Решения задач М379, М381—М384; Ф387—Ф392

27

Ф434. Какое количество теплоты на сопротивлении $R$ при установлении равновесия после замыкания ключа $K$ (рис. 2), если конденсатор был предварительно заряжен до разности потенциалов $2U$? Э. д. с. источника $U$, емкость конденсатора $C$. Внутреннее сопротивление источника пребрежимо мало.

Ф435. В установке, показанной на рисунке 3, муфта $M$ прикреплена к двум одинаковым пружинам, коэффициенты жесткости которых $k=10 \text{ н/м}$. муфта без треня может скольнить по горизонтальном стержню $AB$. Установка вращается с постоянной угловой скоростью $\omega=4,4 \text{ rad/сек}$ вокуг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти перiod малых колебаний муфты. Масса муфты $m=0,2 \text{ ке}$.

При каком значении $\omega$ колебаний муфты не будет?

Ф436. Плотность газа, состоящего из смеси гелия и аргона, при давлении $152 \text{ кн/м}^2$ и температуре $27^\circ\text{C}$ равна $2,00 \text{ ке/м}^3$. Сколько.atомов гелия содержится в $1 \text{ cm}^3$ газовой смеси?

Ф437. Проволочная рамка, имеющая форму прямогоугольного треугольника с углом $\alpha=30^\circ$, помещена в вертикальной плоскости так, как показано на рисунке 4. По проводке могут без треня скольнить связанные друг с другом нитью два грузика с массами $m_1=0,1 \text{ ке}$ и $m_2=0,3 \text{ ке}$. Чему равно натяжение нити и угол $\beta$ в положении равновесия грузков? Является ли это равновесие устойчивым?

Решения задач
M379, M381 — M384; Ф387 — Ф392

М379. На каждом из нескольких кусков бумаги произвольной формы поставлена кляска (произвольной формы). Назовем промокашку подходящей для данного куска, если ее можно размешить внутри эмодю куска mak, что она закроет кляску. Пусть набор промокашек, имеющих форму кругов разных радиусов, обладает максимальным свойством: для произвольных двух данных кусков найдется промокашка, подходящая для каждой из них. Докажите, что модель в этом наборе найдется одна промокашка, подходящая для всех кусков.

Рассмотрим один куск бумаги. Пусть $p$ и $P$ — промокашки наименшшего и наиболее радиусов, подходящие для данного куска.

Докажем, что круглая промокашка $P$ любого промежутного радиуса — также подходящая для данного куска. (Заметим, что для промокашек другой формы, — например, для подбыхих прямогольников — аналогичное утверждение, вообще говоря, неверно.) Пусть кругги $p$ и $P$ расположены на куске так, что каждый из них закрывает кляску. Тогда кругг $P$ можно расположить так, что он будет содержаться в объединении и содержать пересечение $p$ и $P$ (рис. 1):

кляска $\subset (p \cap P) \subset \Pi \subset (p \cup P) \subset \text{кусок}$.

Докажем теперь утверждение задачи. Поставим в соответствии каждому из данных $n$ кусков отрезок $[r, R]$ числовой оси, где $r$ и $R$ — радиусы наименшней и наименшей подходящей для него промокашки. По условиям, любые два отрезка имеют общую точку.

Пусть $p$ — наибольший из левых концов этих отрезков; это число $p$, оченьindo, не меньше левого конца любого от-

28

резка и не больше наименьшего правого конца, то есть $\rho$ принадлежит всем $n$ отрезкам.

Число $\rho$ — радиус некоторой из наших промокашек. По доказанному, она будет подходящей для всех кусков.

В заключительной части решения мы использовали одномерный вариант теории. Хелл и для выпуклых фигур на плоскости: если какдые три из $n$ выпуклых фигур имеют общую точку, то и все $n$ фигур имеют общую точку — для выпуклых фигур на прямой, т. е. для отрезков, достаточно потребовать, чтобы любые два имели общую точку.

