Модель Кэли—Клейна геометрии Лобачевского

Модель Кэли—Клейна геометрии Лобачевского

В этой статье рассматривается модель плоскости Лобачевского, отличная от модели Анри Пуанкаре, о которой рассказано в статье С. Гиндикина

«Волшебный мир Анри Пуанкаре»

.

Определение «плоскости»

В геометрии Евклида мы имеем дего с точками и прямыми обычной плоскости, и с помощью всем известных перемещений (параллельных переносов, осевых и центральных симметрий и поворотов) можем любую точку плоскости перевести в любую другую, любые две точки, лежащие на заданном расстоянии, перевести в другие две точки, лежащие на таком же расстоянии, и любые две прямые перевести в две прямые, образующие такой же угол. Сейчас же мы рассмотрим геометрию, точками которой будут внутренние точки некоторого круга (без точек ограничивающей его окружности), а прямыми — всевозможные хорды этого круга (без концов); опишем все перемещения такой «плоскости», и затем введём расстояние между «точками» и углы между «прямыми» так, чтобы они сохранялись при указанных перемещениях.

Можно проверить, что геометрия, которую мы построим, «ничем не хуже» евклидовой: в ней будут выполнены все аксиомы, кроме «аксиомы параллельных»: легко видеть, что теперь через «точку» вне «прямой» можно провести более одной, её «не пересекающей». На рисунке 1 через точку $A$, не лежащую на хорде $L$, проведены две хорды — $L_1$ и $L_2$, имеющие с $L$ по общему концу; эти хорды $L_1$ и $L_2$ называются параллельными $L$, поскольку мы рассматриваем как прямые хорды без концов, и с нашей новой точки зрения прямая $L$ не пересекается ни с $L_1$, ни с $L_2$. (Отметим также, что прямые, «не пересекающиеся» с $L$, расположены в области, ограниченной прямыми $L_1$ и $L_2$, закрашенной синим, а прямые, пересекающиеся с $L$ — в незакрашенной области.) Значит, «новая» геометрия будет ничем иным, как геометрией Лобачевского. Эта модель геометрии Лобачевского называется моделью Кэли—Клейна; о ней уже упоминалось в статьях С. Гиндикина «Волшебный мир Анри Пуанкаре» (см. с. 9) и «Феликс Клейн» (см. «Квант» №12 за 1975 год).

Рис. 1

Рис. 2

Определение перемещений

Нам понадобится результат задачи М305а), решение которой было опубликовано в «Кванте» №9 за 1975 год (с. 35).

Пусть хорды $AA'$ и $BB'$ нашего. круга пересекаются в точке $P$, не лежащей на окружности (рис. 2). Рассмотрим хорды $AB$ и $A'B'$ и проведём через точку $P$ прямую, пересекающую эти хорды в точках $C$ и $C'$ соответственно. Пусть, далее, $|AP|\cdot|A'P|=t$, $|AC|\cdot|CB|=s$, $|CP|=q$, $|C'P|=q'$. Тогда, как это следует из решения задачи М305а), $q'=\dfrac{qt}{s+q^2}$. Если теперь через точку $C$ провести произвольную хорду $A_1B_1$ и построить проходящие через точку $P$ хорды $A_1A_1'$, $B_1B_1'$, то хорда $A_1'B_1'$ пройдёт через точку $C'$, ибо величины $q$, $t$, $s$ не изменятся.

Итак, с любой точкой $P$, не лежащей на окружности, мы можем связать некоторое отображение $\phi_P$ нашего круга на себя: нужно через точку $C$ круга провести произвольную хорду $AB$, построить хорду $A'B'$, соответствующую хорде $AB$ относительно выбранной точки $P$, и образом точки $C$ считать точку $C'$ пересечения прямой $CP$ с хордой $A'B'$ (образом точки $C$ мы называем точку $C'$, в которую переходит точка $C$ при отображении $\phi_P$: $C'=\phi_P(C)$; отображение $\phi_P$, можно корректно доопределить для точек, лежащих на окружности; подумайте, как).

Из сказанного следует, что положение точки $C'$ не зависит от выбора хорды $AB$. Назовём отображение $\phi_P$ элементарным перемещением первого или второго рода, в зависимости от того, внутри или вне круга находится точка $P$.

