VIII Олимпиада по физике

Квант 1975, №12 с. 59-63 Тег IA4K

ретин (25 очков), Сергей Финашин (25 очков).

По итогам двух дней соревнований лучший результат у команды Венгрии, далее следуют команды ГДР, США и СССР. При этом лишь в трех командах — Венгрии, ГДР и СССР— все участники получили награды.

Задачи первого дня соревнований

1. Пусть $x_i$ , $y_i$ $(i = 1, 2, 3, \ldots, n)$ — действительные числа, такие, что $x_1 \geqslant \geqslant x_2 \geqslant \ldots \geqslant x_n$ и $y_1 \geqslant y_2 \geqslant \ldots \geqslant y_n$ . Доказать, что если $z_1$ , $z_2$ , …, $z_n$ — любая перестановка чисел $y_1$ , $y_2$ , …, $y_n$ , то

$\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2 \leqslant \sum_{i=1}^{n} (x_i - z_i)^2$

(Чехословакия, 6 очков).

2. Пусть $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , … — произвольная бесконечная последовательность положительных целых чисел, таких, что $a_k < < a_{k+1}$ $(1 \leqslant k)$ . Доказать, что бесконечно много членов $a_m$ этой последовательности можно представить в виде $a_m = x a_p + y a_q$ , где $x$ и $y$ — положительные числа и $p \neq q$ (Великобритания, 7 очков).

3. На сторонах произвольного треугольника $ABC$ вне его (в плоскости $ABC$ ) построены треугольники $BPC$ , $CQA$ и $ARB$ так, что

$\widehat{PBC} = \widehat{CAQ} = 45°, \qquad \widehat{BCP} = \widehat{QCA} = 30°,$
$\widehat{ABR} = \widehat{BAR} = 15°.$

Доказать, что $\widehat{QRP} = 90°$ и $|QR| = = |RP|$ (Нидерланды, 7 очков).

Задачи второго дня соревнований

4. Пусть $A$ — сумма цифр в десятичной записи числа $4444^{4444}$ , а $B'$ — сумма цифр числа $A$ ( $A$ и $B$ также рассматриваются в десятичной записи). Найти сумму цифр числа $B$ (СССР, 6 очков).

5. Можно ли на окружности радиуса 1 отметить 1975 точек так, чтобы длины хорд, соединяющих любые две из них, выражались рациональными числами? (СССР, 6 очков).

6. Найти все многочлены $P$ относительно двух переменных, обладающие следующими свойствами:

$P$ — однородный многочлен степени $n$ , то есть для всех действительных $t$ , $x$ , $y$ $P(tx, ty) = t^n P(x, y)$ ;
для всех действительных $a$ , $b$ , $c$
$P(a + b, c) + P(b + c, a) + \\ + P(c + a, b) = 0;$
$P(1, 0) = 1$
(Великобритания, 8 очков).

З. И. Моисеева, В. А. Скворцов,

VIII Олимпиада по физике

В июле 1975 года в городе Гюстрове (ГДР) состоялась VIII Международная олимпиада по физике среди школьников. В олимпиаде участвовали команды Болгарии, Венгрии, ГДР, Польши, Румынии, СССР, Чехословакии, Франции, ФРГ.

Членами команды СССР были школьники — призеры Всесоюзной олимпиады по физике, показавшие наилучшие результаты на тренировочном сборе:

Л е о н и д А в д е е в — выпускник физико-математической школы-интерната № 165 г. Новосибирска;

В а д и м Б о р ю — выпускник средней школы № 28 г. Запорожья;

С е р г е й К о р ш у н о в — выпускник средней школы № 1 пос. Монино Щелковского района Московской области;

Ю р и й М а к е д о н о в — выпускник средней школы № 37 г. Калинина;

Е в г е н и й Ш а х н о в и ч — выпускник средней школы № 6 г. Калинина.

7 июля все участники олимпиады собрались в Берлине и на автобусах направились в Гюстров.

9 июля проводился теоретический тур, на котором участникам были предложены три задачи (тексты задач приводятся в конце статьи). Максимальное число баллов в этом туре получили: Раду Опреа (Румыния), Сергей Коршунов (СССР), Антони Лачковский (Польша), Доменик Деланде (Франция). 11 июля на экспериментальном туре, где участникам

нужно было решить одну задачу, наилучших успехов добились Матиас Вагнер (ГДР), Мирослав Лычка (Чехословакия), Сергей Коршунов, Евгений Шахнович (СССР), Иозеф Шмидт (Венгрия), Волькер Фритче (ГДР).

14 июля состоялось торжественное закрытие олимпиады, где были подведены окончательные итоги. Победители были награждены дипломами и ценными подарками.

Наиболее успешно выступили команды ГДР, СССР, Венгрии и Польши, все члены которых были награждены дипломами I, II, III степени.

Победителем олимпиады стал Сергей Коршунов (СССР), набравший наибольшее число баллов (43).

I премию получили:

Сергей Коршунов (СССР), Раду Опреа (Румыния), Иозеф Шмидт (Венгрия), Волькер Фритче, Матиас Вагнер, Йорг Бергман (ГДР), Мирослав Лычка (Чехословакия).