Н. Васильев

Решение задачи M380 будет опубликовано в следующем номере нашего журнала.

M381. 6 активистов класса образовательи 30 различных комиссии. Каждый две комиссии отличаются составом, но обязательно «пересекаются», то есть именом общего имена. Доказим, что можно образовать еще одну комиссию, пересекающую с каждой из этих 30 комиссии.

Рис. 1.

M382. Дан полином $f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_n$ с целью коэффициентами и натуральные числа $k$ и $p$. Доказим, что если ни одно из чисел $f(k), f(k+1), \dots, f(k+p)$ не делится $p+1$, то уравнение $f(x) = 0$ не имеет рациональных корней.

Нетрудно показать, что у множества из $n$ элементовровно $2^n$ подмножества. В частности, из шести активистов в принципе можно было бы составить 64 комиссии (включая сюда и «пустую» комиссию).

Разобем все возможные 64 подмножества множества активистов на пары; в каждой паре — два непересекающихся подмножества $A$ и $A',$ объединение которых есть все это множества (рис. 2). Поскольку пар 32, а комиссия — 30, то в каждой нибудь паре оба подмножества не пусты и не является комиссиями. Рассмотрим одно из этих подмножества $A$. Если оно пересекается со всеми 30 комиссиями, то задача решения. Если оно с каждой нибудь комиссии $B$ не пересекается, то второе подмножество из выбранной пары $A$ содержит эту комиссию $B$, а раз $B$ пересекается со всеми остальные комиссиями, то рассматривается подмножество $A \supset B$ — тем более.

В заключение отметим, что больше, чем 32 комиссии, с соблюдением условий создания вообще нельзя (доказите!).

С. Фомин

Прежде всего заметим, что если уравнение $f(x) = 0$ имеет рациональный корень, то этот корень — целое число. В самом деле, пусть $p/q$, где $p$ и $q$ взаимно просты, — корень нашего уравнения. Тогда $p^n + a_1p^{n-1}q + a_2p^{n-2}q^2 + \dots + a_nq^n = 0$, откуда следует, что $p$ не взаимно прост с $q$.

Предположим теперь, что уравнение $f(x)$ есть целый корень $x_0 = m$, то есть $f(m) = 0$. Тогда по теореме Безу мы можем представить полином $f(x)$ в виде

$$f(x) = (x - m)g(x),$$

где $g(x)$ — полином с целыми коэффициентами.

Подставив в соответствии (*) вместе $x$ значения $k, k+1, \dots, k+p$, получим

$$f(k) = (k - m)g(k),$$

$$f(k+1) = (k+1 - m)g(k+1),$$

$$f(k+p) = (k+p - m)g(k+p).$$

Поскольку одно из $p+1$ последовательных целых чисел $k - m, k+1 - m, k+2 - m, \dots, k+p - m$ делится на $p+1$, то и одно из чисел $f(k), f(k+1), \dots, f(k+p)$ на $p+1$ делится. Из этого следует, что полином, о котором говорится в задаче, не имеет целых корней.

Т. Райков

29

М383. Пусть $a$ и $b$ – два натуральных числа. Доказим, что если $ab$ целно, то найдумся также натуральные числа $c$ и $d$, что $a^2 + b^2 + c^2 = d^2$, а если $ab$ не целно, то максим $c$ и $d$ найти нельзя.

Рис. 3.

М384. Два одинаково ориентированных квадрата $OABC$ и $OA_1B_1C_1$ имеем общую вершину $O$. Доказим, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ проходят через одну точку.

Рис. 4.