Причислим к элементарным перемещениям второго рода также отображения, являющиеся осевыми симметриями относительно любого диаметра $d$ нашего круга; обозначим эти отображения через $\phi_d$.

Замечание. Элементарное перемещение $\phi_P$ первого рода оставляет неподвижной единственную точку $P$, а элементарное перемещение второго рода оставляет неподвижными все точки хорды, соединяющей точки касания двух касательных к окружности, проведенных из точки $P$.

Будем теперь считать перемещением любое отображение, получающееся в результате последовательного выполнения нескольких элементарных перемещений.

Элементарные перемещения, а значит, и перемещения, все точки какой-либо хорды переводят в точки некоторой хорды, и образ пересечения двух хорд при каком-либо перемещении совпадает с пересечением образов этих хорд.

Наши перемещения переводят прямые в прямые, причём любая точка первой прямой может быть переведена в любую точку второй (проверьте это).

Задача 1. В окружность вписана равнобочная трапеция, боковые стороны которой пересекаются в точке $P$, а диагонали — в точке $Q$; $d$ — диаметр, лежащий на прямой $PQ$. Докажите, что $\phi_d=\phi_P\phi_Q=\phi_Q\phi_P$ ($\phi_M\phi_N$ означает последовательное выполнение перемещений $\phi_M$ и $\phi_N$).

Теперь нужно определить «расстояния» между точками нашего круга и «углы» между прямыми так, чтобы они сохранялись при описанных перемещениях.

Расстояния и углы

Пусть $C$ и $D$ — две точки нашего круга. Проведём через них «прямую» — хорду $AB$, соединим точки $A$, $C$, $D$ и $B$ с некоторой точкой $P$, не лежащей на окружности, и обозначим углы, образовавшиеся при точке $P$, через $\alpha$, $\gamma$ и $\beta$ (см. рис. 2). Рассмотрим отношение $\dfrac{|AD|\cdot|BC|}{|AC|\cdot|BD|}$. Имеем:
$$\dfrac{|AD|\cdot|BC|}{|AC|\cdot|BD|}=\dfrac{S_{APD}\cdot S_{PBC}}{S_{PAC}\cdot S_{DPB}}= \dfrac{|AP\cdot|PD|\sin(\alpha+\gamma)\cdot|PC|\cdot|PB|\sin(\beta+\gamma)}{|AP|\cdot|PC|\sin\alpha\cdot|PD|\cdot|PB|\sin\beta}= \dfrac{\sin(\alpha+\gamma)\sin(\beta+\gamma)}{\sin\alpha\sin\beta}.\tag1$$
(Здесь $S_{XYZ}$ — обычная площадь треугольника $XYZ$.)

Понятно, что если $C'$ и $D'$ — образы точек $C$ и $D$ при элементарных перемещениях $\phi_P$ (или $\phi_d$), то $$\dfrac{|A'D'|\cdot|B'C'|}{|A'C'|\cdot|B'D'|}=\dfrac{|AD|\cdot|BC|}{|AC|\cdot|BD|}$$
(поскольку углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ не меняют своей величины), и, следовательно, элементарные перемещения, а значит, и перемещения вообще, сохраняют это отношение.

Определим «расстояние» между любыми двумя точками $C$ и $D$ так:
$$\rho(C,D)=\log_q\dfrac{|AD|\cdot|BC|}{|AC|\cdot|BD|},$$
где $q\gt1$ — некоторое фиксированное число.

Важное замечание. При определении расстояния существен порядок точек на прямой $AB$, именно: если мы ищем расстояние $\rho(C,D)$, то точка $A$ — соседняя с $C$ точка, а точка $B$ — соседняя с $D$ точка; если же мы ищем $\rho(D,C)$, то $A$ — соседняя с $D$ точка (соответственно $B$ — соседняя с $C$ точка).

Для обычного расстояния между точками $C$ и $D$ мы сохраним обозначение $|CD|$. Из формулы (1) следует, что $\rho(C,D)\ge0$, причём $\rho(C,D)=0$ лишь в том случае, когда точки $C$ и $D$ совпадают (т. е. $\gamma=0$). Кроме того, $\rho(C,D)=\rho(D,C)$. Если же есть три точки, $C$, $D$ и $E$, лежащие на одной прямой, причём точка $D$ находится между точками $C$ и $E$, то $$\rho(C,D)+\rho(D,E)=\rho(C,E)$$
(проверьте оба утверждения).

