Задачи М356—М360; Ф368—Ф372

36

Задачи

М356—М360; Ф368—Ф372

М356. Из точки $M$, взятой внутри треугольника $A_1B_1C_1$, опущены перпендикуляры $MA_2, MB_2, MC_2$ на прямые $B_1C_1, A_1C_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Затем из точки $M$ опущены перпендикуляры $MA_3, MB_3, MC_3$ на прямые $B_2C_2, A_2C_2, A_2B_2$ (рис. 1), и так далее. Докажите, что в полученной последовательности треугольников $A_1B_1C_1$,

$$A_2B_2C_2, A_3B_3C_3, \dots \text{ треугольник } A_{3n+1}B_{3n+1}C_{3n+1} \text{ подобен треугольнику } A_1B_1C_1.$$

Я. Н. Суконик

М357. Докажите, что если $x + \frac{1}{y} = y + \frac{1}{z} = z + \frac{1}{x}$, то $x = y = z$ или $x^2y^2z^2 = 1$.

М358. Докажите, что у любого $n$-угольника ($n \geqslant 4$) есть хотя бы одна диагональ, целиком лежащая внутри $n$-угольника, и выясните, какое наименьшее число таких диагоналей может иметь $n$-угольник (при каждом $n$).

А. Хомодов

М359*. Маленький шарик движется внутри биллиард, имеющего форму эллипса с фокусами $A$ и $B$, упруго отражаясь от его бортов, по ломаной $P_1P_2P_3P_4 \dots (P_1, P_2, \dots$ — точки эллипса). Докажите, что если звено

37

$P_1P_2$ не пересекает отрезок $AB$, то а) все следующие звенья $P_2P_3, P_3P_4, \dots$ не пересекают отрезок $AB$; б) все эти звенья касаются одного и того же эллипса. (Подумайте, как построить этот эллипс.)

А. Н. Земляков

М360*. Про последовательность $a_1, a_2, a_3, \dots$ известно, что $|a_1| = 1$ и $|a_{k+1}| = |a_k| + 1$ при каждом $k = 1, 2, \dots$. Найдите наименьшее возможное значение суммы $|a_1 + a_2 + \dots + a_n|$, если:
a) $n = 1975$;
b) $n = 1976$.

В. П. Голубятников

Ф368. Ракета массы $m$ стартует под углом $\alpha$ к горизонту. Двигается ракеты работают $t$ секунд, создавая тягу $F$ и обеспечивая прямолинейное движение ракеты. Пренебрегая изменением массы ракеты и сопротивлением воздуха, определять высоту $h$, на которой прекращается работа двигателя.

В. А. Позожев

Ф369. Три одинаковых загруженных шарика скреплены непроводящими нитями, образующими прямоугольный треугольник $BAC$ (рис. 2). Угол $ABC$ равен $\alpha, BC = l$. С каким ускорением начнут движаться заряды, если перерезать нить $BC$? Заряд шариков равны $q$, массы—$m$.

Ф370. Трубка, диаметр которого много меньше ее длины, свернута в колб

Рис. 2.

по радиуса $R$. Кольцо поставлено вертикально и заполенено жидкостью, кроме небольшого участка около точки $A$ (рис. 3), в котором находится пузырек воздуха. Пузырек начинает всплывать. Найти его скорость в тот момент, когда он будет проходить точку $B$. Длина пузырька $l$. Треннем воды о стенки трубки пренебречь.

Ф371. Пушка массы $M=200\,\text{кг}$стреляет ядром массы $m=20\,\text{кг}$ под углом $\alpha=30^\circ$ к горизонту. Заряд пороха $r=5\,\text{кг}$, его теплота $q=1000\,\text{ккал}/\text{кг}$. В момент вылета ядра из пушки на него садится Барон Мюнхаузен. Его масса $\mu=70\,\text{кг}$. На сколько близке упадет ядро с Мюнхаузеном при том же заряде пороха? На сколько нужно увеличить заряд пороха для того, чтобы Мюнхаузен попал туда же, куда падали ядра до этого?

К. п. д. выстрела приять равным $\eta=10\%.$ Считать, что пушка находится на гладкой поверхности, по которой может скольнить без трення.

А. Л. Стасенко

Ф372. Две тонкие положительные линзы с фокусными расстояниями $F_1$ и $F_2$ расположены на одной оси. С помощью этой системы линз получено изображение предмета, причем оказалось, что размер изображения не зависит от расстояния от предмета до системы линз. Найти расстояние $l$ между линзами.

Е. П. Кузнецов