Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

63

Московский государственный университет
им М. В. Ломоносова

В этом номере мы приводим образцы вариантов письменного экзамена по математике и примеры задач устного экзамена по физике, предлагавшихся построимым в МГУ в 1975 году. Экзамены на всех естественных факультетах проводятся в июле.

Matematika

Механико-математический факультет

1. Решить неравенство
   $$\log_3 \frac{1}{3} (x^2 + 4x + 6) + 6 \sqrt{\log_3 (x^2 + 4x + 6)} \geq 8.$$
2. Найти все пары чисел $(x, y)$, удовлетворяющие условию $y \geq 0$ и системе уравнений
   $$\begin{cases} 4x^2 + (y + 1)^2 - 32 = 31 \cdot 2x^2 + (y + 1)^2, \\ \cos [\pi \cdot (x^2 + y^2)] = 1. \end{cases}$$
3. Два равных ромба $ABCD$ ($AB \parallel CD$, $AD \parallel BC$) и $APQR$ ($AP \parallel QR$, $AR \parallel PQ$) имеют общую вершину $A$ и лежат в одной плоскости. Известно, что $\Rightarrow BAD = \Rightarrow PAR = \alpha < \frac{\pi}{2}$, точка $R$ лежит внутри ромба $ABCD$ и угол $RAD$ равен $\beta$. Стороны $BC$ и $QR$ пересекаются в точке $K$. Найти величины угла $BAK$.
4. В правильную треугольную примеру $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$ вписан шар единчного радиуса; двугранный угл между основанием примеры и боковой граны равен $60^\circ$. Доказать, что существует единственная плоскость, пересекающая ребра основания $AB$ и $BC$ в некоторых точках $M$ и $N$ таких, что $MN = 5$, касающаяся шара в точке, удаленной на равные расстояния от точек $M$ и $N$, пересекающая продолжение высоты примеры $SK$ за точку $K$ в некоторой точке $D$. Найти длину отрезка $SD$.
5. Без помощью таблицы найти все значения $x$ в промежутке $-4 < x < -2,5$, удовлетворяющие условию
   $$\log \frac{1}{5} (\sin x - \cos 6x + \frac{2}{3}) = \log \frac{1}{5} (\sin 3x - \cos 8x + \frac{2}{3}).$$

Факультет вычислительной математики и кибернетики

1. Решить неравенство
   $$\sqrt{x^2 + 4x - 5} - 2x + 3 > 0.$$
2. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} \sin (2x + \sin^2 y) = 0, \\ x - 3\sin^2 y = -2. \end{cases}$$
3. Дана прямогольная граница. Известно, что неокторая прямая, параллельная основаниям, рассекает ее на две трапеции, в каждой из которых можно вписать окружность. Определить основания исходной трапеции, если ее боковые стороны равны $c$ и $d$, причем $c < d$.
4. Два грузовика достаточно со склада на стройку одно и то же количество крипча и одно и то же количество цемента, причем каждый из них сначала достигаел крипчи, а затем цемент, перевозняза за каждую поездку груз odного и того же веса. Первый грузовик начал работ на 40 минут раныше, а закончик на 40 минут позже второго. При этом интервал времени между окончаниями достики крипча грузовиками был не более 20 минут.
   Если бы первый грузовик начал работ на 1 час 5 минут раныше второго грузовика не изменилась, то второй грузовик закончик был работ на 55 минут раныше первого, а интервал времени между окончаниями достики крипча грузовиками был не менее 25 минут.
   Если бы произвольность первого грузовика уменьшилась на 2 тонны в час, а произвольность второго грузовика не изменилась, то первый грузовик затратил бы на выполнение всей работы в два раза больше времени, чем второй грузовик на достику крипча.
   Сколько всего цемента было достилено на стройку?
5. Дана треугольная примера $ABCD$. Скрещивающиеся ребра $AC$ и $BD$ и $AD$ и $BC$ этой примеры перепendlukлярны, ребра $AB$ и $CD$ равны, все ребра примеры касаются шара радиуса $r$. Найти площадь грани $ABC$.

