Брахистохрона, или ещё одна тайна циклоиды

Квант 1975, №12 с. 29-34 Тег HARW

Брахистохрона, или еще одна тайна циклопы

Эта статья заканчивает цикл, посвященный одной из самых популярных в математике XVII века кривых — циклопидes: «Касательные к рулетам», «Тайны циклопиды».
Во всех статьях рассказывает о том, как величины математики XVII века Галилей, Гюйгенс, Ньюотон, Лейбниц, братья Иоганн и Яков Бернулли решили математические задачи, пользоваться физическими соображениями.

Ошибка Галилея

В самом начале XVII века юный Галилей пытался экспериментально проверить свою догадку о том, что свободное padение — равноукорененное движение. Когда он перенес наблюдения с Пизанской башни в лабораторию, ему стало очень мешать то, что тела падают «слишком быстро». Чтобы заменить это движение, Галилей решил заменить свободное padение тел их движением по наклонной плоскости, предположив, что и оно будет равноукоренным. Провода эти опыты, Галилей обратил внимание на то, что в конечной точке величина скорости тела, статившегося по наклонной плоскости, не зависит от угла наклона плоскости, а определяется только высотой H и совпадает с конечной скоростью тела, свободно упавшего с той же высоты (как выше хорошо знаете, в обихх случах $|\vec{v}| = \sqrt{2gH}$ ). Изучив движения по наклонным плоскостям*), Галилей перешел к рассмотрению движения математicalной точки под действием силы

*) О некоторых наблюдаемых Галилей, связанных с движением тела по наклонным отрезкам, см. в статье С. Г. Верова «Тайны циклопиды» (Задачи Галилея), «Квант», 1975, № 8.

Рис. 1.

тированный выбор, что четверть окружности, соединяющая пару заданных точек А, В (не лежащих на одной вертикали), и будет для материальной точки, движущейся под действием силы тяжести, линейная наскорейшее спуска (позже линio наскорейшего спуска стали называть брахистохроной). В последствии выяснили, что это утверждение Галилея было не только необоснованным, но и ошибным.

Швейцария. Конец XVII века

«Процульваясь по улицам Базеля и обсуждая всевозможные математические вопросы, Иоганн и Яков Бернулли намknились на следующий вопрос: какую форму модель бы прияmbь свободно высцая цепь, укрепленая в двух своих концах? Они скоро и легко совпись на том взгляде, что цепь приметит ту форму равновесия, при котором ее центр мяжести будем лежать возможно ниже… Физическая часть задачи этим исчерпана. Определение кривой с наиболее низким центром мяжести при данной лице между двумя точками А и В есть уже задача молко математическая.» (Мах).

Исследовав цепную линию (так называется линия, форму которой принимает гибкая тяжелая нерастражная нить, подвешенная в двух точках), братья Бернулли запитересовались другими задачими, в которых разыскиваются кривы, отвечающие наименьшую значению той или иной величины. В 1696 году Иоганн Бернулли опубликовал заметку «Новая задача, к разрешению коморои прилашаются математики». Впрочем, эта «новая» задача уже рассматривалась Галилеем. Речь шла о нахождения брахистохроны — линия, соединяющей фиксированную пару точек, по комороий матерциальная точка спустимся под действием силы тяжелей высшего. Задча о брахистохроне, недоступная в начале века даже велиkomу Галилею, оказалась очень своевременной в конце века. Она была очень быстро решена и самим Иоганном Бернулли и его братом Яковом, и их учитель Лейбницем, а также Ньюотоном и Лопиталем. Мы рассакжем о решении Иоганна Бернулли: оно совершено неожиданным образом использует собравнения из геометрической оптики!

«Без всякого еще метода, при помощи одной своей геометрической фантации Иоганн Бернулли одним взглядом решает задачу умело, пользоваться при этом тем, что случая извлечено,— картина понятие заменыная и удивительное красивая. Мы должны признавать в Иоганне Бернулли истинно художественно натуру, действующую в области естественного обшивания. Брат его, Яков Бернулли, был научным характером совсем другого рода. Ему было удалено больше критики, но гораздо меньше творческой фантации. И он решил ту же задачу, но гораздо более тяжеловесным образом. Зато он не упустил случая развить с большей основательностью обшивания метод для решения задачи этого рода. Таким образом, мы находим в обихах браться разделенными те две стороны научного таланта, которые в величайших исследованиях природы, каким бы направер, Ньюотон, бывают соединены с необычайной силой.» (Мах).

