Применение диаграмм тепловых процессов

Квант 1976, №3 с. 58-62 Тег 42ZC

Применение диаграмм телловых процессов

В главе «Термодинамика» школьного курса физики имеет много задач, в которых рассматривается поведение простейшей термодинамической системы — идеального газа. Объчно эту систему представляет как достаточно разреженный газ, заключенный в цилиндре под поршнем (рис. 1). При этом термодинамика не рассматривает движения системы как целого и не учитывает потенциальной энергии системы во внешних силовых полях.

Напомним, что состояние идеального газа характеризуется следующими параметрами: давлением $p$ , объемом $V$ , температурой $T$ , массой $m$ и молярной массой $\mu$ .

Говорят, что система находится в термодинамическом равновесии, если

Рис. 1. Простейшая термодинамическая система.

ли каждый параметр имеет одно и то же значение в любой точке объема системы. Например, газ, предоставленный самому себе, всегда распределяется равномерно по всему объему, так что давление всегда одно и то же. Такое состояние и соответствует равновесному. Если хотя бы один из параметров изменяется от точки к точке, то состояние системы неравновесное, в системе возможны различные процессы: диффузия, теплопередача и т.п. Равновесное состояние отличается от неравновесного тем, что в равновесном состоянии система может находиться сколь угодно долго, если, конечно, не меняются внешние условия.

Под влиянием внешних воздействий система переходит из одного состояния в другое. Изменение состояния системы называют процессом: процесс всегда связаан с нарушением равновесия. Термодинамика рассматривает такие процессы, в которых начальное и конечное состояние является равновесными. Но промежуточные состояния могут быть и неравновесными. Мы будем рассматривать наиболее простой случай, когда процесс происходит бесконечно медленно, так что состояние системы в любой момент можно считать равновесным. В таком случае говорят, что в системе процессит равновесный процесс, который представляет собой непрерывную последовательность равновесных состояний.

Понятие «равновесное состояние» и «равновесный процесс» является, конечно, идеализцией, но идеализцией очень удобной для количественного анализа поведения системы.

Изменение одного из параметров является механизмом между отдельными параметрами установливается экспериментально. Формулу, обобщающего результаты экспериментов, называют уравнением состояния системы. Для

Рис. 2. Точка 1 — начальное состояние газа; 1 — график изотермического процесса; II — график изобарического процесса; III — график изохорического процесса.

газов уравнение состояния (уравнение Клапейрона — Менделеева) имеет вид

$pV = \frac{m}{\mu}RT$

(R — универсальная газовая постоянная).

Равновесные состояния и равновесные процессы можно изобразить графическими. Для этого на двух взаимно перpendикулярных осях откладываются значения каких-либо двух параметров, например, давления p и объема V, объема V и температуры T. Таким образом получается так называемые диаграммы состояния системы. На любой из диаграмм (p, V), (V, T) или (p, T) каждый равновесное состояние обозначает точкой, а равновесный процесс — линейный.

В школьном курсе подробно рассматриваются три частных процесса:

изотермический (T = const), изобарический (p = const) и изохорический (V = const) процессы, происходит с газом неизменного химического состояния (μ = const) и постоянной массы (m = const). Соответствие графики показаны на рисунке 2.

Но нельзя забывать, что в общем случае могут изменяться все без исключения параметры, в том числе m и μ. Пусть, например, газ переходит из состояния 1 (с параметрами p₁, V₁, T₁, m₁, μ₁) в состояние 2 (с параметрами p₂, V₂, T₂, m₂, μ₂). Вообще говоря, этот переход может быть осуществлен бесконечным числом способов, в зависимости от того, как меняются отдельные параметры. Например, на рисунке 3 изображены графики одного и того же процесса 1→2 на различных диаграммах. Подумайте, как при этом изменяются масса и молярная масса газа.

Часто предметом беседы экзаменатора с абитриентом становятся круговые процессы, или циклы. Цикл— это такой процесс, для которого совпадают начальное и конечное состояние

няя. В качестве примера разберем такую задачу.

