Тайны циклоиды

19

Тайны циклоиды

С. Г. Веров

«Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели ее древние …, ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздем колеса, когда оно катится своим движением с того момента, как гвоздь начал подниматься от земли, до того, когда непрерывное качение колеса не приводит его опять к земле после окончания целого оборота».

Паскаль

Кривую, «так часто вычерчивающуюся перед глазами каждого», первыми заметили Галилей (в Италии) и Мерсенн (во Франции). В Италии ее назвали циклоидой, во Франции — рулеттой. Привилось первое название, а рулеттами теперь называют кривые более широкого класса (см. статью «Касательные к рулеттам», «Квант», 1975, № 5, с. 22; в дальнейшем, ссылаясь на эту статью, мы будем писать КР). Математики XVII века, создававшие общие методы исследования кривых, были очень заинтересованы в новых «подопытных» кривых. Среди этих кривых циклоида заняла особое место. Она оказалась одной из первых трансцендентных кривых (кривых не алгебраического происхождения), для которых удалось найти красивый явный ответ в задачах о построении касательных и вычислении площади. Но больше всего поражало, что циклоида вновь и вновь появлялась при решении самых разных задач, в пер-

2*

воначальной постановке которых она не участвовала. Все это сделало циклоиду самой популярной кривой XVII века: в 1673 году Гюйгенс констатировал, что «циклоида исследована точнее и основательнее всех других кривых».

1. От кинематического определения к аналитическому

Кинематическое определение циклоиды содержится в эпиграфе к этой статье. Попробуем его расшифровать.

Выберем на плоскости систему координат так, чтобы прямая, по которой катится круг (направляющая прямая), совпала с осью $Ox$, и пусть круг (его называют производящим кругом) катится в положительном направлении оси $Ox$. Предположим, что в начальный момент времени наблюдаемая точка границы круга занимает положение $A_0=O=(0,0)$ (рис. 1). Если $r$ — радиус производящего круга, то центр его будет двигаться по прямой $y=r$. Чтобы полностью охарактеризовать качение круга, достаточно описать движение его центра, если только добавить, что круг катится без скольжения *). Нам удобно, зафиксировав единицу времени, предположить, что центр круга движется равномерно со скоростью $r$. В момент времени $t$

---

*) Вероятно, именно это и имел в виду Паскаль, когда писал, что колесо «катится своим движением».

20

центр круга оказывается в точке $C_t = (tr, r)$, и производящий круг будет касаться направляющей прямой в точке $B_t = (tr, 0)$.

Найдем теперь положение $A_t$ на ближайшей точки в момент времени $t$ (в силу определения $A_t$ будет точкой циклонды). Чтобы это сделать, нужно четко формировать у слова и е, что качение круга проискодит без скольжения: оно состоит в том, что длина отрезка между точками касания производшего круга с направляющей прямой в момент времени 0 и $t$ (отрезка $OB_t$; см. рис. 1) равна длина других $B_tA_t$, «прокатившейся» по этому отрезку (при этом дуга может превышать полную окружность).

Поэтому в момент времени $t$ угол $B_tC_tA_t$ равен $t$ (в радианной мере), так как длина других $B_tA_t$ равна $tr$. Обозначив через $D_t$ проекцию точки $A_t$ на прямую, проходящую через центр круга $C_t$ параллельно оси $Ox$, а через $E_t$ — проекцию точки $A_t$ на прямую, проходящую через центр $C_t$ параллельно оси $Oy$ (рис. 2), получим (с учетом направления координатных осей)

$$C_tD_t = -r\sin t, \quad C_tE_t = -r\cos t$$

(посмотрите, что будет в случае $t > \frac{\pi}{2}, t > \pi$). Следовательно, координаты точки $A_t$ циклонды равны соответственно

$$x = rt - r\sin t, \quad y = r - r\cos t$$

Заметим, что при $t = 2\pi$ длина отрезка $OB_t$ оказывается равной длине окружности, наблюдаемая точка вновь попадает на ось $Ox$ ($A_{2\pi} = (2\pi, 0)$) и картина начинает повторять. Таким образом, период циклонды равен $2\pi r$.