Прицип Ферма

Еще в 140 году до н.э. Клавдий Птолемей составил подробную таблицу зависимости угла преломления светового луча при переходе из воздуха в воду от угла падения; но лишь в 1621 году Снеллиус угадал анаимущескую закономерность, связывающую эти углы:

$\frac{\sin \alpha_{\text{наденя}}}{\sin \alpha_{\text{преломления}}} = k,$

где $k$ — коэффициент преломления, константа для фиксированной пары сред.

В 1650 году Ферма дал замечательную интерпретацию этого закона. Он отправлялся от известного еще Герону Алексаандрийскому факта, что равенство углов падения и отражения можно вывести из предположения, что при отражении свет выбирает наикратающий путь (рис. 2).

Рис. 2.

Ферма предположил, что путь распространения света между двумя точками есть макой путь, для прохождения коморого света пребуется наименьшие время по сравнению с любым другим путем между этим точками,— теперь это утверждение носит название «причина Ферма».
Из принципи Ферма, в частности, следует, что поскольку в однородной среде скорость света постоянна, то наименьшее время приходит на путь наименьшей длины. Отсюда следует, что путь света в однородной среде, не имеющей прегативный, прямолинейен, а также — закон отражения.
Если же среда имеет переменную плотность, и скорость света в различных ее участках различана, то путь распространения света, на проходение коморого уходит наименьшее время, уже не должен быть прямолинейным. Посмотрим, что происходит в случае прегломления.
(Все наши дальнейшие рассмотрения относятся к плоскому случанию).

Рис. 3.

Пусты пряма $l$ разделяет две среды (на плоскости), в первой из которых скорость света равна $c_1$ , а во второй — $c_2$ ; $A_1$ и $A_2$ — точки, лежащие по разные стороны $l$ . Найдем на $l$ такую точку $B$ , что $\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2} = \frac{c_1}{c_2}$ , где $\alpha_1$ — угол падения, $\alpha_2$ — угол преломления (см. рис. 3). Существование и единственность такой точки $B$ легко доказывается. Пусты $C$ — любая другая точка прямой $l$ . Опустим из нее переменнику $CE$ и $CF$ на $A_1B$ и $A_2B$ соответственно.

Тогда $ECB = \alpha_1$ , $FCB = \alpha_2$ , и проходение отрезка $BE$ со скоростью $c_1$ займет столько времени, сколько проходение отрезка $BF$ со скоростью $c_2$ . Значит, свету на проходение пути $A_1BA_2$ нужно столько же времени, сколько на проходение двух отрезков: $A_1E$ со скоростью $c_1$ и $FA_2$ со скоростью $c_2$ . Так как длинны отрезков $A_1C$ и $A_2C$ больше длины отрезков $A_1E$ и $FA_2$ соответственно, то свету на проходение пути $A_1CA_2$ нужно больше времени, чем на проходение пути $A_1BA_2$ , и, значит, точка $C$ не годится.

Таким образом, из принципи Ферма следует закон прегломления Снеллиуса, причем коэффициент прегломления светового луча из одной среды в другую оказывается равным отношению скоростей света в этой среде $*$ ).

Из принципи Ферма также следует, что в сложной сложной оптической среде, состоящей из горизонтальных «полос», в каждой из которых скорость света постоянна: $c_1, c_2, \dots$ (рис. 4),— свет будет распространяться по плоской ломаной с вершинами на разделяющих эти полосы прямых, причем если $\alpha_j$ — угол, который звено ломаной, лежащей в области со скоростью света $c_j$ ,

*) Приципи Ферма получил обоснование в волновой теории света,строенной Гюйген-com в 1672—1673 годах.

рис. 4.

образует с вертикалью, то $\frac{\sin \alpha_j}{c_j} =$ const для всей ломаной.

Действительно, если $\frac{\sin \alpha_j}{c_j} \neq \frac{\sin \alpha_{j+1}}{c_{j+1}}$ для некоторого $j$ , то по принципу Ферма по такой ломаной свет распространется не может: вершину ломаной на границе соответствующих сред можно передвинуть так (не меняя остальных вершин), что общее время, затраченое светом, уменьшится.

