Что такое производная

10

1. Тайны планетных орбит

Древнегреческий ученые умел решать лишь немогие задачи кинematики — они могли расчитать либо равномерное прямолинейное движение, либо равномерное врашение вокруг оси. Но описать движение планет столбствми способами не удалось.

Планеты дивgalись по самым замысловатым кривым, иногда быстро продвигаясь вперед, а иногда замедляя свое движение и даже возвращаясь назад. Что бы светлия к круговым, алексадрийский астроном Птолемей, живший в III в. до н. э., придумал сложнейшую систему окружности; центры малых окружностей равномерного врашлись по большим, а планеты равномерного врашлись по малым окружностям. Но и система Птолемея не согласивалась с наблюдениями, и ее приходилось все время усложнять. Лишь в XVII века немецком ученому Юранну Кеплеру удалось на основе созданной вликим полским астрономом Николаем Коперником гелюцентрической системы мира формулировать законы движения планет.

Оказалось, что планеты движутся не по окружностям, а по эллипсам, и притом неравномерно. Объяснить, почему это так, Кеплер не смог — в то время не были известны ни общее законы механики, ни математические методы, позволяющие изучать криволинейное и неравномерное движение.

Лишь в конце XVII века Исаак Ньюотон открыл законы динамики, формулировал закон всемирного тяготения и развил математические методы, позволяющие свойства неравномерное к равномерному, неоднородное к однородному, криволинейное к прямолинейному. В основе лежала простая идея — движение любого тела за малый промежуток времени можно приближенно расматривать как прямолинейное и равномерное.

Методы, развитыные Ньюотом, для возникновения по заданному закону движения тела находить его скорость иускорение в любой момент времени, а также решать обратную задачу — по заданномуускорению сначала находить скорость, а потом закон движения тела. А если вспомнить, что по второму закону Уbiorонаускорение тела постояной массы пропорционально действующей на него силе, то станет ясно, что новые методы установливали связь между движением тела и действующими на него силами, то есть решили основную задачу механики.

Одновременно с Ньюотом немецкий философ и математик Готтфрид Вильгельм Лейбниц изучал, как проводить касательные к произвольным

кривым. Он также развил новое исчисление, которое оказалось по сути дела тождественным построенному Ньютоном. Обозначения, введенные Лейбницем, оказались настолько удачными, что сохранились и по сей день.

Новая математика Ньютона и Лейбница состояла из двух больших частей — дифференциального и интегрального исчислений. В первом из них говорилось, как, изучая малую часть явления, сводить неравномерное к равномерному, а во втором — как из малых равномерных частей конструировать сложное неравномерное явление.

Дифференциальному и интегральному исчислениям и их дальнейшему развитию (вариационному исчислению, дифференциальным уравнениям, теории функций комплексного переменного и т. д.) посвящены многотомные монографии. В этой статье мы расскажем лишь об основных понятиях дифференциального исчисления — о производной и дифференциале.

2. Свойство «линейности в малом»

Три линии на рисунке 1 являются частями одной и той же параболы $y = x^2$, изображенной в разных масштабах. Рисунок а сделан в мелком масштабе, рисунок б — в масштабе покрупнее, рисунок в — еще круп-

нее. На всех рисунках взята одна и та же точка $M\,(1;\,1)$ параболы, чтобы можно было изучить поведение кривой в окрестности этой точки.

На рисунке 1, а ясно видно, что парабола искривлена. На рисунке 1, б это искривление уже менее заметно, а на рисунке 1, в его практически нет — график функции $y = x^2$, сделанный в крупном масштабе, на глаз почти неотличим от прямой линии. Чем крупнее мы выберем масштаб, тем меньше график функции $y = x^2$ будет отличаться от некоторой прямой линии, проходящей через точку $M\,(1;\,1)$. То же самое было бы, если бы мы стали строить во все увеличивающемся масштабе график функции $y = x^2$ в окрестности любой другой точки.

Не только парабола «напоминает» вблизи любой своей точки прямую — этим свойством обладают окружность, гипербола, синусоида и т. д. Его можно назвать свойством линейности в малом (термин объясняется тем, что прямая — это график линейной функции $y = kx + b$). Но геометрический язык, на котором мы выразили это свойство, расплывчат. Поэтому попробуем сформулировать его на суховатом, но зато точном языке формул.