Итак, циклонду можно определить как множество точки с координатами $(rt - r\sin t, r - r\cos t)$ и при желании проискодное кinemатическое определение забыть. Мы получили так называемое параметрическое задание циклонды: обе координаты $x$ и $y$ точки $A_t$ циклонды являются функциями от некоторой вспомогательной переменной $t$.

Назовем точки циклонды, лежащие на оси $Ox$, остриями циклонды, точки, лежащие на прямой $y = 2r - \text{вершинами}$, а других соседними остриями — арками циклонды. В выбранной системе координат циклонда характеризуется одним параметром $r$ (радиусом производшего круга). Все циклонды, у которых точки $(0, 0)$ — острие, получают друг из друга готовотейной. По каждой точке $(x, y)$, $x \neq 0$ можно единственным образом выбрать $r$ так, что эта точка будет лежать на первой арке, выходящей из $(0, 0)$, соответствующей циклонды (доказите).

В статье КР доказано, что касательная к циклонде в точке $A_t$ (рис. 3) проходит через верхию точку производшего круга — точку $F$ на рис. 1.

21

сунке 3. Пусть $B_t$ — нижняя точка круга, $\alpha$ — угол между касательной и вертикальной $FB_t$. Тогда $A_t B_t$ — нормаль к циклоне (перpendикуляр к касательной), и для ординаты $y$ точки $A_t$ имеем: $y = E_t B_t = 2 r \sin^2 \alpha$. Отсюда

$$\sin \alpha = \sqrt{\frac{y}{2r}}.$$

Это соответствие будет играть важную роль в дальнейшем. Можно показать, что циклона с параметром $r$ является единственной кривой, проходящей через точку $(0, 0)$, удовлетворяющей соответствию (1).

2. О площадях криволинейных фигур

Площади некоторых криволинейных фигур умелы вычислять еще в Древней Греции. Вначале интересовались лишь квадратурой фигур, т. е. построением для данной фигуры циклulum и линейной отрезка,лина которого равна ее площади. Как выяснили позднее, это можно сделать для тех фигур, площадь которых вычисляется при помощи арифметических операций и операции извлечения квадратного корня. Постепенно стали интересовать фигурами, площадь которых вычисляется с помощью произвольных алгебраических операций (алgebraическая квадратура), а затем даже и таким фигурами, в выражениях для площадей которых фигурировало число $n$. Основной метод вычисления площадей состоит в приближении данной фигуры многоугольниками и перехождение к пределу; но должно быть очень повезти, чтобы эти вычисления удалось довести до явного ответа.

Иногда вычисление площади фигур можно упростить, воспользоваться какими-нибудь общими свойствами площадей. Вот несколько таких свойства.

1. При этомеми фигуры с коэффициентом $k$ площадь ее умножается на $k^2$, а при расчженении фигуры относительно некоторой оси с коэффициентом $k$ площадь ее умножается на $k$.

2. Равносстравленные фигуры (m. e. фигуры, которые можно разрезать на попарно конгурзимные части) равновелики (имеются площади).

3. Две фигуры, при пересечении которых любой прямой, параллельной некоторых фиксированной прямой $l$, получаются конгурзимные отрезки, равновелики (этот принцп сформулировал в 1635 году Кавальери (1598—1647)).

Представим себе, что контур фигуры — гибкая лента, а сама фигура составлена из очень тонких жестких слоев, параллельных прямой $l$ («неделимых», по терминологии Кавальери). Расмотрим преобразования, сохраняющие эти слои, но сdwггаошие их друг относительно друга. Все получающие при таких преобразованиях фигуры в силу принципика Кавальери будут равновелики.

Перечисленные свойства площадей нужноются в доказательствах (основная трудность этих доказательств состоит в том, чтобы дать строгое определение площади), но в них легко проверить. Сейчас мы расскажем о том, как изящно применяются эти свойства при вычислении площади фигуры, лежащей под аркой циклонды.

22

3. Спутница циклонды, лепестки Роберваля и плошадь под циклондой

Поскольку циклонды подобны, мы ограничимся случаем $r=1$. Вслед за Робервалем (1602—1675) связь с каждой точкой циклонды $A_t$ (см. рис. 3) ее проекцию $E_t$ на вертикальной диаметр производащего круга. Точка $E_t$ имеет координаты $x=t, y=1-\cos t=1+\sin\left(t-\frac{\pi}{2}\right)$.