64

Физический факультет

1. Решить уравнение
   $$2\sin(x + 3) \cos(4x - 1) + \sin(3x - 4) = 0.$$
2. Решить уравнение
   $$\log \frac{1}{6}(x + 3) = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_4(x^2 + 5x + 12)}$$
3. Решить неравенство
   $$(2 - 5^x)(7x^2 - 10x + 3) < 0.$$
4. В прямогольном треугольнике $ABC$ угол $ACB$ — прямой. Пусть $E$ — точка пересечения биссетрицы угла $ABC$ со сторонам $AC$; точка $D$ — середина стороны $AB$, $O$ — точка пересечения отрезков $BE$ и $CD$. Через точку $O$ проведен перпендикуляр к прямой $BO$ до пересечения со сторонам $BC$ в точке $F$. Известно, что $FC = b$, $OC = \frac{3b}{2}$. Найти площадь треугольника $ABC$.
5. Два равных треугольника $KLM$ и $KLN$ имеют общую сторону $KL$, $\Rightarrow KLM = \Rightarrow LKN = \pi/3$, $KL = a$, $LM = KN = 6a$. Плоскости $KLM$ и $KLN$ взаимно перпендикулярны. Шар касается отрезков $LM$ и $KN$ в их серединах. Найти его радиус.

Биологический факультет

1. Двое рабочих в первый день работали одно и то же время, образавшая одинаковые детали. При этом рабочий образотал на 30 деталей больше, чем второй. На следующий день рабочий увеличил производительность труда в 1,2 раза и закончил работу на 1 час раныше, чем в первый день. Второй рабочий во второй день образавал на 5 деталей в час меньше, чем в первый день, и порработал в 7/6 раза больше, чем в первый день. Известно, что во второй день каждый из рабочих образотал по 420 деталей. Сколько деталей в час образавал второй рабочий в первый день?
2. Найти все значения параметра $p$, при которых квадратное уравнение
   $$(4x)^2 + \left(2\frac{1}{p} + 4 - 24\right)x + 1 = 0$$
   имеетровно одно решение.
3. В окружность вписан выпуклый четырехугольник $ABCD$, причем его сторона $AB$ является диаметром окружности. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Известно, что $BC = 3$, $CM = \frac{3}{4}$, а площадь треугольника $ABC$ второе больше площади треугольника $ACD$. Найти длину отрезка $AM$.
4. Решить уравнение
   $$|\sin x + 2\sin 2x + \sin 3x| = 1 + 2\cos x + \cos 2x$$
5. Найти все целые числа $n$, удовлетворяющие неравенству
   $$\log \left(2\log \frac{\pi}{5} - n + 13\right) \leq 0.$$

Химический факультет

1. Решить неравенство
   $$\frac{3}{2}x + \sqrt{x} < 8.3^{2x + 3}\sqrt{x} + 3^{x + 4}\sqrt{x} + 2.$$
2. Две шахты совершенствовались в течение первого квадратта. Мартовская добчача второй шахты была на 400 $m$ меньше февральской добчичи первого шахты. Январская добчача первого шахты равнялась ее же мартовской добчице и равнялась февральской добчице второй шахты. По итогам первых двух месяцев добчача первого шахты оказалась меньше второй шахты на 1000 $m$. Что больше и на сколько: январская добчача первого шахты или январская добчача второй шахты? Известно, что если январская добчача второй шахты равнялась ее же мартовской добчице, то добчача второй шахты за январь, февраль и марте месяцы оказалась бы больше добчичи первого шахты за эти же месяцы на 1300 $m$.
3. В треугольнике $ABC$ косинус угла $ACB$ равен $\frac{2}{3}$, $AC = 3$, $BC = 9$. Точка $D$ лежит на стороне $BC$ так, что $CD = 3$. Найти отношение площади круга, описанного около треугольника $ACD$, к площади круга, описанного в треугольнике $ABD$.
4. Шар радиуса $R$ касается всех боковых граней треугольной прямиды в середина сторона ее основания. Отрезок, соединяющий вершину прямиды с центром шара, делится пополам точкой пересечения с основанием прямиды. Найти объем прямиды.
5. Найти все значения параметра $a$, при которых система
   $$\begin{cases} \sin(3a - 3y) + 3\sin x = 0, \\ 2\log_4(a - y) + 2\log_4(2\sqrt{y}) = \log_2\sqrt{y} + 3\log_8(2x) \end{cases}$$
   имеет чethe число решений.

