Задачи

только от $(x, y)$:

$$|\vec{v}\,(x,y)| = \sqrt{\frac{2}{m}\,(E-U(x,y))}\,.$$

Рассмотрим плоскую неоднородную оптическую среду, в которой величина скорости света меняется по закону $c\,(x,y) = \dfrac{k}{|\vec{v}\,(x,y)|}$. Принцип Эйлера состоит в том, что траектории света, распространяющегося в такой среде, будут совпадать с возможными траекториями исходной механической системы (материальной точки массы $m$ с потенциальной энергией $U\,(x,y)$). Разумеется, принцип Эйлера можно сформулировать так, что в нем не будет идти речь о распространении света.

В частности, из задачи 2 и принципа Эйлера следует приведенное выше утверждение Галилея о траекториях материальной точки, движущейся под действием силы тяжести.

Поясним теперь принцип Эйлера. Для простоты ограничимся случаем, когда $U\,(x,y)$, а значит, и $|\vec{v}|$, зависит только от $y$. Поскольку на горизонталях потенциальная энергия постоянна, сила будет направлена вертикально, горизонтальная компонента вектора ускорения равна нулю, а горизонтальная компонента вектора скорости постоянна, то есть

$$|\vec{v}\,(y)|\cdot\sin \alpha\,(y) = \mathrm{const}, \qquad (4)$$

где $\alpha\,(y)$ — угол между вектором скорости и вертикалью в точке траектории с ординатой $y$. Соотношение (4) вместе с (1) и дает принцип Эйлера для данного частного случая. (В общем же случае следует учесть, что силы действуют перпендикулярно к линиям постоянства потенциальной энергии и что, следовательно, компоненты вектора скорости, касательные к этим линиям постоянства, не меняются.)

В современной механике принципы, обобщающие принцип Эйлера (принцип Гамильтона и др.), играют исключительно важную роль.

3*

Задачи

1. Доказать, что если $a$ и $b$ — корни уравнения $x^4 + x^3 = 1$, то $ab$ является корнем уравнения $x^6 + x^4 + x^3 - x^2 - 1 = 0$.

2. Доказать, что если $x \neq y$, $y \neq z$, $x \neq z$ и

$$\frac{k\,(1+yz)-y-z}{y-z} =$$

$$= \frac{k\,(1+zx)-z-x}{z-x} =$$

$$= \frac{k\,(1+xy)-x-y}{x-y} = u,$$

то $3u^2 - k^2 + 1 = 0$.

3. Доказать что если $xy\,(x+y) = c$, $yz\,(y+z) = a$, $zx\,(z+x) = b$, $xyz = d$,

то $a+b+c+2d = \dfrac{abc}{d^2}$.

4. Докажите, что если $A$, $B$, $C$ — величины углов треугольника, то для любого натурального $n$ справедливы неравенства

$$(-1)^{n+1}\,(\cos nA + \cos nB + \cos nC) \leqslant 3/2,$$

и $-1 \leqslant (-1)^{n+1} \times$

$$\times \cos nA \cos nB \cos nC \leqslant 1/8.$$

5. Докажите, что если $x$, $y$, $z$ — любые действительные числа и $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника площади $\Delta$, то справедливо неравенство

$$\frac{xy}{ab} + \frac{yz}{bc} + \frac{zx}{ca} \leqslant$$

$$\leqslant \left(\frac{ax+by+cz}{4\Delta}\right)^{\frac{1}{2}},$$

причем равенство имеет место в том и только в том случае, когда

$$\frac{x}{a\,(b^2+c^2-a^2)} =$$

$$= \frac{y}{b\,(c^2+a^2-b^2)} =$$

$$= \frac{z}{c\,(a^2+b^2-c^2)}\,.$$

Н. В.

35