3. Приращение функции

На рисунке 2 изображен квадрат со стороной длины $a$; площадь $y$ такого

Рис. 1. а) б) в)

11

12

квадрата равна $a^2$. Если длину стороны квадрата увеличить на $p$, то и площадь увеличится — на величины площади фигуры, закрашенной на рисунке 2. Эту площадь называют приращением площади квадрата. Она равна $(a+p)^2-a^2$, то есть $2ap+p^2$.

Положим $p=\Delta x$ (читается «дельма икс»), а приращение площади квадрата обозначим через $\Delta y$. Получим

$$\Delta y=2a \cdot \Delta x+(\Delta x)^2.$$ (1)

Точно так же можно определить понятие приращения для любой функции $y=f(x)$: чтобы вычислить приращение функции при перехождение от точки $a$ к точке $a+\Delta x$, нужно:

a) найти значение $f(a)$ функции в точке $a$;
b) найти значение $f(a+\Delta x)$ функции в точке $a+\Delta x$;
b) из второго значения вычесть первое.

Иными словами, приращение функции при перехождение от точки $a$ к точке $a+\Delta x$ равно $\Delta y=f(a+\Delta x)$—$f(a)$.

Например, приращение функции $y=x^3$ при перехождение от точки $a$ к точке $a+\Delta x$ будет

$$\Delta y=(a+\Delta x)^3-a^3= =3a^2 \cdot \Delta x+3a \cdot (\Delta x)^2+(\Delta x)^3.$$ (2)

Рис. 2.

Слова «приращение аргумента», «приращение функции» обманчны: может создаться впечатление, что и аргумент, и функция увеличиваются. На самом деле и $\Delta x$, и $\Delta y$ могут быть отрицательными числами. Быть может, было бы лучше вместе «приращение» говорить «изменение», но мы будем придерживать традиционной терминологии.

4. Дифференцируемые функции

Тепер уже можно точнее обязывать,почему график функции $y=x^2$ «выпрямляется», когда мы увеличиваем масштаб. Поскольку все рисуки $1, a-\beta$ одного и того же размера, то с увеличением масштаба на них уменьшаются все меньше и меньше частки кривой. Это означает, что мы рассматриваем нашу функцию при все меньше и меньше значениях $\Delta x$. Таким образом, «выпрямление» графика функции связано с особым поведением приращения этой функции при уменьшении приращения аргумента.

Чтобы разобраться в этом, выразим приращение функции $y=x^2$ в точке $M(1; 1)$ через приращение аргумента. Мы получим:

$$\Delta y=(1+\Delta x)^2-1=2 \cdot \Delta x+(\Delta x)^2.$$

Мы видим, что приращение функции состоит из двух слагаемых: $2 \cdot \Delta x$ и $(\Delta x)^2$. Первое из них пропорционально $\Delta x$, а второе обладает следующей особенность: если $\Delta x \rightarrow 0$, то оно стремится к нулю города быстрее, чем $\Delta x$. Например, если $\Delta x=0,1$, то $(\Delta x)^2=0,01$; если $\Delta x=0,001$, то $(\Delta x)^2=0,000001$ и т. д. Таким образом, $\Delta y$ при малых $\Delta x$ почти равно $2 \cdot \Delta x$. Так как $\Delta y=y-1$, $\Delta x=x-1$, то $y-1 \approx 2(x-1)$, то есть $y \approx 2x-1$. Но $y=2x-1$ это уравнение прямой с угловым коэффициентом, равным 2. Значит, чем меньше окрестность точки $M(1; 1)$ мы берем, темнее в этой окрестности парабола примыкает к прямой $y=2x-1$. Говорят, что парабола $y=x^2$ в точке $M(1; 1)$ касается прямой $y=2x-1$.

Итак, «выпрямление» графика функции $y=x^2$ при увеличении мас-

13

штаба оказалось связанным с возможностью разложения приращения функций на два слагаемых, из которых одно пропорционально приращению аргумента, а второе при малых значениях Δx пребрежимо мало по сравнению с Δx. Но слова «пренебрежимо мало» еще нуждаются в уччении.

Будем говорить, что величина β пребрежимо мала по сравнению с Δx при стремлении Δx к нулю, если ее отношение к Δx стремится к нулю: β=α·Δx, где limα=0.

Тепер мы уже можем сформулировать основное определение.

О пределене 1. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке a, если ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы двух слагаемых, первое из которых пропорционально приращению Δx аргумента, а второе пребрежимо мало по сравнению с Δx. Иными словами,

$$\Delta y = A \cdot \Delta x + \alpha \cdot \Delta x,$$

(3)

где A — число, а α — стремится к нулю, когда Δx стремится к нулю.

