Любая карта может быть раскрашена в четыре цвета

60

Любая карта на плоскости может быть раскрашена в четыре цвета

Так называется заметка, появившаяся в centябре 1976 года в журнале Американского математического общества «Bulletin of American Mathematical Society». Это сообщение обращало на себя внимание профессиональных математиков и любителей математики его мира: заменитая проблема четырех красок решения!

Болееста лет эта проблема разнила воображение математиков своей формулировкой — не менее простой, чем формулировка Великий теоремы Ферма, и при этом более наглудной; работа над этой проблемой стимулировала создание столь популярной сейчас и важной для приложений теории графов.

Наш журнал недонократно расказывал о проблеме четырех красок*).

Вот несколько эпизодов из столетней истории этой проблемы.

1840 год. Немецкий астроном и геометр А. Мебиус доказал, что «на плоскости нельзя намерить пять области так, чтобы каждые из них имели общую границу». Эта нетрудная теорема — предполия к проблеме четырех красок.

1852 год. Англейский математик Де Морган пишет своему другу и коллеге В. Гамильтону о задаче, придуманной одним из его студентов: «Любую карту на сфере можно раскрасти не более чем в четыре цвета так, чтобы любые две соседние страны были раскрашены в разные цветы». Четверть века об этой задаче никак не вспоминал.

1878 год. С трибуны Британского географического общества английский математик А. Кэли вновь формулирует проблему четырех красок (и добавляет, что сам вот уже несколько дней как не может решить ее — это проискдило почти сто лет тому назад!).

С тех пор эта проблема (или гипотеза*) приобретла широкую и до неокоторой степени недорогою известность. «Гипотезу четырех красок можно с полным правом навать еще «болееную четырех красок», так как она во многом похожа на заболевание…»**) Ею «переболели» тысячи любителей математиков, в том числе весы известных (О. Веблен, Ф. Франклин и т. д.).

*) См. статьи: для младших школьников — «Топологические опыты своих руками», 1974, № 2, с. 58; для школьников 7—9 классов — «Карты и раскраски», 1972, № 4, с. 33 и для десятиклассников — довольно сложную статью «Арифметика на географической карте», 1974, № 4, с. 23.

*) Гипотеза состоит в том, что карту можно раскраить, проблему — в том, чтобы решить, верна ли гипотеза.

**) Ф. Харари, Теория графов. Перев. с англ., изд-во «Мир», М., 1973, с. 151.

61

К статье «Цикл Карно»

1. $\Delta U = \frac{3}{2} R \Delta T = -2,5 \cdot 10^5 \text{ джс}$.
2. $\Delta U = cm \Delta T = 10^{21} \text{ джс}$.
3. На графике (рис. 1) заштрихованная площадь численного равна работе, совершаемой при изменении объема газа от 20 до 40 л. В выбранном масштабе площадь каждой клетки равна 100 ($\lambda \cdot amm$). Так как $1 \lambda \cdot amm = 10^{-3} m^3 \cdot 101 \cdot 325 \text{ h/m}^2 \approx 100 \text{ джс}$, то площадь одной клетки соответствует работе $\approx 10^4 \text{ джс}$. Площадь заштрихованной фигуры примерно равна 4,25 клетки. Следовательно, при изменении объема газа от 20 до 40 л совершается работа $A \approx 4,25 \cdot 10^4 \text{ джс}$.

Рис. 1.
4. В проществе $AB_1$ работа не совершается, внутренняя энергия газа увеличивается.
В проществе $AB_2$ совершается работа и увеличивается внутренняя энергия газа.

Рис. 2.
Рис. 3.

62

В процессе $AB_3$ совершается работа, внутренняя энергия газа не изменяется.
5. Нагретая поверхность Земли—нагреватель, восходящий поток воздуха — рабочое тело, верхние слоны атмосферы — холодильник.

К статье «17 задач по анализу (предель, непрерывность, монотносты, производная)»

1. Предел существует только в случае $\theta$).

2. Доопредельть функцию так, чтобы существовал нужный предел, можно только в случае $a$) и $e$).

3. $e)$ Такова, например, функция $y = [x]$ (целая часть $x$).

4. Функции с графиками $\theta$ и $e)$ разрывы в точке $x = x_0$; функция с графиком $\theta)$ разрыва еще и в точке $x = x_1$; функция с графиком $a)$ разрыва только в точке $x = x_1$.

5. В случае $x$ и $e)$ функцию $f$ нельзя доопредельть до всоду непрерывной.

6. $a$), $6$), $e$) — да; $\theta$) и $\partial$) — нет.

7. В Примекуток возрастания [0,2], убывания — [2, 3].

8. В случае $a$): 1) нет (пример: $y = [x] - x$); 2) да; в случае $6$): 1) и 2) — да.

9. На рисунках 2, а — в изображены графики всоду отрицательных функций, удовлетворяющих условиям задачи.

10. Б) Можно.

11. $a)$ Две точки максимума и две — минимума.
    $\delta)$ $x_0$ — точка максимума.
    $\theta)$ Точка экстремума нет.
    $e)$ $x_0$ — точка максимума.
    $\partial)$ $x_0$ — точка минимума.
    $e)$ $x_0$ — точка максимума.
    $ж)$ При целых $n$ в точках $x = 2n$ — максимум, в точках $x = 2n + 1$ — минимум.

3. Одна точка максимума и одна — минимума (кроме того, целый отрезок точек несрогоно минимума).

12. Графики производных $y = f'(x)$ под данными графиками функций $y = f(x)$ изображены на рисунках 3, а — $e$.
13. Конечно, разные функции могут иметь одну и ту же производную: если $g(x) = f(x) + c$, где $c$ — постоянная, то, очень/no, $g'(x) = f'(x)$. Более подробно по этому поводу см. в п. 98 учебника «Алгебра и начала анализа 10 ». Примеры графики функций $y = f(x)$, имеющих данные графики производных $y = f'(x)$, изображены на рисунках 4, а — $e$.
14. $a$): 1) нет, 2) да;
    6): 1) нет, 2) да;
    в) да.

Рис. 4.