Медианы и средние линии

46

Медианы и средние линии

Э. Г. Готман

…Много задач вместе иноеда решить лечее, чем всего лишь одну из них, если это больше число задачи хорошего совласовано, а одна задача сама по себе изолирована.

Д. Пой а. «Математика и правдоподобные рассуждения»

В этой статье собраны задачи о свойств медиан треугольника и средних линей чет狸гуольника. Задачи доступны ученикам 7—8 классов. Для их решения нужно придумать вспомогательное построение, применить параллельный перенос или центральную симметрию. При доказательстве используется небольшие число теорем, чаше других — теорема о средней линии треугольника. Задачи расположены в такой последовательности, что достаточно подобрать ключи к решению первых из них, чтобы суметь решить и последующее.

Некоторые из задач данных с решениями или краткими указаниями (в конце журнала). Прежде чем читать решение той или иной задачи, попытайте решить ее самостояльно. В случае затруднейной построите на рисунок. Выясните, какую роль играют вспомогательные линии, для чего они нужны. Прочитите указание к решению. Сравните различные возможности способы решения одной и той же задачи. Приступая к решению последующих задачи, найдите их сходство с решенными задачими и поставайте его использовать.

Medianы треугольника

Задача 1. В треугольнике ABC проведена медиана CM. Доказать, что

a) если $|CM| > \frac{1}{2}|AB|$, то $\hat{C} < 90^\circ$;

b) если $|CM| = \frac{1}{2}|AB|$, то $\hat{C} = 90^\circ$;

c) если $|CM| < \frac{1}{2}|AB|$, то $\hat{C} > 90^\circ$.

Обозначим $A\hat{CM} = \alpha$, $B\hat{CM} = \beta$ (рис. 1).

a) $|CM| > |AM|$ и $|CM| > |BM|$, Расмотрим треугольники $ACM$ и $BCM$. Так как в треугольнике против большей стороны лежит и больше угол, то $\hat{A} > \alpha$, $\hat{B} > \beta$. Сложив эти равенства почленно, получим $\hat{A} + \hat{B} > \hat{C}$. Отсюда следует, что $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} > \hat{C} + \hat{C} = 2\hat{C}$ и, поскольку $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ$, $\hat{C} < 90^\circ$.

Рис. 1.

47

Для случая 6) и 8) доказательство аналогично.

Итак, мы видим, что для решения задачи не потребовалось никаких дополнительных построений.

Хорошо известно, что медиана, проведенная к основанию равноведренного треугольника, является bicsectрисой угла при вершине. Расстоярим свойство медианы разностороннего треугольника.

Задача 2. Медиана CM треугольника ABC образуется с стороны AC и BC соответствующего углы α и β. Какой из этих углов больше, если |AC| < |BC|?

Обозначим |BC| = a, |AC| = b, тогда по условию a > b.

Остановимся на двух способах решения этой задачи.

Первый способ. Построим точку D, симметрично точке C относительно середины M стороны AB, и соединим точку D с вершиной A (рис. 2). Построенный треугольник ADM симметричен треугольнику BCM относительно точки M, следовательно, |AD| = |BC| = a и ADM = BCM = β. Мы получили треугольник ACD, который содержит интерсуцию нас углы α и β, причем противожащие им стороны AD и AC равны соответствению a и b. Согласно условия a > b, поэтому α > β.

Второй способ. Соединим середину E стороны AC с точкой M (рис. 2).

Рис. 2.

Рис. 3.

48

но $M$, и воспользоваться результатом задачи 3.

Второй способ. При решении задачи 2 первый способ мы построили треугольник $ADM$, симметричный треугольник $BCM$ относительно середины $M$ стороны $AB$. Для решения задачи 4 можно использовать тот же прием. Построите четырехугольник $AMN_1C_1$, симметричный четырехугольник $BMNC$ относительно точки $M$ (рис. 4). Пусть $|AD| = a$, $|BC| = b$, $|MN| = m$, тогда $|AC_1| = b$, $|DC_1| = |NN_1| = 2m$. Если $(AD) \parallel (BC)$, то $a + b > 2m$; если же $(AD) \parallel (BC)$, то $a + b = 2m$.

Третий способ. Соедините середину $E$ одной из диагоналей четырехугольника с точки $M$ и $N$ (рис. 5). Тогда, как и при решении задачи 2 вторым способом, получится треугольник $EMN$ со сторонами, равными $a/2$, $b/2$ и $m$. Следовательно, $m < (a + b)/2$. В частном случае, когда $(AD) \parallel (BC)$, треугольник $EMN$ вырождается, точка $E$ будет принадлежать отрезку $MN$ и, следовательно, $m = \frac{1}{2} (a + b)$.

Из задачи 4 вытекает, что длина средней линии $MN$ четырехугольника $ABCD$ равна получме длиной сторона $AD$ и $BC$ моеда и молко моеда, коеда эти стороны параллельны.

Задание 5. Противоположные стороны $AD$ и $BC$ четырехугольника $ABCD$ конструкны. Доказать, что прямая, соединяющая двух других сторон, обязает с прямыми $AD$ и $BC$ конгрузнтыные углы.

Эту задачу, так же как и предыдущую, можно решить различными способами, с помощью тех же приемов. Какое решение вам понравится больше других?

Задание 6. Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третий стороне.

Задание 7. Построить четырехугольник, зная все его стороны и отрезок, соединяющийся двумя противоположными сторонами.

Следующая задача стоит того, чтобы ее запомнить. Это очень известная задача, которая часто применяется при решении других задач.

Задание 8. Доказать, что середины сторона любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. При каких условиях этот параллелограмм будет

a) ромбом,
b) прямой уголиком,
b) квадратом?

Задание 9. Доказать, что средние линии любого четырехугольника и отрезок, соединяющийся диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся его пополам.

Если точки $A, B, C$ и $D$ не принадлежат одной плоскости, то шесть отрезков, соединяющих попарно эти точки, являются ребрами треугольной параллелограммы (тетраэдра).

Задание 10. Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер tetraэдра, пересекаются в одной точке и делятся его пополам.

Обратите внимание на то, что задача 9 является частным случаем (лиучше сказаить предельным случаем) задачи 10.

Задание 11. Диагонал четырехугольника взаимно перpendикулярны. Зная их длины $e$ и $f$, вычислить длины средних линии четырехугольника.

Задание 12. Середины сторона $AB$ и $CD$, $BC$ и $DE$ выпуклого пятугольника $ABCDE$ соединены отрезками. Середины $H$ и $K$ полученных отрезков снова соединены. Доказать, что отрезок $HK$ параллелен отрезку $AE$ и $|HK| = |AE|/4$.