Ф387. Два bellосипедиса в цирке edум с одинаковыми линейными скорстями $v$ по окружностям радиусов $R_1$ и $R_2$, центры которых на расстоянии $l$ другом другом ($l < R_1 + R_2$). Один из bellосипедисмов движется по часовой стрелке, другой — против. Наименом описываемые скорстями bellосипедисмов (в системе координат, связанной с одним из них) в том момент, когда они оба находятся на линейные проходящие через центры окружности, в точках: а) $A_1$ и $A_2$; б) $A_1$ и $B_2$; с) $B_1$ и $B_2$; е) $B_1$ и $A_2$ (рис. 5).

1). Пусть $ab$ четно.

a) Если $a$ и $b$ разной четности (одно – четно, другое – нет), то $a^2 + b^2 = 2N + 1$. Положим тогда $c = N$, $d = N + 1$. Получим
$$d^2 - c^2 = (d + c)(d - c) = 2N + 1 = a^2 + b^2.$$

6. Если $a$ и $b$ оба четны, то $a^2 + b^2 = 4N$. В этом случае положим $d = N + 1$, $c = N - 1$. Тогда
   $$d^2 - c^2 = (d + c)(d - c) = 2N \cdot 2 = a^2 + b^2.$$

2). Пусть $ab$ нечетно: $ab = 2n + 1$. Тогда числа $a$ и $b$ – оба нечетные, а сумма их четна: $a + b = 2m$. Имеем:
$$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 4m^2 - 4n - 2,$$
то есть $a^2 + b^2$ делится на 2, но не делится на 4. Поэтому $a^2 + b^2 \neq d^2 - c^2$ ни при каких натуральных $c$ и $d$: если $c$ и $d$ одинаковой четности (оба четны или оба нечетны), то $d^2 - c^2 = (d + c)(d - c)$ делится на 4, а если $d$ и $c$ разной четности, то $d^2 - c^2$ не делится на 2.

М. Гервер

Наше решение показет, что аналогичное утверждение верно и для правильных $n$-угольников с общей вершиной, и вообще для подобных друг друга вписанных $n$-угольников $OAB \dots Z$ и $OA_1B_1 \dots Z_1$.

Опишем вокруг обихих $n$-угольников окружности. Пусть они пересекаются в точках $O$ и $L$ (рис. 3). Если прямая $l$, проходящая через $L$, равномерно вращается вокруг $L$ с угловой скорстью $\omega$, то вторые точки пересечения $M$ и $M_1$ прямой $l$ с той и другой окружностью движения каждой по своей окружности равномерно с угловой скорстью $2\omega$ (градиные величины друг $\overline{OM}$ и $\overline{OM}_1$ вдвое больше градусов величины $\widehat{MLO} = \widehat{M_1LO}$). Таким образом, точка $M_1$ проходит вершины $O$, $A_1$, $B_1$, …, $Z_1$ многоугольника $OA_1B_1 \dots Z_1$ как раз в те моменты времени, когда $M$ проходит, соответственно, вершины $O$, $A$, $B$, …, $Z$ многоугольника $OAB \dots Z$. Отсюда ясно, что все прямые $AA_1$, $BB_1$, …, $ZZ_1$ пересекаются в одной точке – точке $L$, второй точке пересечения окружностей, описанных вокруг вокруг $(рис. 4)$.

H. Васильев

В условии задачи дана скорость каждой вершины $O$, $A_1$, $B_1$, …, $Z_1$ многоугольника $OA_1B_1 \dots Z_1$ как раз в те моменты времени, когда $M$ проходит, соответственно, вершины $O$, $A$, $B$, …, $Z$ многоугольника $OAB \dots Z$. Отсюда ясно, что все прямые $AA_1$, $BB_1$, …, $ZZ_1$ пересекаются в одной точке – точке $L$, второй точке пересечения окружностей, описанных вокруг $(рис. 4)$.

В условии требуется найти относительное системе координат (связанной, например, с ареной цирка). Такую скорость принято назвать абсолитной скорстью.