Факультет почтоведения

1. Два скважатора должны вырить три одинаковых котлована. Если они будут работать вместе, то вырют их за два дня. Первая скважатор может вырить один котлован на день быстрее, чем второй скважатор. В один из дней первая скважатор работает полдня, а второй скважатор весь день. Какая часть всего работы была выполнена за этот день?
2. Найти все значения переменной $x$, при которых выржение $3 + \sin^2 2x - 2\sin^2 x$ достигает своего максимального значения.
3. Решить уравнение
   $$x + 27 \frac{5}{2} \log_9 \sqrt{3} \sqrt{x} = \frac{110}{3}.$$
4. В параллелограмме лежат две окружности, касающиеся друг друга

65

сторон параллелограмма каждой. Радиус одной окружности равен 1. Известно также, что один из отрезков стороны параллелограмма от вершины до точки касания равен $\sqrt{3}$. Найти площадь параллелограмма.

5. Доказать без помощью таблиц, что

$$\log_2 7 + \left(3 + \cos \frac{15}{7}\right) \log_7 2 < 4.$$

Геологический факультет

1. Решить уравнение $\cos 4x + 6 = 7 \cos 2x$.

2. Экскаватор роет котлован. После того как было вынуто 20 $m^3$ грунта, произвольность экскаватора сизилась на 5 $m^3/u$. Найти первоначальную произвольность экскаватора, если через 8 часов после начала работы было вынуто 50 $m^3$ грунта.

3. Решить неравенство

$$2 \log_{(2x-1)} 10 + \log_{10} |2x-1|^3 < \log_2 8.$$

4. В равноведнем треугольнике $ABC$ известны стороны: $AC = 4 cm$, $AB = BC = 6 cm$. Биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AB$ в точке $D$. Через точку $D$ проведена окружность, касающаяся стороны $AC$ в ее середине и пересекающая отрезок $AD$ в точке $E$. Найти площадь треугольника $DEC$.

5. Решить неравенство

$$\sqrt{(x-5)(-x+7)} + 1 > -\sqrt{x-5} + \sqrt{-x+7}.$$

Географический факультет

1. Человек в лодке начал грести против течение быстрый реки. Однако через 4 минуты лодка оказалась на 80 $m$ ниже точечию. Развернуть ее, он перестал грести, и, пока он отдыжал, лодку снесло на 40 $m$. Затем он принялся грести по течению, причем лодка двигалась относительно воды с той же скоростью, как и в первые 4 минуты, и прошла относительно берега еще 40 $m$. В целом после разворота лодки прошло 100 секунд. Какова скорость течения?

2. Решить уравнение

$$\sin \frac{x}{2} \sin \frac{3x}{2} = \frac{1}{4} - \cos^2 \frac{x}{2}.$$

3. Решить уравнение

$$5 \log \sqrt{3} (x-1) = 25 \log_3 \sqrt{x^2-1} \cdot 25 \log_3 \frac{x^2-1}{4x^2-7}.$$

4. В треугольнике $ABC$ биссектриса $AH$ пересекает высоты $BP$ и $CT$ в точках $K$ и $M$ соответственно, причем эти точки лежат внутри треугольника. Известно, что $BK$ : $KP = 2$ и $MT : KP = \frac{3}{2}$. Найти отношение площади треугольника $PBC$ к площади описанного около этого треугольника $kruga$.

5. Решить систему уравнений

$$\begin{cases} \text{ctg } 4x = \text{ctg } \frac{7-y}{3}, \\ 3x + 4 \log \frac{3x}{\pi} \sqrt{\frac{\pi^3 x}{27}} = \\ = 2 \log \sqrt{\frac{3x}{\pi}} \left( \frac{3x^2}{\pi} \right) - 36 \end{cases} - \frac{1}{3} \log \frac{1}{6} \sqrt{y^3}$$

Физика

Механико-mатематический факультет и факультет вычислительной математики и кибернетики

1. На подвижный вал радиуса $R = 10$ $cm$ намотана вервка, к концу которого прирязан грез. Под действием тяжестни груза вервка разматывается, и груз, двигаясь равноускоренно без начальной скорости, опускается на $h = 1$ $m$ за время $t = 5$ сек. Найти центростремительное ускорение точки обода в том момент времени, когда груз находится в середине пути. вервка не скользит по валу.