Кривую, составленную из точек $E_t$ при всевозможных $t$, Роберваль называл «спутница циклонды». Ясно, что «спутница циклонды» — это сдиинутая синусоид (на 1 вверх и на $\frac{\pi}{2}$ вправо).

С этим обстоятельством связан исторический курсез. Математики с незапамятных времен занимались тригонометрическими функциями, но синусоид в первые появились лишь в XVII века, причем не как график с инуса, а как … «с путиица циклонды» (отчасти это можно обяснить тем, что долго не рассматривали функций не алгебраической проинсходения).

«Спутница циклонды» разбивает ее на три части (рис. 4): фигуру под синусоид и две симметричные фигуры, называные «лепестками Роберваля». В силу свойства 2 площади фигуры под синусоид равна $2\pi$: эта фигура равносstellена с прямогольником такой площади (рис. 5). Расстоянием один «лепесток». Горизонталь на высоте $y=1-\cos t$ пересекает его по отрезку $A_t E_t$ длины $|\sin t|$ (см. рис. 2). Переместив эти горизонтальные отрезки (при всевозможных $t$) вдоль своих горизонталей так, чтобы их левые концы попали на одну вертикаль, мы получим полукруг единичного круга (рис. 6). В силу принципа Кавальери площадь «лепестка» равна площади этого полукруга, т. е. $\frac{\pi}{2}$. Значит, площадь фигуры под аркой циклонды с $r=1$ равна $2\pi+2 \cdot \frac{\pi}{2}=3\pi$ (и следовательно, $3\pi r^2$ при $r\neq 1$).

Вопрос о вычислении площадей сегментов циклонды является менее элементарным. Гюйгенс (1629—1695) не без гордости писал: «Я первый промерил площадь точки циклонды, которая получится, если отсутствать от вершины $1/4$ часть оси и проведится параллель основанию. Эта часть составляет половину площадного шестиугольника, вписанного в образующий круг».

23

4. Таутохрона

«Циклопадный математический матрик был изобретен Христаном Гюйенсом, крупным ученым XVII столетия и генеральным часовым мастером всех времен».
Зоммерфельд. Механика

Галилей утверждал, что период колебаний математического матрика определяется только его длиной $l$ и не зависит от угла $\varphi$ его максимального размера. Гюйгенс, выясив, что это утверждение справедливо лишь для малых углов $\varphi$, решил построить матрик, период колебаний которого и в самом деле не зависит бы от $\varphi$ (такой матник называется maymoхронным или изохронным).

Построение таутохронного матрика Гюйгенс разделил на два этапа:

1. нахождение кривой, по которой должен двигаться конец матрика (maymoхроны);
2. нахождение подвески матрика, обеспечивающей движение его конца по таутохроне.

Мы начнем с понсков таутохроны (существование которого заранее не очень удобно).

Конец математического матрика движется по дуге окружности точно так же, как тяжелая матриальная точка — по желобу, контур которого совпадает с этой окружностью. Если пренебречь слими треня и сопротивления воздуха, то тяжелая точка, пущенная по кругу овому желобу без начальной скорости с высоты $H$, пройдя нижнее положение, снова поднимается на высоту $H$, и далее будет совершать периодические колебания, поднимаясь то в одну нота, то в другую сторону на высоту $H$. Неверное утверждение Галилей состоит в том, что при этом период колебаний $T(H)$ не зависит от $H$. Наша задача — определить, какой форму должна быть желоб, чтобы то, что утверждал Галилей, было верным.

Благодаря哉стливой случайности (они в истории науки играют не последнюю роль), Гюйгенс изучал цикл(longу (в связи с конкурсом Паскаля, 1658 год) в то same время, когда искал таутохронный матрик. Именно циклона и оказалась таутохроной! Вероятно, сам Гюйгенс этого заранее не ожидал (так можно поннимать его слова: «я обнаружил приготовность ее (циклоны) для измерения времени, исследуя ее по строим правлам науки не подозревая ее применением»).