Рассмотрим приращение функций y=x³ в точке x=a. Из равенства (2) получаем Δy = 3a²·Δx + [3aΔx + (Δx)²] Δx. Слагаемое 3a²·Δx пропорционально Δx, а второе слагаемое [3a·Δx + (Δx)²] Δx является произведением Δx и множитель 3a·Δx + (Δx)², который стремится к нулю, когда Δx стремится к нулю. Значит, функция y=x³ дифференцируема, причем для нее A=3a².

Коэффициент A в равенстве (3) зависит от того, в какой точке мы его вычисляем. Например, для функции y=x³ в точке a=1 имеем A=3, а в точке a=2 имеем A=12. Если считать значение аргумента, для которого вычисляется коэффициент A, переменным, то удобно обозначить его буквой x. При изменении x коэффициент A является функцией от x. Эта функция называется произведенной от функции y=f(x) и обозначена:

$$f'(x), \text{ или } y'$$ (читается «эфффициximом икс», «иерекitimix»).

Слагаемое A·Δx, то есть f’(x)·Δx называют дифференциалом функции y=f(x) и обозначают dy. Таким образом, dy=f’(x)Δx. Общно Δx обозначают dx и пишут dy=f’(x)dx.

Из определения 1 следует, что при значениях Δx, близких к нулю, приращение дифференциалом функции Δy почти пропорционально приращению аргумента. Точнее, для такой функции Δy=(A+α)Δx, где слагаемое α, характеризущее отклонение от «точной» пропорциональнойности, стремится к нулю, когда Δx стремится к нулю. Эта «почти пропорциональноность» приращения функции приращению аргумента и лежит в основе «выпрямления» графика при увеличении масштабы изображения.

Не следует думать, что все функции дифференцируемых в любой точке. Дифференцируемся, говоря наглядно, ознакомьтесь заменить график функции в окрестности точки прямой линии. Если же график функции имеет в некоторой точке излом, а тем более — разрыв, то функция не будет дифференцируемой в такой точке. Например, функция y=|x| не является дифференцируемой в точке O (0; 0) (рис. 3).

Интупция подсказывает, что точки, в которых данная функция y=f(x) не является дифференцируемой, не могут лежать слишком гус-то — не может же кривая иметь из-

14

лом в каждой своей точке! Во многих учебниках математики XIX века это утверждение так и было сформировано. Каково же было изучение ученых, когда во второй половине XIX века немецкий математик Карл Вейерштрасс опубликовал пример функций, непрерывной во всех точках, но нигде не дифференцируемой! График этой функции имел излом в каждой своей точке. Позже выяснили, что за несколько лет до Вейерштрасса функцию с таким же свойством построил чешский математик Бернард Больцано; эта работа Больцано была опубликована лишь через много лет после его смерти.

5. Производная

Вернемся к рассмотрению дифференцируемых функций — «хорошие» функции, которые изучаются в средней школе, и те, которые чаще всего встречаются в приложениях математики, как правило, дифференцируемые. Для этих функций из основного равенства (3) получаем, что $\frac{\Delta y}{\Delta x} = A + \alpha$. Если теперь устремить $\Delta x$ к нулю, то в равенстве (3) $\alpha \rightarrow 0$, откуда

$$A \equiv f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

Для обозначения производной иногда используется запись $\frac{dy}{dx}$. В этом обозначении сохраняется воспоминание об отношении приращений $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, из которого путем предельного перехода получалась производная.

Операция отыскания производной данной функции называется дифференцированием.

В учебном пособии «Алгебра и начала анализ» для 9-го класса, вышедшем под редакцией академика А. Н. Колмогорова в 1975 году, читатель найдет выбор формул и правил дифференцирования, позволяющих произвольноровать любую дробно-рациональную функцию. Ниже мы показем, как выводятся формулы для дифференцирования показатель и триюномерических функций. Для этого остановся сначала на геометрическом смысле производной.

6. Геометрический смысл производной

Мы видели, что в малой okрестности точки, в котором функция дифференцируется, ее график почти неотличим от некоторой прямой. Эту прямую называют касательной к графику функции в данной точке. Для точек этой прямой равенство $\Delta y = A \cdot \Delta x$ является уже не приближенным, а точным. Так как $\Delta y = y - b$, $\Delta x = x - a$, то для всех точек касательной выполняется равенство $y - b = A(x - a)$. Значит, угловой коэффициент касательной равен $A$. Но $A = f'(a)$, следовательно, значение производной в заданной точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Это и есть геометрический смысл производной.