По условию требуется найти относительное скорстия величинства его скорсть по относению к движущей системе координат, связанной с одним из них) в том момент, когда они оба находятся на линейные проходящие через центры окружности, в точках: а) $A_1$ и $A_2$; б) $A_1$ и $B_2$; с) $B_1$ и $B_2$; е) $B_1$ и $A_2$ (рис. 5).

30

ная скорость второго влосипедства в точке $A_2$ равна

$$\vec{v}_{\text{пер}}^{\text{отт}} = \omega \cdot O_1 A_2 = \frac{v}{R_1} (l + R_2),$$

а в точке $B_2$ —

$$\vec{v}_{\text{пер}}^{\text{отт}} = \omega \cdot O_1 B_2 = \frac{v}{R_1} (l - R_2).$$

В обеих точках переносные скорости перпендикулярны к пря-
мой $A_1 A_2$ и направлены в одну сторону (на рисунке 6 —
вверх).

Абсолютная, относительная и переносная скорости точки
связаны соотношением

$$\vec{v}_{\text{абс}} = \vec{v}_{\text{отт}} + \vec{v}_{\text{пер}},$$

то есть абсолютная скорость всегда равна векторной (гео-
метрической) сумме относительной и переносной скорости.
Следовательно,

$$\vec{v}_{\text{отт}} = \vec{v}_{\text{абс}} - \vec{v}_{\text{пер}}.$$

Найдем относительно скорость второго влосипедства, когда он находится в точке $A_2$. В этом случае абсолютная скорость равна по модели $$\vec{v}_{\text{абс}} = v$$ и направлена вниз (рис. 7), а переносная скорость по модели равна $$\vec{v}_{\text{пер}} = \frac{v}{R_1} (l + R_2)$$ и направлена вверх. Позетому

$$\vec{v}_{\text{отт}} = v + \frac{v}{R_1} (l + R_2) = v \frac{R_1 + R_2 + l}{R_1}.$$

Найравлена эта скорость вниз. Полученный результат не зависит от того, в какой точке в данной момент находится первый влосипедст.

В тот момент, когда вторый влосипедст находится в точке $B_2$, $$\vec{v}_{\text{абс}} = v, \quad \vec{v}_{\text{пер}} = \frac{v}{R_1} (l - R_2)$$ и обе скорости направлены одинаково (вверх на рисунке 7). Следовательно, в этот момент скорость второго влосипедства относительно первого равна по модели

$$\vec{v}_{\text{отт}} = v - \frac{v}{R_1} (l - R_2) = v \frac{R_1 + R_2 - l}{R_1}$$

и направлена вверх. Этот результат также не зависит от того, в какой точке в данной момент находится первый влосипедст.

Совершенно аналогичным образом определяется скорость первого влосипедства в системе координат, связанной со вторым. В точке $A_1$ она направлена вниз и равна по модели

$$\vec{v}_{\text{отт}} = v \frac{l + R_1 + R_2}{R_2},$$

а в точке $B_1$ относительная скорость направлена вверх и по модели равна

$$\vec{v}_{\text{отт}} = v \frac{R_1 + R_2 - l}{R_2}.$$

Ф388. В расположенном вертикальном цилиндре переменного секения (рис. 8) между поршнями находятся п моле воздуха. Массы поршней $m_1$ и $m_2$, их площади $S_1$ и $S_2$ соответственно. Порщи соедиены стержнем дины $l$ и находятся на одинаковых расстояниях от стыка ча-

32

Рис. 11.

на рисунке 10, можно заменить эквивалентными схемами, показанными на рисунке 12. При этом (рис. 12, а)
$$R_{AB} = R_{BC} = R + R_1 \text{ и } R_{AC} = 2R.$$

Рис. 12.

