Ошибки Стёпы Мошкина

Квант 1976, №3 с. 69-73 Тег 02ZV

E. Семенов

Ошибки
Стены Мошкина

Потеряно свойство. К чему это может привести?

Этот Петр Иванович вечно придирается! — оправдывался семиклассик Стела Мошкин перед отцом, изучавшим сочную двойку в дневнике сына. — Отвечаю ему, что трапеция — это чемырехудольник, две стороны комороо паралельны друг друга другу. Так нет, ему это почему-то не понравилось! Говорит, подумай еще, изобрази трапецию и снова ответы на тот же вопрос. Я сделал рисунок и повторил тот же ответ. А он мне — двойку! За что? Это же неправедливо!…

Что же определял Стела?

Чтобы выяснить, кто прав, открыем Степин учебник геометрии. Traпеция в этом учебнике определяется как чемырехудольник, обладающий двумя свойствами:

(1) имеется пара паралельных сторон;
(2) имеется пара непроположных сторон.

При таком определении лишь множество $T$ на рисунке 1 состоит из трапеций. Все паралелограммы (множество $P$ на рисунке 1) — не трапеции. Но второе свойство, входящое в определение трапеции, Стела «потерял». А поскольку всякий паралелограмм имеет пару паралельных сторон, то и все паралелограммы нужно отнести к множеству $C$ «Степиных трапеций».

Таким образом, Стела вместе множества $T$ получил множество $C = T \cup \Pi$ . Исключение какого-либо свойства из определения понятия может привести к новому понятию!

В данном случае получено понятие чемырехудольника, имеющего пару паралельных сторон. То, что такие чемырехудольники не имеют специального назначения, роли не играет.

Как вы уже успели, вероятно, заметить, между множеством $T$ трапеций и множеством $C$ чемырехудольников, обладающих свойством (1), существует интересное соотношение: $T \subset C$ . Вместо такой записи *) можно сказать: множество чемырехудольников, обладающих свойством (1), шире,

Рис. 1.

чем множество трапеций. То же самое можно выразить и другими словами: понятие чемырехудольника, имеющего пару паралельных сторон, — обобщение понятия трапеции, или: трапеция — частный случай чемырехудольника, имеющего пару паралельных сторон.

Итак, Степина ошибка при определении трапеции теперь всем ясно. Но, пожалуй, не стоит трапить столько времени на ее выяснение, если бы при этом не возникла мысль: а нельзя ли воспользоваться этой ошибкой для чего-либо полезного?

Введение нового понятия исключением части свойств имеющегося

Стела пропустил второе свойство в определении трапеции и получил но…

Здесь и далее знак «C» означает не только «включается», но и «не совпадает».

вое понятие. Опустим, теперь уже не по рассеянности и неаккуратности, а преднамеренно, в определенные трапеции свойство (1). Тогда получим понятие четырехугольника, имеющего пару неправильных противоположных сторон. Если $H$ — множество таких четырехугольников, то $T \subset H$ .
Здесь трапеция — частный случай четырехугольника, имеющего пару неправильных противоположных сторон.
Задача 1. Верны ли утверждения:
a) четырехугольник — обобщение поняттятрапеции;
b) трапеция — частный случай четырехугольника?
Ни одно из двух понятий: четырехугольник, имеющий пару паралелограмм;
Ни одно из двух понятий: четырехугольник, имеющий пару паралелограмм;

Вторая история со Степой Мошкиным

На следующем уроке Степа был осторожнее. — Свойства терять нельзя!
— твердил Степа про себя. — Лучше «переборшить», чем «недоборшить».
И когда Петр Иванович обратился к нему с вопросом, что такое паралелограмм, Степа выпалил: «паралелограмм — это четырехугольник, обладающий следующим свойствам:

Рис. 2.

лельных сторон, и четырехугольник, имеющий пару неправильных противоположных сторон, — не является обобщением другого, так как $C \neq H$ , $H \neq C$ . Пересечение множества $C$ и $H$ не пусто, оно состоит из трапеций. Множества $T$ , $C$ и $H$ изображены так называемыми «кругами Эйлера» на рисунке 2, для наглядности на рисунке приведены изображения четырехугольников, принадлежих этим множествам.

Задача 2. Расмотрите следующие пары поняттий и в каждом случае указывае, какое из двух поняттий — обобщение другого:
a) паралелограмм и ромб;
b) паралелограмм и прямогольник;
b) паралелограмм и квадрат;
г) ромб и квадрат;
d) прямогольник и квадрат;
e) ромб и прямогольник;

(1) противоположные стороны паралелы;
(2) имеются конгрузные стороны;
(3) диагонали мощой пересечения делятся пополам;
(4) имеется цепр симметри;;
(5) имеются конгрузные улыbs.

По мере того как Степа перечислил свойства, в классеросло окивление. Ученики с любопытством смотрели то на Степу, то на Петра Ивановича. Переведя двух, Степа не столбу уверенно произнес: «Еще, помнить, площадь паралелограмма равна произведению длины основания на длину высоты…» Все заместись. Только Петр Иванович был подчеркуто винимателен и серьезен. — Скажи, Степа, получится ли новое понятие, если

из твоого определения опустить последнее свойство параллелограмма, связанное с его площадью? — спросил он.