Задача 2. Докажите, что для произвольных трёх точек $A$, $B$ и $C$ выполняется «неравенство треугольника»:
$$\rho(A,C)+\rho(B,C)\ge\rho(A,B).$$

Таким образом, расстояние $\rho$ ведёт себя как и обычное.

Задача 3. Докажите, что для любой прямой $AB$, любой точки $C$ на ней и любого положительного числа $t$ можно указать ровно две такие различные точки $D$ и $D_1$ на прямой $AB$, что $\rho(C,D)=\rho(C,D_1)=t$. Другими словами, докажите, что от точки можно отложить отрезок любой длины.

Две фигуры (например, треугольники, отрезки, углы) мы будем называть конгруэнтными, если найдётся перемещение, переводящее одну из них в другую.

Из того, что при перемещениях сохраняется расстояние, следует, что конгруэнтные отрезки имеют равную длину.

Задача 4. Докажите существование и единственность середины отрезка.

Задача 5. Докажите, что отрезки, имеющие одинаковую длину, конгруэнтны.

Осталось ввести величину угла.

Пусть есть некоторый угол с вершиной в точке $C$, — угол $C$. Возьмём любое перемещение, переводящее точку $C$ в центр данного круга, и положим величину угла $C$ равной евклидовой величине угла (с вершиной в центре круга), в который угол $C$ переходит при этом перемещении. Из дальнейшего будет следовать, что эта величина не зависит от выбора перемещения. (Попытайтесь получить это самостоятельно, доказав, что повороты вокруг центра нашего круга являются перемещениями и в геометрии Лобачевского.)

Теорема косинусов

Введём такие обозначения: если $l$ — некоторый отрезок, то $|l|$ — его обычная (евклидова) длина, $\{l\}$ — его длина в новом смысле, а $[l]=\dfrac{q^{\{l\}}-1}{q^{\{l\}}+1}$ ($q\gt1$ — основание логарифма в определении расстояния $\rho$). Заметим, что величина $[l]$ всегда меньше единицы (но больше нуля).

Рис. 3

Рассмотрим треугольник $ABC$, у которого вершина $C$ совпадает с центром круга. Пусть $|BC|=a$, $|AC|=b$, $|AB|=c$, и $r$ — радиус круга. Продолжим сторону $AB$ до пересечения с окружностью в точках $M$ и $N$, соединим точки $M$ и $N$ с вершиной $C$ (рис. 3) и обозначим образовавшиеся углы через $\alpha$, $\gamma$ и $\beta$ ($\gamma$ — угол при вершине $C$ треугольника $ABC$). Тогда $\widehat{MNC}=\widehat{NMC}=\dfrac\pi2-\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}2$, и по обычной теореме синусов находим:
$$\begin{align*} \dfrac{|a|}r&=\dfrac{\cos\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}2}{\cos\dfrac{\alpha-\beta+\gamma}2},\tag2\\ \dfrac{|b|}r&=\dfrac{\cos\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}2}{\cos\dfrac{-\alpha+\beta+\gamma}2}.\tag3 \end{align*}$$
Далее:
$$\{a\}=\log_q\dfrac{r\cdot(r+|a|)}{r\cdot(r-|a|)}=\log_q\dfrac{r+|a|}{r-|a|},$$
и поэтому
$$[a]=\dfrac{|a|}r.\tag4$$
Аналогично,
$$[b]=\dfrac{|b|}r.\tag5$$

В силу формулы (1)
$$\{c\}=\log_q\dfrac{\sin(\alpha+\gamma)\sin(\beta+\gamma)}{\sin\alpha\sin\beta},$$
значит,
$$[c]=\dfrac{\sin(\alpha+\gamma)\sin(\beta+\gamma)-\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\gamma)\sin(\beta+\gamma)+\sin\alpha\sin\beta}.\tag6$$

Из соотношений (4)—(6), с учетом (2) и (3), несложными, но довольно громоздкими вычислениями получаем, что $$\dfrac{(1-[a]^2)(1-[b]^2)}{1-[c]^2}=(1-[a]\cdot[b]\cos\gamma)^2.\tag7$$
Соотношение (7) является аналогом теоремы косинусов обычной геометрии. Так как при перемещениях величины $[a]$, $[b]$ и $[c]$, а следовательно, и $\{a\}$, $\{b\}$, $\{c\}$, не меняются, то этим соотношением оправдывается определение величины угла, данное в предыдущем пункте.

