0 \sqrt{3},$$

(8)

т. е., что среди всех треугольников, описанных в данной окружности, наиболее перimetр имеет правильный.

Затем — неравенство

$$p_0 \geqslant 3 r_0 \sqrt{3}.$$

(9)

Это означает, что из всех треугольников, описанных около данной окружности, наиболее перimetр имеет правильный.

Неравенство (7’) следует из (8) и (9). Постраайтесь доказать их самостояльно.

У практике

1. Для каких треугольников $ABC$ при некотором $n$:
   a) $\triangle A_nB_nC_n \sim \triangle ABC$?
   b) $\triangle A_nB_nC_n$ равноведенный?
2. Докажите, что $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A^{(1)}B^{(1)}C^{(1)}$ готовятся.
3. Докажите, что

$$|A_1B_1| \cdot |B_1C_1| \cdot |C_1A_1| \leqslant \frac{1}{8} |AB| \cdot |BC| \cdot |CA|.$$

4. Как было сказано, $p_1/p_0 \leqslant \frac{1}{2}$. Оцените $p_1/p_0$ сизу: найдите такое число $c$, что $p_1/p_0 \geqslant c$.
5. Докажите, что

$$\frac{|A_1B_1|^2 + |B_1C_1|^2 + |C_1A_1|^2}{|AB|^2 + |BC|^2 + |CA|^2} \leqslant \frac{1}{4}.$$

6. Докажите, что наиболее сторона треугольника $A_1B_1C_1$ не преосходит половины наиболее стороны треугольника $ABC$. Можно ли то же самое сказать про наименьшие стороны этих треугольников? Про средние по величины стороны этих треугольников?

Задачи наших читателей

1. Дан треугольник $ABC$. Внутри треугольника взята точка $M$ и соединена с вершинами $A$ и $C$; $K$ и $L$ — точки пересечения соответствующего MC с AB и AM с BC.

Найти множество точки $M$, таких, что $S_{\Delta AKM} = S_{\Delta CML}$.

P. Л. Мкртчян

2. Решить уравнение $n! = n(n+1)(n+2)(n+3)$.

П. В. Парамонов

3. Произведение шести последовательных натуральных чисел может быть равно произведению трех последовательных натуральных чисел. Например, $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 8 \cdot 9 \cdot 10 = 720$. Есть ли такие числа?

B. А. Панарин

4. Найти все группы из 10 натуральных чисел, сумма которых равна их произведению.

E. Мазур

5. В равноведенном треугольнике $ABC$ ($|AB| = |BC|$) через точку $A$ и середину $M$ высоты $BH$ проведена прямая, пересекающая $BC$ в точке $N$. Во сколько раз отрезок $MN$ меньше отрезка $AM$?

B. Ф. Акулии, И. Ф. Акулии

6. В игру «морской бой» обычно играют на клетчатом поле размером $10 \times 10$. «Линкором» в этой игре называют «корабль», занимающий часть игрового поля размером $1 \times 4$.

Найти минимальное количество выстрелов, которое необходимо привести по игровому полю, чтобы произвольно расположенный на игровом поле «линкор» был поряджен хотя бы один выстрел.

B. Г. Чванов