[Физики в гостях у П. Эренфеста]

39

§ 4. Экстремы функций

10. А) Нарисуйте график всюду определенной и всоду непрерывной функции так, чтобы у нее былоровно:
    a) 0, 6) 1, в) 2, г) 3, д) 10, е) бесконечно много — точек экстремума.
    Б) Можно ли при этом сделать так, чтобы все точки экстремума лежали на отрезке [0,1]?

11. Для функций, графики которых изображены на рисунках 6, a—з, указываете все точки максимума и минимума, если они есть.

§ 5. Производная

12. На рисунках 7, a—e изображены графики функций $y = f(x)$. В тех же системах координат (или же по д графикам функций $y = f(x)$) нарисуйте примерные графики произвольных $y = f'(x)$ (при тех значениях $x$, при которых произвольная существует; напомним, что в точках разрыва и в точках «излома» графика функции произвольной не существует).

13. По графикам произвольных $y = f'(x)$, изображенных на рисунках 8, a—e, воспользуйте примерные графики функций $y = f(x)$. Одна ли такая функция $f$ существует в каждой из случаем? Иными словами, не могут ли две различные функции иметь одну и ту же произвольную?

14. Можно ли утверждать, что:
    a) произвольная любой четной функции является 1) четной? 2) нечетной?
    b) произвольная любой нечетной функции является 1) нечетной? 2) четной?
    b) произвольная периодическая функция является периодической?

15. Может ли:
    a) произвольная всюду положительной функции быть: 1) всоду отрицательной? 2) всоду положительной?
    b) произвольная entiremente не периодической функции быть периодической?
    b) произвольная entiremente не периодической функции, не являющейся ни четной, ни нечетной, быть: 1) четной? 2) нечетной?

§ 6. Многочлены

16A) На рисунках 9, a—e изображены графики cubicских многочленов вида $y = ax^3 + bx + c$; масштаб не указаан. В каждом из случаемов произвольные знаки коэффициентов $a, b, c$.

Б) Могут ли эти графики быть графиками cubicских многочленов вида $y = ax^3 + bx^2 + c$?

17. Какую наименьшую степень могут иметь многочлены
    $P_n(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$, если их графики выглядают так, как показано на рисунках 10, a—б?

Физики шутят

Однажды в гостях у голландского физика-теоретика Пауля Эренфеста собрались Нильс Бор, Вольфганг Паули и Абрам Федорович Иофе. Эренфест, Бор и Иофе расположились на диване, а Паули, по своему объIkновению, ходил по комнате из угла в угол. Немного погода Бор сказал ему:
— Персстань, пожалуйста, ходить! Это меня разражает!

— А что именно тебя разражает? Спросил Паули. Пока Бор обдумывал ответ, Эренфест, извстый своим остроумем, произнес:
— Его разражает, что ты возврашается.