Вернемся к уравнению касательной: $y - b = A(x - a)$. Так как $A = f'(a)$, а $b = f(a)$, то уравнение касательной к графику функции, дифференцировой в точке $(a, b)$, можно записать в таком виде:

$$y - f(a) = f'(a)(x - a).$$

Например, уравнение касательной к параболе $y = x^2$ в точке, в которой $x = 3$, будет $y = 6x - 9$ (проверьте это).

7. Производная показатель функции

При записи законов физики, связанных с показатель функцией, удобно пользоваться особым числом — числом $e$. Это число можно определить следующим образом.

Начертим в декартовой прямой системы координат графики функций $y = 2^x$, $y = 3^x$, $y = 5^x$ (рис. 4). Мы видим, что чем больше основание, тем меньше угол с осью $Oy$ в точ-

15

ке $M(0;1)$ образует график функции (под углом между кривой $y=f(x)$ и осью $Oy$ понимается угол между касательной к кривой $y=f(x)$ в точке $M(0;f(0))$ и осью $Oy$). Угол между осью $Oy$ и графиком функции $y=2^x$ равен примерно $55^\circ$, а угол между осью $Oy$ и графиком функции $y=3^x$ равен примерно $42^\circ$. Оказывается, между числами 2 и 3 имеется такое число, что график показательной функции, в основании которого находится это число, пересекает ось $Oy$ под углом $45^\circ$. Это число и обозначает буквой $e$. Оно irrationalно, подсчеты показываются, что $e=2,7182818284590$…

По определению, касательная к графику функции $f(x)=e^x$ в точке $M(0;1)$ образует с осью $Oy$, а значит, и с осью $Ox$ угол $45^\circ$. Поэтому для функции $f(x)=e^x$ имеем $f'(0)=\text{tg}45^\circ=1$. Расмотрим теперь функцию $g(x)=e^{x-a}$. График этой функции получается из графика функции $e^x$ сдигром на $|a|$ вправо, если $a>0$, и влево, если $a<0$ (рис. 5). При сдвиге касательная, проведенная к графику функции $y=e^x$ в точке $M(0;1)$, перейдет в касательную, проведенную к сдинутой кривой в точке, абсцисса которой равна $a$. Следовательно,

8. Производная — это скорость!

Во второй половине XIX века курс математической физики в Кембриджском университете читал знаменитый ученый Вильям Томсон, позднее получивший за научные заслуги звание лорда Кельвина (в его честь, в частиности, назван шкафа Кельвина), а курс «чистой математики» — профессор Тодгентер. Однако, войдя в аудитории, Томсон внесло обратился к студентам с вопросом: что такое $\frac{dx}{dt}$? В ответ он получил все мыслиные строгого логического определения. Все они были ответгнуты: «Ах, бросьте вы этого Тодгентера, $\frac{dx}{dt}$ — это скорость!»

Здесь читатель может удивиться — только что производная выступала

как угловой коэффициент касательной к графику функции, а теперь она объявляется скоростью. Тем не менее оба ответа на вопрос: «что такое производная?» — верны, только в первый раз объяснялся г е о м е т р и ч е с к и й смысл производной, а во второй — ее ф и з и ч е с к и й смысл. Чтобы стало яснее, какое отношение имеет производная к скорости движения, рассмотрим точку, движущуюся по прямой.

Выберем на этой прямой начало отсчета, единицу измерения и направление. Тогда положение точки на прямой будет определяться ее координатой $x = f(t)$ (закон движения точки). Средней скоростью движения за промежуток времени в физике обычно называют величину, равную отношению перемещения точки к промежутку времени, в течение которого перемещение произошло. Перемещение — это не пройденный путь, а изменение (приращение) координаты движущейся точки. Если, скажем, точка за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$ прошла путь от $A$ до $B$ и вернулась обратно в $A$, то перемещение равно нулю, и средняя скорость $v_{\mathrm{cp}} = 0$. В общем случае имеем $v_{\mathrm{cp}} = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$, или

$$v_{\mathrm{cp}} = \frac{f(t_2) - f(t_1)}{t_2 - t_1}.$$

Если положить $t_1 = t$, $t_2 = t + \Delta t$, то средняя скорость за промежуток $[t,\ t + \Delta t]$ окажется равной

$$v_{\mathrm{cp}} = \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t} = \frac{\Delta x}{\Delta t}.$$

Мгновенной скоростью в момент времени $t$ называют предел средней скорости движения за промежуток времени $[t,\ t + \Delta t]$, когда $\Delta t \to 0$. Значит,

$$v_{\mathrm{мгн}} = \lim_{\Delta t \to 0} v_{\mathrm{cp}} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}.$$

Но $\lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ — это производная координаты $x$ по времени $t$. Значит, численное значение мгновенной скорости

16

прямолинейно движущейся точки действительно оказалось равным производной перемещения по времени.