Задача 1. Как будем вылЯ-демь график крутового процесса $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$ (рис. 4) на диаграмме $(p, V)$ ? Масса газа и его химический состав остатся неизменными.

Прежде всего «расшифруем» график, приведенный на диаграмме $(p, T)$ , и выясним, какие процессы проводились над газом?

На участке $1 \rightarrow 2$ давление неизменно и имеет величины $p_1$ , а температура увеличивается от значения $T_1$ до значения $T_2$ . Изменяться может лишь один параметр — объем $V$ . Следовательно, на первом этапе объем изобарических увеличивается от $V_1$ до $V_2$ . На диаграмме $(p, V)$ этот процесс изобразится прямой $1 \rightarrow 2$ , параллельной оси $V$ (рис. 5).

На участке $2 \rightarrow 3$ давление изменяется прямо пропорционально температуре (примая $2 \rightarrow 3$ проходит через начало координат). Это указывает на то, что на этом участке объем газа не изменяется: $V_2 = V_3$ . На диаграмме $(p, V)$ процесс $2 \rightarrow 3$ изобразится вертикальным отрезком, и душим вниз, так как давление уменьшается.

Процесс $3 \rightarrow 4$ изобарический ( $p = p_3$ ). Температура, а следовательно, и объем убывают. Процесс $3 \rightarrow 4$ на диаграмме $(p, V)$ будет изобаряться отрезком, параллельным оси $V$ . Но пока остается неизвестным, где заканчивается процесс $3 \rightarrow 4$ , так как неизвестен объем $V_4$ . Поэтому предварительно исследуем процесс $4 \rightarrow 1$ . Из рисунка 4 видно, что в процессе $4 \rightarrow 1$ давление растет прямо пропорционально абсолотной температуре. А это означает, что процесс происходит при $V = const$ , и $V_4 = V_1$ . Окончательное график цикла $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$ на диаграмме $(p, V)$ имеет вид, показанный на рисунке 5.

Уменение строить графики крутовых процессов иногда существенно obлегчает количество оценки некоторых характеристик этих процессов. Поясним это на двух конкретичных задачах.

Рис. 4.

Задача 2. Над газом проводят два крутовых процесса: процесс $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$ и процесс $3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 3$ . Графики этих процессов, представленные в координатах $(V, T)$ , изображены на рисунке 6. В каком случае газ совершит большую работу?

Рис. 5.

Решение этой задачи может быть сравнительно простым, если воспользоваться известным свойством диаграммы $(p, V)$ : работа, совершенная газом за цикл, пропорциональна площади фигуры, ограниченной графиком этого процесса. Значит, нам не

Рис. 7.

обходимо построить графики заданных круговых процессов на диаграмме $(p, V)$ .

Нетрудно видеть, что цикл $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$ состоит из процесса изохорического нагревания $1 \rightarrow 2$ , изотермического распределения $2 \rightarrow 3$ и изобарнистого охлаждения $3 \rightarrow 1$ . В координатах $(p, V)$ он принята вид, показанный на рисунке 7.

Цикл $3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 3$ состоит из процессов изохорического нагревания $3 \rightarrow 4$ , изобарнистого охлаждения $4 \rightarrow 2$ и изотермического распределения $2 \rightarrow 3$ . Так как процессы $2 \rightarrow 3$ для обихок циклов совпадают, то разумно графики зависимости $p(V)$ для них изобразить на одних осях координат (рис. 7).