Рассмотрим на желобе, сделанным по форме перевернутой циклоны (рис. 7; $r$ — радиус производащего круга) тяжелую матриальную точку; пусть в начальной момент времени она находится на высоте $H$ (в точке $C_0$ на рисунке). Попытемся найти время $t$, через которой она оказывается в нижней точке $B$ (вершине циклоны). Тогда через $2\tau$ она будет в точке $C_{2\tau}$ циклоны, симметричной относительной вертикальной оси точки $C_0$, а через время $T=4\tau$ (полный период) вернется в точку $C_0$. На интересует зависимость $t$ от $H$.

Пусть в момент времени $t$яжелая точка занимает положение $C_t$ на высоте $h=h(t)$. Вектор скорости $\vec{v}(t)$ в момент времени $t$ направлен по касательной к циклоне в точке $C_t$, его длина $|\vec{v}(t)|$ (величина скорости) определяется из закона сохранения энергии:

$$\frac{m|\vec{v}(t)|^2}{2} = mg(H-h(t)),$$

т. е.

$$|\vec{v}(t)| = \sqrt{2g(H-h(t))}.$$

Посмотрим, как движется проеки к цц и нашей точки на вертикаль $C_0B'$. В момент времени $t$ эта проекция занимает положение $C'_t$, а в момент времени $t$ она оказывается в точке $B'$ (см. рис. 7), проёдя отрезок $C_0B'$ длины $H$. Скорость $\omega(t)$ в момент времени $t$ этого прямолинейного движения (в точке $C'_t$ на рис. 7) — это проекция вектора скорости $\vec{v}(t)$ на

24

вертикаль: $w(t) = |v(t)| \cos \alpha$, где $\alpha$ — угол между касательной к циклюде и вертикалью. Поскольку (см. (1), с. 21) $\cos \alpha = \sqrt{\frac{2r-y}{2r}}$ и $y = 2r - h(t)$, то $\cos \alpha = \sqrt{\frac{h(t)}{2r}}$, а значит, $w(t) = \sqrt{\frac{g}{r}} \cdot \sqrt{h(t)(H-h(t))}$.

Итак, закон изменения скорости у нашей прямолинейного движения довольно сложный. Но Гюйгенс заметил (решаюшая докадка!), что при равномерном врашательном движении по окружности диаметра $H$ вертикальная компенента вектора скорости имеет тот же вид, что и $w(t)$. Действительно, построим на отрезке $C_0B'$ как на диаметре полукругжность, и пусть $C'_t$ — точка этой полукругжности, лежащая на высоте $h(t)$. Длина отрезка $C'_t C'_t$ равна $\sqrt{h(t) \cdot (H-h(t))}$.

Из подобия прямогольных треугольников, окрашенных на рис. 7 в красный цвет (их стороны взаимно перпендикулярны: $OC'_t$ — радиус, в точке $C'_t$ проведены касательная к полукругжности и вертикаль), следует, что касательный к окружности в точке $C'_t$ вектор длины $\sqrt{\frac{g}{r}} \frac{H}{2}$ имеет вертикальную проекцию длины $w(t)$. Значит, когда наша точка $C$ движется по циклюде, соответствующая ей точка $C''$ равномерно врашается с угловой скоростью $\sqrt{\frac{g}{r}} \cdot \pi$ точка $C''$ пройдет полукругжность $C_0B'$, за то же время точка $C'$ пройдет отрезок $C_0B'$, а сама точка $C$ — дугу циклюды $C_0B$. Итак, мы не только доказалиmayтохронность циклюды (т. е., что $\tau$ не зависит от $H$), но и нашли полный период колебаний:

$$T = 4\tau = 4\pi \sqrt{\frac{r}{g}}.$$

Формула (2) настоящего наполнения гипотетического формулу Галилея для перiodа математического матрика длины $l(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}})$, что было естественно попытаться воспользоваться (2) для обоснования последней. И в самом деле, с помощью (2) Гюйгенс получил первое строое доказательство формулы для перiodа колебаний математического матрика при малых углах размаха $\varphi$. Он заметил, что при малых углах круговой желез почти не отличается от циклондального, и оставалось только понять, при каком соответствии между длиной $l$ математического матрика и параметром $r$ циклонды это отличие наименьшее. Оказалось, что при $l = 4r$ (это не оченьный факт; мы еще к нему вернемся). Подставляя в (2) $r = l/4$, получаем знаменную формулу для перiodа математического матрика: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ (при малых $\varphi$).

*) Фактически доказано, что движение тяжелой материальной точки по циклондому железу можно представить в виде суммы равномерного врашательного движения с угловой скоростью, не зависит от того, с какой высоты $H$ пушена точка, и некоторого (вобше говора, неравномерного) построительного движения. При $H = 2r$ это легко вывести из кинематического определения циклюды и соответствия (1), с. 21.

25

5. Циклондальный матник

Создавая первую модель часов, Гойгенс надеялся скоппencировать отклонение простого (математического) матриника от татухронности, уменьшая в процессе отклонения его длину. Длину матрика можно регулировать, установив «шеки» (рис. 8), на которые в процессе отклонения будет наматьаться нить подвески. Попытки экспериментального пообрать нужную зависимость длины матрика от угла отклонения не дали успеха, и Гойгенс вследующих свойствах конструкции часов установивает вместе «шек» ограничители амплитуды размах. Когда же выяснили, что циклонда — татухрона, стало понятно, что форма «шек» должна быть такой, чтобы конец матрики дивgalся по циклонде.

Гойгенс искал форму «шек», расуждая (в несколько волном пересказе) примерно так. Пусть имеется препятствие, ограниченное кривой $L$, в некоторой точке $O$ которого закреплена нерастящим нить длины $l$ (рис. 9). Наятную нить мы наматываем на препятствие, наблюдая за кривой $M$, которое описывает незакрепленный конец нити. Гойгенс называл кривой $M$ разверткой кривой $L$; теперь $M$ называют эволюеной кривой $L$, а $L$ — эволюет кривой $M$ (с одной эволюютой связьается много эволюент, отвечающих разным длиам $l$). Нам нужно найти эволююту циклонды.

Кривая $M$ состоит из таких точек $B$, что сумма длин отрезка касательной $BA$ к кривой $L$ в точке $A$ и друг АО кривой $L$ равна $l$ (см. рис. 9 — это в точности означает натянутость частично намотанной на $L$ нити). Первая дорогка Гойгенса заключалась в том, что касательная к кривой $M$ в точке $A$ — является одновременного нормального к кривой $M$ в точке $B$. Проще всего посянить этот факт, исходя из kinematического определенения кривой $M$. Вспомним, что вектор скорости направлен по касательной к траектории движения и что при изменении действия сил вектор скорости не может измениться мгновенно (подробнее об этом см. в статье КР). «Обрубим» в точке $A$ препятствие, но будем продолжать движение натянутой нити (рис. 10); тогда конец нити начинает движаться по окружности с центром в точке $A$; векторная же скорость его в точке $B$ не изменится; поэтому в точке $B$ у кривой $M$ и окружности с центром $A$ будет общая касательная, перпендикулярная к радиусу $BA$.

Читатель статьи КР заметят также, что если рассматривать нити разной длины, то описанное движение конца нити продолжается до такого движения все плоскости как твердой пластинны, при котором точки кривой $L$ является меновенными центрами врацения, а различные эволюенты — траекториями точки плоскости. Из этого замечания сразу следует перпендикулярность

26

отрезка $AB$ к касательной к кривой $M$ в точке $B$.

Следующая догадка Гюйгена состоит в том, что в «хорошей» ситуации эволюция кривой восстанавливается сdhозначно (помните, у одной, кривой много эволюvent!) Дело в том, что нормали к кривой $M$ в разных точках — это касательные к ее эволюите $L$. «Хорошую» же кривой по касательным можно восстановить: взяв много касательных, построить описанную ломаную и, «учашая» затем касательные, все лучше приближать кривой (говорят, что кривая оценим множество своих касательных).

Нам нужно найти кривую, касательные к которой будет нормали к заданной циклоде. Гюйгенс догадался, что этой кривой будет такая же циклода, только поднята на $2r$ и сдинируется на полерида (так, что ее вершины совпадают с остриями исходной циклоды; см. рис. 11).

