59
О системах счисления
Дорогой Сережа!
Помнишь нашу встречу в Батуми?
В беседе со мной ты принался, что собираешь стать космонавтом. На мое замечание, что для достижения этой цели тебе нужно будет уседно заниматься, основательно выучить биология, химию, физику, математике, ты ответил очень оригинально — начал демонстрировать свои позания. Оказаюсь, что математику ты знаешь отлично, даже любшь ее. И тогда я решил задать тебе «каверзный» вопрос: «почему верно равенство 7+8=15 и может ли быть верным равенство 7+8=16?»
Ты был немало удивлен, даже как-то растерян, но вскоре нашелся и ответил: «потому, что 7+8=15, а равенство 7+8=16 — неверное!». Было заметно, что ты сам не удовлетворен своим ответом. Я собирался обьясить, в чем тут дело, но, к сожалению, у нас не было возможности продолжить беседу, и я обещал тебе написать на эту тему письмо в «Квант», который ты, так же как и я, очень любшь. Выполняю свое обещание. Итак, первый вопрос.
Почему верно равенство 7+8=15?
Что бы ответить на этот вопрос, нужно выяснить, что подразумевается под записью «15». Такая запись, как ты отлично знаешь, означает, что в этом числе 1 десяток и 5 единиц. Иными словами, 15 — это сумма 1×10+
60
+5×1. Аналогично 287, например, есть сумма 2×100+8×10+7×1. Последней сумме можно придать более удобную, как бы более симметрично форму:
Ты, конечно, знаешь, что первый степень любого числа равна сумму числу, поэтому вместе 10 мы можем написать 10¹. Что же касается последнего слагаемого, то скажу тебе, что любое отличное от нуля число в нульовой степени приято считать равным единице. В частности, 10⁰ = 1, и единицу мы можем заменить на10⁰. В данном случае это очень удобно.
Итак, имеем:
Обратите, пожалуйста, внимание на расположение цифр данных чисел в правых частях этих равенств.
Вот еще два примера:
Попробуй записать в такой же форме следующие числа: 103 009, 222 669, 23 456 789.
Возможно представления чисел в виде таких сумм позволяет записывать числа, даже очень большие, всего десять цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При такой записи особую роль играет число десять. Поэтому эта система записи чисел называется десятичной, а число десять — основанием этой системы. Вторым важным моментом такой записи является то, что значение каждой цифры определяется не только его самой, но и местом (позицией), которое она занимает в записи данного числа. Например, цифра 2 в записи числа 325 «стойт» в десять раз дороге, чем такая же цифра в записи числа 872, так как она начинает десятичную.arifметнику и привыкнуть к ней. Общно, когда рассматривают числа в разных системах числения, у каждой числа ставят индекс — основание системы числения, в которой число записано. Тогда рассмотренные нами примеры можно записать так: