XVII Олимпиада по математике

57

ХVII Олимпида по математике

ХVII Международная математическая олимпида школьников состоялась в Болгарии в июле 1975 года в г. Бургас. В ней приняли участие команды 17 стран: Австралии, Болгарии, Великобритания, Венгрии, ГДР, Греции, ДРВ, Монголии, Нидерландов, Польщики, Румынии, СССР, США, Франции, Чехословакии, Швеции, Югославии. Как обычно, команда каждой страны состояла из 8 школьников (в команде ДРВ было семь человек из-за болезни одного участника). Впервые выступила на олимпиде команда школьников Греции.

Советская команда была в основном форматирована из победителей IX Всесоюзной математической олимпиды.

В этом году Всесоюзная олимпида проводилась по новому положению, которое в настоящее время уточняется. Это положение предусматривает проведение республиканских олимпид, по итогам которых форматировая команда союзных республик. Однако ограничения на форматирование команды РСФСР и недостатки в организации и проведении Всесоюзной математической олимпиды привели к тому, что многие школьники, показавшие высокие результаты на Московской городской олимпиде, не попали на Всесоюзную олимпиду. В связи с этим для отбора кандидатов в команду СССР на Международную математическую олимпиду среди Москвых школьников были проведены дополнительные соревнования. Победители Всесоюзной олимпиды вместе с победителями Москвыского отбора были приглашены на участие тренировочные сборы, которые традиционно проводятся под Москвой в Горках Ленинских. Здесь и были окончательно определен состав команды. В нее вошли:

Александр Корнюшкин, выпускник ФМШ № 18 при МГУ, призер области и ресурсанских олимпид по математике на Всесоюзной математической олимпиде он получил в 1973 году — I premio, в 1974 году — II premio;

Юрий Неретин, выпускник средней шкoles № 91, г. Москвы, призер Московских городских олимпид, на Всесоюзной математической олимпиде он получил в 1974 году — II premio;

Александр Резников, выпускник ФМШ № 145 при КГУ, призер городских и ресурсанских олимпид по математике (I premio в 1974 и 1975 года), на Всесоюзной математической олимпиде он получил в 1974 году II premio, а в 1975 году — I premio;

Сергей Финашин, ученик 9 класса ФМШ № 45 при ЛГУ, призер Ленинградских городских олимпиад (1973 год — I премия, 1974 и 1975 годы. — II премия), на Всесоюзной математической олимпиаде он получил в 1974 и 1975 годах I премии;

Татьяна Хованова, ученица 9 класса средней школы № 444 г. Москвы, призер Московских городских олимпиад по математике, на Всесоюзной математической олимпиаде она получила в 1974 и 1975 годах I премии;

Георгий Шмелев, выпускник средней школы № 20 г. Ярославля, призер областных и республиканских олимпиад, на Всесоюзной математической олимпиаде получил в 1974 году II премию, в 1975 году — I премию;

Борис Юсин, выпускник очно-заочной вечерней (сменной) школы № 180 г. Москвы, призер Московских городских олимпиад, занял первое место в отборочных соревнованиях школьников на XVII Международную математическую олимпиаду;

Илья Юнус, выпускник средней школы № 27 г. Харькова, призер областных и республиканских олимпиад, на Всесоюзной математической олимпиаде получил в 1974 году III премию, в 1975 году — I премию.

Кроме того, в тренировочных сборах приняли участие кандидаты в команду Константин Рыбасов (выпускник ФМШ № 145 при КГУ), Алексей Музыкантов (выпускник школы № 130 г. Новосибирска), Александр Гончаров (ученик 9 класса школы-интерната № 18 при МГУ), Владимир Гейзель (выпускник ФМШ № 18 при МГУ).

Для читателей «Кванта», возможно, представят интерес задачи одной из отборочных олимпиад, результаты которой учитывались при формировании команды.

1. На бесконечной черно-белой шахматной доске со стороной клетки 1 сидит блоха, которая каждую секунду прыгает на $\alpha$ впра-

58

во и $\beta$ вверх, причем $0<\alpha<\beta<1$. Доказать, что блоха когда-нибудь окажется внутри белой клетки.

2. Решить в натуральных числах уравнение $m^m = n^{n^n}$.

3. Точка $O$ — центр квадрата $ABCD$. Найти множество точек $M$ таких, что отрезок $OM$ полностью покрывается кругом, лежащим внутри квадрата $ABCD$.

4. Доказать, что существует 1975 последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не представимо в виде $p^2+q^3+r^7$, где $p$, $q$, $r$ — натуральные числа.

3 июля наша команда выехала в Болгарию, где в Бургасе 7 и 8 июля состоялись оба тура состязаний.

Задачи для олимпиады были предварительно отобраны Международным жюри, в состав которого вошли научные руководители всех команд, председателем жюри был профессор Софийского университета И. Проданов. На решение задач в каждый из дней соревнований, как и в прошлые годы, отводилось по 4 часа (тексты задач приведены в конце статьи, в скобках указано, какой страной была предложена задача и сколько очков давалось за ее полное решение).

Торжественное закрытие олимпиады состоялось в Софии, где победителям были вручены награды.

I премию получили
8 участников, у которых по итогам двух дней оказалось 40 и 39 очков.

40 очков набрали: Пауль Войта (США), Джон Рикард (Великобритания), Жан-Клод Сикорав (Франция), Пауль Хердег (США), Джонатан Хичкок (Великобритания), Борис Юсин (СССР).

39 очков набрали: Вилфрид Пашер (Австрия), Миллер Пукетт (США),

II премию получили
25 участников, набравших от 37 до 32 очков. Среди них трое советских школьников: Александр Корнюшкин (36 очков), Александр Резников (34 очка), Татьяна Хованова (32 очка).

III премию получили
36 участников, среди них наши школьники: Георгий Шмелев (28 очков), Илья Юнус (26 очков), Юрий Не-