2. Тело брошено под углом $\alpha$ к горизонту. При каком минимальном угле $\alpha_{\min}$ к нитеческая энергия тела может сравняться с его потенциальной энергейой (отсутствием от течки бросания)?

3. Дистиллятор имеет две нагревающие спирали. Однако из них обеспечивает произвольность $q_1 = 0,2$ $k\epsilon/\mu\nu$ дистиллярованной воды, другая $q_2 = 0,4$ $k\epsilon/\mu\nu$. Во сколько раз отличия произвольности дистиллятора при параллельном и последовательном соединении этих спиралей? Напряжение сети постоянно, тепловых потерь не учитываются.

4. Катушка диаметром $d = 10$ $cm$ помещена в магнитное поле с индукцией $B = 1,256 \cdot 10^{-2}$ $m^2$ так, что ее ось совпадает с направлением линей магнитной индукции. Катушка содержит $N = 500$ витков и имеет сопротивление $R = 10$ $om$. Найти загадок проектирования объекта катушки, если магнитное поле равномерное убывает до нуля.

5. В зрительном зал кинотеатра изображеие кадара размером $18 \times 24$ $mm$ должна быть точно уложено на экран размером $3 \times 4$ $m$. Каково должно быть фокусное расстояние объекта, если расстояние от кадара до экрана $L = 16$ $m$?

66

6. Леве собирать линзы с фокусными расстояниями $F_1 = 12$ см и $F_2 = 7$ см имеют общую оптическую ось и нахождение на расстоянии $l$ друг от друга. Предмет длины $a = 2$ см находится в фокальной плоскости первой линзы на расстоянии $F_1 + l$ от второй. Найти размер изображения.

Физический факультет

1. Невесомый стержень может врашаться без трения вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку $O$ и перpendикулярной к стержню (рис. 1). На стержне с одной стороны от оси укреплены равные грузы с массой $m$ каждый на расстояниях $l$ и $l/2$ от точки $O$. С другой стороны на стержне укреплен груз с массой $2m$ на расстоянии $l/2$ от оси. В начальной момент стержень расположен горизонтально и отпущен. Определить линейную скорость среднего груза в момент прохождения стержнем положения равновесия.

2. В объеме $V$ содержится влажный воздух при относительной влажности $\varepsilon\%$, температуре $T_0$ и давления $p_0$. Масса влажного воздуха $M$. Определить давление на сыщающего водяного пара при этой температуре.

3. Найти емкость последовательного соединения двух конденсаторов, изображенных на рисунке 2, если известны: $S$ — площадь каждой обкладки конденсатора, $d$ — расстояние между обкладками каждой из конденсаторов, $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость изолятора, заполняющего поливну конденсатора (краевые эффициенты во внимание не принимаются).

4. Равнобедренная стеклянная призма с малыми преломляющими углами $\alpha$ помещена в параллельный пучок лучей, падающих нормально на ее основание (рис. 3). Показатель преломления стекла $n = 1,57$; размер основания $2d = 5$ см. Найти величины преломляющего угла $\alpha$, если в середине экрана, расположенного на расстоянии $L = 100$ см от признамы, наблюдается неосвесенный участок экрана шириной $2a = 1$ см.

5. Параллельный пучок света направляется coinciona линейной на катод фотослента. Фокусное расстояние линзы $F$ значительное больше ее диаметра $D$. Взанhmое расположение линзы и фотослента таково, что круглый фотокатод, диаметр которого $d$, в точности перекрывает световой поток. При этом галванометр в цепи фотослента показывает ток $I$. Какой ток показет галванометр, если между линейной и фотослентом, не меняя их положения, поставить плоскопараллельную пластинку толщиной $H$ с показателем преломления $n$? (Потери света при отражении и поглощении не учитываются.)

Химический факультет

1. Шарик подброшен вертикально вверх с начальной скоростью $v = 4$ м/сек. В тот момент, когда он достигет верхней точки, сни-