В самом деле, пусть $r=1$; $l$ и $l'$ — направляющие прямые соответствующего нижней и верхней циклод, $O$ и $O'$ — их начальные точки ($l'$ на дее единицы выше $l$; $O'$ на л единиц правее $O$). Возьмем на прямой $l$ точку $C$ и рассмотрим положения производаших кругов (обених циклод), когда они касаются $l$ в этой точке $C$. Пусть $C'$ и $C''$ — диаметрально противоположные ей точки соответствующего верхнего и нижнего кругов, $A$ и $A'$ — соответствующие точки циклод. Дуга $CC''A$ равна по длине отрезку $OC$; поэтому она на л больше других $C'A'$, равной по длине отрезку $O'C'$. Отсюда $C'CA' \cong C''CA$, и точки $A'$, $C$, $A$ лежат на одной прямой. Остается заметить, что $CA'$ — касательная к верхней циклоде, а $CA$ — нормаль к нижней ($AC''$ — касательная к ней).

Тепер мы знаем, что «шеки» тутохронного матрика должны быть циклодальные, и что длина нити $l$ должна равнять $4r$ (именно при таком значении $l$ мы в качестве эволюенты получим нужную циклоду). При малых же углах размаха фрегулирующие «шеки» почти не влияют на длину матрика, и циклода близка к другие окружности радиуса $4r$ (см. конец предыдущего пункту).

6. Теорема Христофора Рена.
   Эвольоты и вычисление длин кривых

Решив задачу о циклодальном матрике, Гюйгенс не остановился, понимая, что им создана замечательная математическая теория. Он пишет: «Для применения мочего изобретения к матрикам мне необходим было установить новую теорию, а именно, теорию обработания новых линей при посредстве развертывания кривых линей. Здесь я столкнулся с задачей сравнения кривых и прямых линей. Я изучил этот вопрос несколько далее, чем нужно было для моей цели, так как теория показалась мне изящной и новой».

Прежде всего Гюйгенс заметил, что когда нить матрика целиком на матывается на «шеку», то конец его оказывается в вершине циклоды; значит, длина нити матрика ($4r$) совпадает с длиной половины арки циклоды, и, значит, длина арки циклоды равна $8r!$ Эту теорему в 1658 году сформировал и доказал Христоф Рен; Гюйгенс же, как мы видим, получил очень естественное доказательство этой теоремы.

Теорема Христофора Рена произвела на современников очень сильное впечатление и вот почему.

27

Рис. 11.

Вычисленем длину кривых математики интерсовались не менее, чем вычисленем площадей. Вначале, по аналогии с квадратной (см. с. 21), они интерсовались ректификацией — построением циркулем и линейной отрезка соответствующей длины; позже стали интерсоваться и аллебраической ректификацией — выражением длины кривой при помощи любых аллебраических операций. Мы уже говорили, что квадратный неокругности, окачивающиеся в нижней точке округности, за одно и то же время (аналогично — для хорд, начиная ихся в верхней точке округности).

2. Пусть есть кривая $L$ (достаточно «хорошая») и точка $A$, не лежащая на $L$. Найдите на $L$ такую точку $B$, чтобы отрезок $AB$ проходился математной точкой под действием силы тяжеста за минимальное время.

Уражения Ньютона

Пусть есть центральное поле, в котором силы пропорциональны расстоянию $r$ до центра: $F(r) = kr$, $k > 0$.

Ньютон заметил, что в таком поле биоциклопды (см. КР) играют ту же роль, что циклопды — в поле тяжеста, а именно:

1. биоциклопды являются (в этом поле) математическим (Ньютон называет их изохронами);
2. эволюции биоциклопды являются же биоциклопды **).

Постарейтесь решить задачи Ньютона (на эту тему можно написать целое математическое «сочинение»). Вспомните, как проводятся касательные к биоциклопдам (статья КР), посмотрите еще раз решения аналогичных задач для циклопд и … Мыjdем ваших решений.

**) О математических часах см. статью С. Г. Гиндкина «Из истории математических часов», «Квант», 1974, № 9.

**) Это — чисто геометрический факт, не относится к механике, но он позволяет устроить биоциклопдальный математик, а задно — вычислить длину биоциклопды.