После обсуждения пришли к выводу, что, пользовясь свойством (1), последнее свойство можно вывести. Следовательно, его исключение из определения к новому понятию не приведет.

Итак, если какое-либо свойство понятия является следствием других свойств, то исключение этого свойства из определения к новому понятию не приводит. Другими словами, исключение неокоторого свойства из определения понятия не всегда приводит к обобщению этого понятия.

Поэтому обычно в определение

Рис. 3.

понятия включаются только не зависящие свойства, т. е. свойства, не являющиеся следствиями других свойств.

А в некоторых случаях было удобно от «minimalности» числа свойств, содержащихся в определении, отсутствить. Например, в учебнике геометрии прямогольник определяен как параллелограмм, у которого все улы примыв. Это короткое определение можно формularовать иначе: параллелограмм ABCD — прямоеугольник, если он обладает следующим свойством:

(1) $\hat{A} = 90^\circ$ ;
(2) $\hat{B} = 90^\circ$ ;
(3) $\hat{C} = 90^\circ$ ;
(4) $\hat{D} = 90^\circ$ .

рехуедельник, обладающий степным свойством (2) (имеются конгруэнтные стороны). Посмотрим, что из этого получится.

Обозначим через $\Pi$ множество параллелограммов (по определению учебника), через $K$ множество четырехугольников, имеющих конгруэнтные стороны. В множество $K$ входят и не параллелограммы (например, равноведренные трапеции). Поэтому $\Pi \subset K$ (эти множества показаны на рисунке 3).

Мы нашли еще один способ получения нового понятия: если свойства, входящие в определение понятия, заменить каким-либо их следствием, то может получиться новое понятие, — обобщение прежнего.

Задачка 6. Пусть $\Pi$ — множество параллелограммов, $Y$ — множество четырехугольников, имеющих конгруэнтные стороны. Посмотрим, что из этого получится.

угольников, имеющих пару конгрузных углов. Какое высказывание верно:

a) $\Pi = Y$ ;
b) $\Pi \subset Y$ ?

Задача 7. Даны два понятия: паралеграмм и четырехугольник, имеющий центр симметриц. Является ли одно из них обобщением другого?

Задача 8. Осевая симметрия — это перемещение, обладающее, в частности, следующим свойством:

(1) существует прямая, отображающаяся на себя;
(2) существует неподвижная (отображающая на себя) точка;
(3) существует отображающаяся на себя округность;
(4) существует отображающаяся на себя треугольник.

a) Заполните таблицу на стр. 73 (в двух строках показано, как это делать).

Рис. 4.

Докажите, что понятие перемещения, обладающего свойством (1), является обобщением понятия перемещения, обладающего свойством (1) и (2).

в) Докажите, что ни одно из двух понятий: перемещение, обладающего свойством (3), и перемещение, обладающего свойством (4), не является обобщением другого.

г) Докажите, что осевая симметрия входит в множество перемещений, обладающих свойством (1) и (2).

Новая ошибка Степы Мошкина

Предусмотренный Петр Иванович включил в письменную работу Степы задание дать определение трапеции. Степа точно помил, что в определение трапеции входят два свойства. Он помил также, что «лишние» свойства указывать в определении не надо. Учитывая все это, он быстро娶венно написал: правеця — это многоугодельник, обладающий двумя свойствами:

(1) имеется пара паралельных сторон;
(2) имеется пара непаралельных сторон.

Задача 9. Укажите на рисунке 4 множество новых «Степных трапеций». Укажите подмножество этого множества, не содержащие трапеций.

Центральную симметрию с центром $O$ можно определить как перемещение, при котором точка $O$ неодв잡ена ( $O \rightarrow O$ ), а всякая другая точка $A$ отображается на макую отличную от $A$ точку $A_1$ , что $O \in [AA_1]$ .

Заменим множество перемещений в этом определении более широким мно-

жестом отображенной плоскости на себя. Получим новое понятие: отображение плоскости на себя, при котором некомоторая точка $O$ неодв잡ена, а всякая другая точка $A$ отображается на макую отличную от $A$ точку $A_1$ , что $O \in [AA_1]$ .

В это понятие входит не одна центральная симметрия с центром $O$ , а целое множество отображений, например, любая готовоття с центром $O$ .

Таким образом, замена множества, в котором задается понятие, более широким может привести к новому понятию. А может и не привести: если в определении прямогольника как параллеграмма, все улы коморого прямые, термин «параллеграмм» заменить термином «четыреугольник», то нового понятия не получится (это

Объясняется тем, что в определении прямогольника в учебнике содержится свойство, являющийся следствием других входящих в определение свойств).

Задание 10. Получится ли новое понятие, если:
a) в определении ромба как параллелограмма, все стороны коморого конгрузимны, термин «параллелограмм» заменить термин «четырехугольник»;
b) в определении параллелограмма термин «четырехугольник» заменить термин «многоугольник»?

Итак, вы познакомились с темя способами введения новых математics.