Докажем теперь два замечательных утверждения геометрии Лобачевского.

Две теоремы

Теорема 1. Сумма углов любого треугольника меньше $\pi$.

Рис. 4

Доказательство. Рассмотрим вначале прямоугольный треугольник $ABC$, с прямым углом при вершине $C$: $\widehat{C}=\dfrac\pi2$ (рис. 4). Из теоремы косинусов следует, что $$(1-[a]^2)(1-[b]^2)=1-[c]^2,\tag8$$
или $$[c]^2=[a]^2+[b]^2-[a]^2\cdot[b]^2$$
Далее, из этой же теоремы (см. рис. 4)
$$\dfrac{(1-[a]^2)(1-[c]^2)}{1-[b]^2}=(1-[a]\cdot[c]\cos\beta)^2;$$
подставив сюда выражение (8) для $1-[c]^2$, получим
$$\dfrac{(1-[a]^2)^2(1-[b])^2}{1-[b]^2}=(1-[a]\cdot[c]\cos\beta)^2,$$
откуда
$$1-[a]^2=1-[a]\cdot[c]\cos\beta,$$
и $$\cos\beta=\dfrac{[a]}{[c]},$$
т. е. $\beta=\arccos\dfrac{[a]}{[c]}$. Аналогично, $\alpha=\arccos\dfrac{[b]}{[c]}$, и мы получаем, что $$\alpha+\beta=\arccos\dfrac{[a]}{[c]}+\arccos\dfrac{[b]}{[c]}=\arccos\dfrac{[a]\cdot[b]- \sqrt{([c]^2-[a]^2)([c]^2-[b]^2)}}{[c]^2}.$$
Поскольку $[c]^2=[a]^2+[b]^2-[a]^2\cdot[b]^2$, то выражение, стоящее под знаком последнего арккосинуса, можно преобразовать в такое:
$$\dfrac{[b]}{[c]}=\arccos\dfrac{[a]\cdot[b]-\sqrt{([c]^2-[a]^2)([c]^2-[b]^2)}}{[c]^2}= \dfrac{[a]\cdot[b]}{[c]^2}{\left(1-\sqrt{(1-[a]^2)(1-[b]^2)}\right)},$$
и так как $0\lt[a]\lt1$ и $0\lt[b]\lt1$ (см. ранее сделанное замечание), то последнее выражение положительно; значит арккосинус от него строго меньше $\dfrac\pi2$, и мы получаем, что $\alpha+\beta\lt\dfrac\pi2$, т. е.
$$\alpha+\beta+\widehat{C}\lt\dfrac\pi2+\dfrac\pi2=\pi.$$
Случай прямоугольного треугольника разобран.

Рис. 5

Рассмотрим теперь произвольный треугольник $ABC$ и предположим, что $\{c\}$ — самая длинная его сторона. Опустим из точки $C$ на сторону $AB$ перпендикуляр $CD$. Он разбивает наш треугольник $ABC$ на два прямоугольных: треугольник $ACD$ с «острыми» углами $\alpha$ и $\gamma$ и треугольник $BCD$ — с углами $\delta$ и $\beta$ (рис. 5). По доказанному, $\alpha+\gamma\lt\dfrac\pi2$ и $\beta+\delta\lt\dfrac\pi2$, откуда сумма углов треугольника $ABC$: $\alpha+\beta+\gamma+\delta$ — меньше $\pi$.

Пусть читателя не смущает выражение «опустим перпендикуляр». Легко проверить, что факты, использованные нами при доказательстве теоремы 1, не опираются на аксиому параллельности, и при желании их все можно доказать, как и в обычной геометрии.

Теорема 2. Четвёртый признак конгруэнтности треугольников. Если углы одного треугольника соответственно конгруэнтны углам другого треугольника, то эти треугольники конгруэнтны.