Если же в некоторой неоднородной оптической среде скорость света меняется непрерывно, но так, что в точках горизонталей (т. е. в точках с одинаковыми ordinатами) она одна и та же: $c(y)$ (значение $y = 0$ соответствует начальному положению точки, из которой выходит луч), то предельным переходом получаем, что в этой среде путь распространения света между двумя точками есть такая кривая $L$ , что

$\frac{\sin \alpha(y)}{c(y)} = \text{const},$

где через $\alpha(y)$ обозначает угол, который касательная, проведенная к кривой $L$ в точке с ordinатой $y$ , образует с вертикалью.

Чтобы перейти к задаче о брахистохроне, затем теперь, что соответствие (1) мы получили из принципи Ферма, пользовясь лишь тем, что в фиксированной точке нашей неоднородной среды величины скорости света фиксирована и не зависит от направления распространения света (в наших примерах она была построена на горизонталях). Но, как мы уже отмечали выше, для тела, движущегося только под действием силы тяжести, $|v(y)| = \sqrt{2gy}$ , где $y$ — пройденный по вертикали путь, «потеря» высоты,— и мы получаем, что и в этой задаче величины скорости в каждой фиксированной точке плоскости фиксирована и не зависит от того, по какому пути проискот движение. Поэтому все выводы из принципи Ферма могут быть пересечены и сюда. Следовательно, чтобы попасть из одной заданной точки в другую за минимально возможное время, материальная точка должна двигаться по такому пути $L$ , соединяющей эти две точки (мы предполагаем, что точки не лежат на одной вертикали),

Рис. 5. Циклонда — кривая, которая описывает точка, лежащая на границе кругларадиуса $r$ , катящегося без скольжения по направляющей прямой (совпадающей с осью $Ox$ ); $r$ называется радиусом циклонди. По определению,лина дуги $A_tB$ равна длине отрезка $A_0B$ , по которой эта дуга прокапливается.

для которого

$\frac{\sin\alpha\,(y)}{\sqrt{y}} = \mathrm{const}, \qquad (2)$

где $\alpha\,(y)$ — угол между вертикалью и касательной к кривой $L$ , проведенными в точке с ординатой $y$ .

Нам остается лишь отыскать кривую, удовлетворяющую условию (2).

Опять циклоида!

Циклоида (см. рис. 5) была популярнейшей кривой у математиков XVII—XVIII веков. Одно из самых замечательных свойств циклоиды было обнаружено Гюйгенсом и состояло в том, что циклоида — таутохрона. Это означает, что если изготовить желоб по форме перевернутой циклоиды и пускать по такому желобу шарик, то с любой высоты в нижнюю точку (совпадающую с вершиной перевернутой циклоиды!) он придет за одно и то же время*).

Математики XVII века «привыкли» к тому, что циклоида — это «палочка-выручалочка» во многих вопросах. И вот ей снова было суждено подтвердить свою «репутацию» — брахистохрона также оказалась циклоидой!

В самом деле, если через $\alpha\,(y)$ обозначить угол, который касательная, проведенная к циклоиде радиуса r (получающейся при качении без скольжения по прямой $\{y = 0\}$ круга радиуса $r$ ) в точке с ординатой $y$ составляет с вертикалью, то

$\sin\alpha\,(y) = \sqrt{\frac{y}{2r}} \qquad (3)$

(см. «Квант» № 8, с. 21, соотношение (1)).

Можно показать, что циклоида является единственной кривой, удовлетворяющей соотношению (3). Таким образом, брахистохроной, соединяющей две данные точки A и B

*) О таутохроне и о свойствах циклоиды см. в уже упоминавшихся статьях «Касательные к рулеттам» и «Тайны циклоиды» «Квант», 1975, № 5 и № 8. В этих статьях приводятся доказательства всех утверждений, которыми мы ниже пользуемся.

3 «Квант» №12

Рис. 6.

(не лежащие на одной вертикали), служит часть арки (или арка) перевернутой циклоиды (см. рис. 6), причем в «верхней» точке $A$ находится острие этой циклоиды. Поскольку мы рассматриваем только о д н у (первую) арку циклоиды, то ее радиус $r$ по точке $B$ определяется однозначно.

Дуга циклоиды, являющаяся брахистохроной, может быть больше полуарки циклоиды. В этом случае материальная точка, двигаясь под действием силы тяжести по брахистохроне, сначала спустится вниз (дойдя до вершины перевернутой циклоиды), а затем начнет снова подниматься вверх. И тем не менее, такое движение оказывается более экономным по времени, чем если бы материальная точка отправилась из $A$ в $B$ по прямой!

Для сравнения отметим, что хотя перевернутая циклоида является и таутохроной, и брахистохроной, в первом случае нужно брать дугу с концом в вершине циклоиды, а во втором — с началом в острие.

Несколько задач

Вернемся к оптике. Теперь мы знаем, что если в плоской неоднородной среде величина скорости света меняется по закону $c\,(x, y) = k\sqrt{H-y}$ (т. е. аналогично изменению величины скорости материальной точки, движущейся под действием силы тяжести), то в такой среде свет между двумя точками будет распространяться по дугам перевернутых циклоид с остриями на прямой $\{y = H\}$ .

Попробуйте сейчас решить несколько задач на отыскание в оптически неоднородной среде пути распространения света между двумя точками, если в этой среде задан закон изменения величины скорости света.

Задание 1. Велична скорости света меняется по закону $c(x, y) = k \cdot (y - a)$ . Докажите, что свет между двумя точками будет распространяться по двум полукругжностей с диаметрами на прямой $\{y = a\}$ (причем «начальная» точка находится на этой прямой).

Задание 2. Велична скорости света меняется по закону $c(x, y) = \frac{k}{\sqrt{a - y}}$ . Докажите, что в этом случае свет между двумя точками будет распространться по двум парабол.

Пока во всех задачы велична скорости света зависит только от $y$ . Если же оптическая среда такая как эта зависимость более сложная, например, велична скорости света постоянна не на горизонталях, а на каких-то кривых — линия постоянства скорости света,— то свет между двумя точками будет распространться по такой кривой $L$ , для которого

$\frac{\sin \alpha \left(c(x_0, y_0)\right)}{c(x_0, y_0)} = \text{const},$

где $\alpha \left(c(x_0, y_0)\right)$ — угол между касательной к кривой $L$ и нормальной к линии постоянства скорости света $c(x, y) = c(x_0, y_0)$ .

Задание 3. Велична скорости света меняется по закону $c(x, y) = k \sqrt{1 - r^2}$ , где $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ — расстояние от начала координат. Докажите, что в такой среде свет между двумя точками будет распространться по двум окружностей, перепределкульных к окружности радиуса 1 с центром в начале координат.

Задание 4. Велична скорости света меняется по закону $c(x, y) = kr$ . Докажите, что в этом случае свет между двумя точками будет распространться по двум zonопиклoud (см. упражнения Ньюмона в конце статьи «Тайны циклопды», «Квант», 1975, № 8, с. 27).

Если в задачах 1—4 $c(x, y)$ интерпретировать как величну скорости неоднородного механического движения, то полученные при решении этих задач траектории распространения света будут брахистохронами для соответствуют механическим систем.

Аналогия между механикой и оптикой

Основная задача механики заключается в том, чтобы определить положение движущесся тела в любой момент времени.

И. К. Кикоин, А. К. Кикоин, Учебное пособие по физике для 8-го класса средней школи.

Итак, в механике обычно ищется траектория материального точки, если известны действующие на точку силы и заданы начальные положение и вектор скорости (начальные условия). Однако можно интерсовать не индивидальными траекториями, а описанием все свойности траекторий при заданном законе изменения действующих сил (дополнительное задание начальных условий будет тогда выделять из этой совокупности траекторий конкретирую траекторию). Так, классический результат Галилея о движении брошеного тела (горизонтально или под углом к горизонту) заключается в том, что в случае силыяжесте множесто траекторий состоит из друг парабол.

Использование оптики в чисто механических задах на мысль попытаться выделить возможность траекторий для конкретиной механической системы, каким-нибудь условием минимального ферма. Об этом думал Лейбницц, но первая формулировка приладлежит Мопертион. Однако его построения касались всего мироzdания в целом и не содержали точных утверждений. Первая точная формулировка приладлежит Эйлеру (учившемся математике у Иоганна Бернулли). Она относится к следующей специальной ситуации.

Пусть материальная точка движется по плоскости под действием такой силы, что потенциальная энергия зависит только от положения точки: $U = U(x, y)$ . В силу закона сохранения энергии велична скорости точки $|v|$ тогда также зависит