II премию получили:

Бела Фараче, Ене Шер (Венгрия), Леонид Авдеев, Евгений Шахнович (СССР), Антони Лачковский (Польша), Лаурентю Франчу (Румыния), Мартин Ханке (ГДР), Ян Хула (Чехослования), Доменик Деланде (Франция).

III премию получили:

Ежи Блавдзевич, Анджей Лусаковский, Дарюш Петрашкевич, Богуслав Суликовский (Польша), Юрий Македонов, Вадим Борю (СССР), Ганс-Георг Мартин (ГДР), Геза Георгий, Аттила Вироштек (Венгрия), Пьер-Мишель Дельрух, Рене Годефрой (Франция), Юри Хулка (Чехословакия).

В свободное время юным физикам была предоставлена возможность познакомиться с культурными и историческими памятниками ГДР, встретиться со школьниками и студентами.

Участники олимпиады были гостями студентов Высшей педагогической школы им. Лизелотты Германн в Гюстрове, где проходила олимпиада. Школьники совершили про-

гулку на катерах по озеру, экскурсию по городу, побывали в Политехническом музее, в музее Барлаха, на промышленных предприятиях, возложили венки к памятному месту встречи Советской армией узников Заксенхаузена и на братскую могилу советских солдат.

В Ростоке, познакомившись с городом, участники олимпиады совершили прогулку на катере по Балтийскому морю, встретились в туристическом лагере со школьниками ГДР.

Во время поездки в Потсдам участники олимпиады посетили парк Сан-Суси, Новый дворец, замок Цицилиенхоф, где было подписано знаменитое Потсдамское соглашение.

В Берлине была экскурсия по городу. Во время посещения Трептов-парка школьники возложили венок к памятнику Советскому солдату.

За время олимпиады члены разных команд подружились между собой, обменялись сувенирами.

Ниже приводятся задачи теоретического и экспериментального туров.

Теоретический тур

З а д а ч а 1. Стержень закреплен под углом $\dfrac{\pi}{2} - \alpha$ по отношению к вертикальной оси A (рис. 1). Конструкция может вращаться вокруг этой оси с угловой скоростью $\omega$ . На стержне находится подвижное тело весом $G = mg$ . Движение тела по стержню происходит с трением. Коэффициент трения покоя $\mu$ ( $\mu = \mathrm{tg}\,\beta$ ).

Рис. 1.

Рис. 2.

a) Для каких значений угла α тела находится в покое и для каких значений α тела движется при ω = 0?

Определить условия, при которых тела находится в покое, если конструкция вразается с постоянной скоростью ω. При вразании угол α не меняется.

Используйте следующие соотношения при расчете:

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta,$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta.$

Задание 2. Для только стеклянной линии с радиусами кривизны $r_1$ и $r_2$ и толщиной $d$ (рис. 2), находящейся в воздухе, фокусное расстояние $f$ определяется следующим выражением:

$f = \frac{n r_1 r_2}{(n - 1) [n (r_2 - r_1) + d (n - 1)]},$

где $n$ — показатель преломления (воздух — стекло).

Примечии e. $r_i > 0$ означает, что центр кривизны $M_i$ лежит с правой стороны от точки $S_i$ ; $r_i < 0$ означает, что центр кривизны $M_i$ лежит с левой стороны от точки $S_i$ ( $i = 1, 2$ ).

Для определенных целей желательно, чтобы фокусное расстояние не зависит от длины волны света λ.

a) Для скольких различных длины волно можно добиться одного и того же значения фокусного расстояния?

Найдите соотношение между $r_i$ , $d$ и показателем преломления, при котором фокусное расстояние линии не зависит от длины волны света (см. предыдущий вопрос), и обсуждение это соотношение. Нарисуйте возможность формы линии. Укажите положения центров кривизны $M_1$ и $M_2$ .

b) Покажите, что для плоско-выпуклой линии определенное фокусное расстояние можно получить только для одной длины волны света.

г) Укажите еще случай, когда при определениях параметрах только линии можно реализовать заданное фокусное расстояние только для одной длины волны. Обратите внимание на физическое и геометрическое обстоятельства.

Задание 3. Из точки Q в одной плоскости испускается лучок положительных однозаряженныхонов (заряд + e) одинаковой и постоянной массы $m$ . Ионы,ускоренные напряжением U, отклоняются однозарным магнитным полем, которое направлено perpendicularно к плоскости распространенияонов. Индукция магнитного поля равна B. Границы магнитного поля должны быть такими, чтоы пучоконов сходился в одной точке A ( $QA = 2a$ ). Траекториионов должны быть симметричными относительно линии, perpendicularной к отрезку QA и проходящей через его середину. Из возможных границ магнитного поля следует выбрать такие, которые находимись бы в окрестностях линии, perpendicularной к середине отрезка QA, но не захватывали точек Q и A. Области должны быть однозвязной, т. е. без дыр и разрывов.

a) Выразите радиус кривизны R траекторий части в магнитном поле как функцию напряжения U и индукции B.