Совершенно очевидно, что площадь фигуры $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$ меньше площади фигуры $3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 3$ . Отсюда неисредственно следует, что по модели работы газа $A$ в первом процессе меньше, чем во втором, т. е. $|A_{1 \rightarrow 2 \rightarrow 3}| < |A_{3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 3}|$ . Но нельзя забывать, что работа, совершенная газом, является алгебраической величины: если процесс происходит с увеличением объема, то $A > 0$ , а если объем системы уменьшается, то $A < 0$ . Для круговых процессов можно сформировать такое правило определения знака работы, совершенной газом: если обход контура кругового процесса совершается по часовой стрелке, то $A > 0$ ; если обход контура процессходит против часовой стрелки, то $A < 0$ . Применив это правило к данной задаче, получаем

$A_{1 \rightarrow 2 \rightarrow 3} > 0 \text{ и } A_{3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 3} < 0.$

Окончательно ответ задачи можно дать такой:

$A_{1 \rightarrow 2 \rightarrow 3} > A_{3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 3},$

но при этом

$|A_{1 \rightarrow 2 \rightarrow 3}| < |A_{3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 3}|.$

Задание 3. Газ совершаем цикл $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$ (рис. 8), состоящий из двух изотерм ( $1 \rightarrow 2$ и $3 \rightarrow 4$ ) и двух адιαбам ( $2 \rightarrow 3$ и $4 \rightarrow 1$ ). Какие из этих процессов происходит при подведении меллоты к системе, а какие требуют отвода меллоты?

Учащиеся редко дают правильный ответ на этот вопрос. Наболее распространенная ошибка заключается в том, что отождествляются два различных понятия: температура и количество теплоты. При этом утверждается, что если температура неизменна (процессы $1 \rightarrow 2$ и $3 \rightarrow 4$ ), то теплу не нужно ни подводить, ни отводить. Это, конечно, неверно.

Для решения задачи воспользуемся термодинамики:

$Q = \Delta U + A.$

Здеся $Q$ — количество теплоты, перееданное системе, $\Delta U$ — изменение внутренней энергии системы и $A$ — работа, совершенная системе.

Внутренняя энергия идеального газа зависит лишь от температуры (конечно, при условии, что $m = const$ и $\mu = const$ ). Поэтому для изотермического процесса $1 \rightarrow 2$ изменение внутренней энергии $\Delta U = 0$ , и равенство (2) принимает вид

$Q = A.$

Так как объем системы увеличивается

За счет подведенной теплоты система и совершает работу в процессе изстермического расширения. Аналогичные расчёжения можно проводить для процесса изотермического скатия 3→4. Но в этом случае объем системы уменышается, поэтому $A < 0$ , и $Q < 0$ : теплоту нужно от системы obtодить.

Процессы 2→3 и 4→1 аднабатные. По определению аднабатный процесс— это процесс без тепловыздана с окружаюшей средой, то есть $Q = 0$ . Следовательно, на участках 2→3 и 4→1 теплота ни подводится к системе, ни obtодится от нее.

Заметим, что аднабаты на диаграмме $(p, V)$ идут круче, чем изотермы. Это легко понять, если снова воспользоваться первым законом термодинамики, записанным для аднабатных процессов:

$\Delta U + A = 0.$

При аднабатном расширении (процесс 2→3) система совершает работу за счет внутренней энергии:

$A > 0, \quad \Delta U < 0.$

Внутренняя энергия газа уменышается и температура системы понжается (система переходит с изотермы 1→2 на изотерму 4→3, соответствующее более низкой температуре). При аднабатном скатии (процесс 4→1)

$A < 0, \quad \Delta U > 0.$

Внутренняя энергия увеличивается, температура газа повышается.

Упражнения

На диаграмме (рис. 9) изображены изотермы для двух разничных систем идеального газа. Чем различются параметры этих систем?
На рисунке 10 дан график изменения состояния идеального газа в координатах $(p, V)$ . Представить этот круговой процесс на диаграмме $(V, T)$ .
Над газом, масса которого $m$ , а молярная масса $\mu$ , производит круговой процесс 1→2→3→4→1, изображенный на рисунке 11. Температуры газа в состоянии 1, 2, 3 и 4 равны соответствующим $T_1, T_2, T_3$ и $T_4$ . Определить работу, совершенную газом за цикл.
Изменение состояния газа при круговом процессе показано на диаграмме $(V, T)$ (рис. 12). В каких процесах газ получает теплоту, а в каких отдает ее? Изображите процесс на диаграмме $(p, T)$ .