25
Лемниската Бернулли
На первой и четвертой страницах обложки изображены положение кривые. На четвертой — лемнискатоны, или кривые Уамма (о них рассказывает статья В. Вавилова в этом номере — с. 20). На первой — лемниската Бернулли*). При определении соответствия параметров, задающих лемнискатони (l = d = R√2 в обозначениях статьи Вавилова), она распадается на лемнискату Бернулли и окружность.
Лемниската Бернулли — заменательная кривая, привлекательная enimание многих математиков. Определить ее можно по-разному.
Например, лемниската Бернулли является множество точек на плоскости, произведение расстояний каждой из которых от двух фиксированных точек F₁, F₂ равно (|F₁F₂|/2)².
*) Речь идет о Якобе Бернулли (1654—1705), выдающейся ученом-математике, автор работы, относящаяся, главным образом, к математическому анализу, геометрии и теории вероятностей. Семья Бернулли дала миру много выдающихся ученых, в том числе математиков. В истории науки учены из этой семьи с одинаковыми именами называют как королей — Даниил I, Иоганн 11, … «Лемниската» — греческое слово; лемнискатой в античной Греции называли ленточку, при помощи которого к голове победителя прикрепляли венок.
На первой странице обложки нарисована также знакомая вам гипербола, точнее, равносторонняя гипербола, асимптоты которого перепendикулярны). Если проделать преобразование инверсии (см. «Квант», 1971, № 8, с. 23) с центром в центре симметрики гиперболы относительно касающейся ее окружности, то гипербола перейдет в лемнискату.
Получить лемнискату с помощью этой же гиперболы можно и по-другому. Построим все окружности, произведение через центр симметрики гиперболы, с центрами на этой гиперболе. Кривая, касающаяся всех этих окружностей, и есть лемниската (именено это построение и приведено на обложке).
Вот еще один способ построения лемнискаты. В два квадрата (рис. 1) вписывается по окружности. Проводается всевозможные секущие через центр O и образуются всевозможные хорды окружностей LM’. Переносим эти хорды по лучам, которые они принадлежат так, чтобы каждая точка L попадала в точку O. Тогда можно точек M образует лемнискату.
Можно построить лемнискату и с помощью чертежных инструментов. Для этого проведем некоторые дополнительные построения на рисунке 1. Проведем NF параллельно OM, а также AC (где C — центр окружности).
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
сти) и NM перепendикулярно OM (рис. 2). Поскольку |OC| = 1/2 |OF|, то и |AC| = 1/2 |ED| = 1/2 |MN|. Кроме того, |LA| = 1/2 |LM’| = 1/2 × |OM|. Следовательно, треугольники LAC и OMN подобны. Длина отрезка |ON| = 2 |LC| = постоянна. На этом основан способ построения лемнискаты, показанный на рисунке 3. Здесь используются два угольника и окружность радиуса |QF|. Качет одного из угольников должен содержать отрезок NF. Точка M принадлежит лемнискате.
Постарайтесь доказать, что все описанные способы построения дают одну и ту же кривую.
В. Березин