Укажите характеристике свойства траекторий части в полученной установке.

b) Найдите границы магнитного поля путем геометрического построения для случая: $R < a; R = a; R > a$ .

г) Найдите математическое выражение для границы магнитного поля.

Экспериментальный тур

Задание 4. На рабочем месте находится следующие приборы: полупроводниковый прибор, реостат (140 ом), постоянное сопротивление (300 ом), источник напряжения (9 e), 2 универсальных электронзмерительных прибора (безомметра), соединительных проводов.

Используя эти приборы, решите следующие задачи.

a) Соберите цепь и проделяйте необходимые изменения для построения характерастики полупроводникового

Рис. 3.

прибора в границах, определяемых максимально допустимой мощностью 250 мт. Запишите результаты измерений в таблицу и нарисните волтамперную характеристику. Подумайте перед началом измерений о том, как можно надежно предотвратить перегрузку полупроводникового прибора, и запишите ваш расчёдения в отчет. Начерте схему электрической цепи для проведения измерений и проанализируйте систематические ошибки, которые возникают при использовании выбранной вам схемы.

Расчитайте внутренние сопротивления (диамантические сопротивления) полупроводникового прибора при силе тока 25 ма.
в) Используя схему, указанную на рисунке 3, исследуйте зависимость выходного напряжения $U_2$ от входного напряжения $U_1$ и результат представьте в виде таблицы и графических. Входное напряжение $U_1$ следует менять в пределах от 0 до 9 $\theta$ . При этом полупроводниковый прибор следует включить в цепь так, чтобы $U_2$ было по возможности больше. Нарисуйте полную схему соединения прибора и обсуйте в отчет результаты измерений.

г) Укажите, на какую величины меняется выходное напряжение $U_2$ , если входное напряжение $U_1$ увеличивается от 7 $\theta$ до 9 $\theta$ . Объясните качественно отношение $\Delta U_1/\Delta U_2$ .

д) К какому типу полупроводниковых приборов относится прибор, используемый в эксперименте? Приведите пример практического применения схемы, указанной на рисунке 3.

Указан и е. Электронзмерительные приборы относятся к классу точности 2,5 и имеют следующие параметры:

| Диапазон измерения | Внутреннее сопротивление |
| :— | :— |
| 50 $\mu$ a | 2 $\text{кОм}$ |
| 300 $\mu$ a | 1 $\text{кОм}$ |
| 3 $\text{м}$ a | 100 $\text{Ом}$ |
| 30 $\text{м}$ a | 10 $\text{Ом}$ |
| 300 $\text{м}$ a | 1 $\text{Ом}$ |
| 0,3 $\theta$ | 6 $\text{кОм}$ |
| 1 $\theta$ | 20 $\text{кОм}$ |
| 3 $\theta$ | 60 $\text{кОм}$ |
| 10 $\theta$ | 200 $\text{кОм}$ |

Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6.

Как обычно, решение задач оцениваемых баллами. Максимальное количество баллов за решение каждой задачи теоретического типа — 10, а за решение экспериментальной задачи — 20. Таким образом, каждый участок о внутренних сопротивлениях амператора и волтметра. Во-вторых, систематическая ошибка возникает из-за неконтропического повышения температуры полупроводникового прибора, при этом увеличивается его электропроводность. (1 балл)

Вольтметрная характеристика полупроводникового прибора, полученная по результатам измерения, приведена на рис. 5. (2 балла)

Внутреннее сопротивление определяется так: $R_i = \frac{\Delta U}{\Delta I}$ . (1 балл)

При силе тока 25 мА внутреннее сопротивление для прямого направления тока равно 1 ом±50%, а для запирающего направления тока — 10 ом±50% (см. рис. 5).

Относительная ошибка до 50% считалась допустимой. (2 балла)

в) Полная схема, необходимая для исследования, показана на рисунке 6. (1 балл)

Для обихх направленный тока график зависимости $U_2 = f(U_1)$ имеет одинаковый вид (рис. 7), на абсолотные значения различны. (3 балла)

Обратите внимание на то, как включен полупроводниковый диод. Именно в этом случае выходное направление $U_2$ будет больше. (1 балл)

Начиная с некоторого значения входного направления $U_1$ , направление $U_2$ изменяется оченьзначительно потому, что произойдет пробой полупроводникового прибора. С увеличением $U_1$ растет ток в цепи и соответствен着他ading напряжения на добавочном сопротивлении. (1 балл)

г) По результатам измерений $\Delta U_2 = 0,1 \theta \pm 50\%$ . (1 балл)

Таким образом, $\Delta U_2$ города меньше $\Delta U_1$ . Это объясняется тем, что внутреннее сопротивление полупроводникового прибора намного меньше добавочного сопротивления, поэтому изменение входного сопротивления сильнее всего сказывается на padения направления на добавочном сопротивлении. (2 балла)

д) Полупроводниковый прибор является диодом. Правильным считается также ответ: выпримпель. (1 балл)

Данную схему можно использовать как стабилизатор направления. (2 балла)

Внимание! При разрушении диода вычитаются 2 балла, а при повреждении измерительного прибора — 5 баллов.

В. Г. Разумовский, Г. С. Тараскок