Доказательство. Обозначим величины $[a]$, $[b]$ и $[c]$ для треугольника $ABC$ через $x$, $y$ и $z$; косинусы углов, соответственно лежащих против сторон $a$, $b$ и $c$, — через $m$, $n$ и $p$. Получим, используя теорему косинусов (7), систему трёх уравнений с тремя неизвестными $x$, $y$ и $z$:
$$\def\|{\vphantom{y}} \left\{\begin{array}{l} \sqrt{\|1-x^2}\,(1-myz)=\sqrt{\|1-y^2}\,\sqrt{\|1-z^2};\\ \sqrt{\|1-y^2}\,(1-nxz)=\sqrt{\|1-x^2}\,\sqrt{\|1-z^2};\\ \sqrt{\|1-z^2}\,(1-pxy)=\sqrt{\|1-x^2}\,\sqrt{\|1-y^2} \end{array}\right.$$
(значения $m$, $n$ и $p$ нам заданы, так как величины углов известны).

Эта система имеет единственное положительное решение:
$$x=\dfrac D{np+m},\quad y=\dfrac D{mp+n},\quad z=\dfrac D{mn+p},$$
где $$D^2=m^2+n^2+p^2+2mnp-1$$
(проверьте!). Следовательно, задание углов однозначно определяет стороны треугольника, и теорема 2 доказана.

Площади. Приложения

Мы не имеем возможности подробно говорить о теории площадей в геометрии Лобачевского. Поэтому ограничимся лишь краткими замечаниями. Допустим, что каждому многоугольнику $T$, не обязательно выпуклому (но без самопересечения), поставлено в соответствие некоторое положительное число $S(T)$, причём:

1. если многоугольник $T$ разбит на некоторые многоугольники $T_1$, $T_2$, $\ldots$, $T_k$, то $$S(T)=S(T_1)+S(T_2)+\ldots+S(T_k);$$
2. если многоугольники $T_1$ и $T_2$ конгруэнтны, то $S(T_1)=S(T_2)$.

Тогда будем говорить, что $S(T)$ — площадь многоугольника $T$.

Предоставляем читателям доказать или убедиться на простых примерах, что в плоскости Лобачевского в качестве площади $n$-угольника $T$ может быть взята величина
$$S(T)=\lambda[(n-2)\pi-(\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_n)],$$
где $\lambda$ — произвольное фиксированное положительное число (коэффициент пропорциональности), $n$ — число сторон, а $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\ldots$, $\alpha_n$ — внутренние углы многоугольника.

Указание. Заметьте, что величина $(n-2)\pi$ — это сумма внутренних углов $n$-угольника $T$ в геометрии Евклида, т. е., что величина $S(T)$ пропорциональна отличию сумм углов многоугольника в евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского; попробуйте доказать сформулированное утверждение для треугольников. Вам поможет статья «Волшебный мир Анри Пуанкаре».

Площади криволинейных фигур (например, площадь круга) вычисляются, как и обычно, с помощью предельного перехода. Докажите, например, что площадь круга радиуса $R$ равна
$$\lambda\pi{\left(q^{\frac{\scriptstyle R}{\scriptstyle4}}-q^{-\frac{\scriptstyle R}{\scriptstyle4}}\right)}^2.$$

И в заключение отметим следующее обстоятельство. Все выше изложенные результаты могут служить источником многих задач обычной геометрии, а также использоваться при решении задач.

Рис. 6

Поясним это на примере.

Через точку $P$, лежащую на диаметре $AB$ (рис. 6), проведены хорды $MM'$ и $NN'$. Нужно доказать, что хорда $TT'$, перпендикулярная к диаметру и проходящая через точку $P$, пересекается хордами $MN$ и $M'N'$ в точках $S$ и $S'$, равноудалённых от точки $P$.

Решение. Перемещение $\phi_P$ переводит хорду $MN$ в хорду $M'N'$, а хорду $TT'$ переводит в себя. Поэтому точка $S$ переходит в точку $S'$ и $\rho(P,S)=\rho(P,S')$, т. е.
$$\dfrac{|TP|\cdot|TS'|}{|TS|\cdot|T'P|}=\dfrac{|T'P|\cdot|TS'|}{|TP|\cdot|T'S'|}{,} \quad\text{и}\quad|TP|=|T'P|;$$
из этого следует, что $|SP|=|S'P|$.

Задача 6. Докажите аналогичное утверждение для случая, когда точка $P$ лежит на продолжении диаметра $AB$.