9. Скорость криволинейного движения

Для того, чтобы изучать движение пушечных ядер и планет, частей механизмов и машин, изложенного выше метода недостаточно — ведь все эти тела движутся по кривым линиям, а мы умеем справляться лишь с прямолинейным движением. Но, проектируя положение движущейся точки на оси координат, можно свести криволинейное движение к двум прямолинейным. При этом, если траектория движения плоская, то закон движения задается двумя функциями, дающими значения координат точки в момент времени $t: x = x(t)$, $y = y(t)$. Впрочем, можно взять и одну функцию, только принимающую не числовые, а векторные значения. Для этого проведем направленный отрезок от начала координат $O$ к движущейся точке $M$ и обозначим $\overrightarrow{OM}$ через $\vec{r}(t)$. Из рисунка 6 видно, что разложение вектора $\vec{r}(t)$ по единичным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ имеет вид

$$\vec{r}(t) = x(t)\,\vec{i} + y(t)\,\vec{j}.$$

Мгновенная скорость точки $M$ определяется точно так же, как и в случае прямолинейного движения: берут

Рис. 6

17

промежуток времени $[t, t + \Delta t]$, расстояние перемещение точки $M$ за этот промежуток времени, делят его на $\Delta t$ и устремляют $\Delta t$ к нулю. Разница состоит лишь в том, что перемещение точки $M$ выражается не числом $\Delta x$, а вектором, идущим из положения точки $M$ в момент времени $t$ в ее положение в момент времени $t + \Delta t$ (рис. 7). Этот вектор обозначает $\Delta r$, и он равен $\vec{r}(t + \Delta t) - \vec{r}(t)$, то есть $\Delta xi + \Delta yj$. При делении на $\Delta t$ получаем вектор, параллельный вектору $\Delta r$, но имеющий инную длину. Он показывает среднюю скорость движения точки за промежуток времени $[t, t + \Delta t]$, $\vec{v}_{cp} = \frac{\Delta r}{\Delta t}$.

Если устремить $\Delta t$ к нулю, то полученный вектор $\vec{v}_{cp}$ будет поворачивать векруг точки $M$, и в пределе окажется направленный по касательной в сторону движения точки. Вектор $\lim_{\Delta t \to 0} \vec{v}_{cp}$ обозначает $\vec{v}_{mfr}$ и называют вектором меновенной скорости в момент времени $t$. Таким образом,

$$\vec{v}_{mfr} = \lim_{\Delta t \to 0} \vec{v}_{cp} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{dr}{dt}.$$

Иными словами, вектор меновенной

Рис. 7.

скориси являются производной вектор-функции $\vec{r}(t)$. По другому его можно записать так:

$$\vec{v}_{mfr} = x'(t)\vec{i} + y'(t)\vec{j}.$$

Поскольку вектор $\vec{v}_{mfr}$ направлен по касательной к траектории движения точки, относение $\frac{y'(t)}{x'(t)}$ равно угловому коэффициенту этой касательной: $k_{kac} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$.

Наглядный смысл имеет длина вектора $\vec{v}_{mfr}$. Она выражает линейную скорость движения точки в момент времени $t$. Иными словами, если обозначает длину других траектории, пробегаемую за промежуток времени $[t, t + \Delta t]$, через $\Delta l$, то

$$|\vec{v}_{mfr}| = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta l}{\Delta t} = \frac{dl}{dt}.$$

No, по теореме Пифагора, длина вектора $x'(t)\vec{i} + y'(t)\vec{j}$ равна $\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}$. Значит,

$$\frac{dl}{dt} = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2},$$

то есть

$$dl = \sqrt{dx^2 + dy^2}.$$

Формула (4) лежит в основе вычисления длины могих кривых. Например, с ее помощью можно найти длину циклоды (кривой, получаемый при качении окружности по прямой), эвольвенты круга (кривой, получаемый при размытывании нити, намотанной на окружность), и т. д.

10. Производные тригонометрические функции

Покажем, как с помощью физических соображений можно найти производные тригонометрические функции. Пусть по окружности единичного радиуса с единичной угловой скоростью движения точки, и пусть в начальной момент времени она находится в