Сопротивления $R_{A'B'}$ и $R_{A'C'}$ найдем, последовательно заменяя одним сопротивлением несколько сопротивленный, включенных параллельно или последовательно. Для участика $A'B'$ (рис. 13)
$$R_{A'B'} = 2r + R^{***} = 2r + \frac{rR^{**}}{r + R^{**}} =$$
$$= 2r + \frac{r(R + R^*)}{r + R + R^*} = 2r + r \frac{R^2 + 2R_1R + R_1r + Rr}{(r + R)^2 + 2(r + R)R_1}.$$

При вычислении сопротивления $R_{A'C'}$ учтем, что точки $O$ и $E$ (рис. 14), благодаря симметрични цепи, имеют одинаковый потенциал, и поэтому сопротивление $R_1$ можно просто исключаить. В результате получим
$$R_{A'C'} = 2r + R' = 2r + \frac{2rR}{r + R}.$$
Так как $R_{AC} = R_{A'C'}$,
$$2R = 2r + \frac{2rR}{r + R},$$
откуда
$$R = \frac{1}{2}r(1 + \sqrt{5}).$$

Рис. 13.

35

l. Козффициент прения между dockой и цилиндрами k. Доказать, что если dockу, находящуюся в положении равновесия, следует молкуть в горизонтальном направлении, она будет совершать гармоничное колесанция, и найти перiod этих колебаний. Каким будет движение dockи, если изменить направление цилиндров на противоположное?

Рис. 17.

Рис. 18.

При вращении цилиндров в направлении, указанном в условиях, сила, приложенная со стороны левого цилиндра, направлена вправа, а со стороны правого цилиндра — влево (см. рис. 17). Если dockа находится в равновесии, то силы трения равны по modulo. Следовательно, равны и силы нормальной реакции каждой из цилиндров. Это означает, что центр тяжесте dockи при равновесии находится на одинаковом расстоянии от каждой из них.

Пусть теперь dockа смешена от своего положения равновесия на расстояние $x < l/2$, например, вправа (рис. 18).

В этом положении силы нормального давления $\vec{N}_1$ и $\vec{N}_2$ уже не будут равны друг другу, а потому не будут компенсировать друг друга и силы сухого трения $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$. Результирующая сила $\vec{F}_1 + \vec{F}_2$ сообщит dockе горизонтальное ускорение.

Найдем его, вычислив предварительную $|\vec{N}_1|$ и $|\vec{N}_2|$ из условия отсутствия вертикального ускорения:

$$|\vec{N}_1| + |\vec{N}_2| - M |\vec{g}| = 0$$

и условия равенства нулю момент внешних сил относительной оси, проходящей через точку $B$:

$$|\vec{N}_2| \left( \frac{l}{2} - x \right) - |\vec{N}_1| \left( \frac{l}{2} + x \right) = 0.$$

Отсюда

$$|\vec{N}_1| = M |\vec{g}| \left( \frac{1}{2} - \frac{x}{l} \right), \quad |\vec{N}_2| = M |\vec{g}| \left( \frac{1}{2} + \frac{x}{l} \right).$$

Следовательно, процесс F результирующей силы на ось X, направленную вправа, равна

$$F = |\vec{F}_1| - |\vec{F}_2| = k |\vec{N}_1| - k |\vec{N}_2| = - \frac{2kM |\vec{g}|}{l} x.$$

Мы видим, что результирующая сила пропорциональна по modulo смешению $x$ dockи от положения равновесия и направлена в стороны, противоположную смешению, то есть к положению равновесия. Таким образом, эта сила является возвращающей силой, аналогичной той, которая возникает при колебании маятника. Следовательно, dockа совершает гармоничное колебания.

Перiod колебаний можно найти, записав уравнение движения dockи. Для проекций на ось X

$$Ma_x = - \frac{2kM |\vec{g}|}{l} x, \quad a_x = - \frac{2k |\vec{g}|}{l} x.$$

Модуль коэффициента пропорциональности между смешением и ускорением представляется собой квадрат циклического частоты колебаний:

$$\omega_0^2 = \frac{2k |\vec{g}|}{l}.$$

Перiod колебаний

$$T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{2k |\vec{g}|}}.$$

При изменении направления врашения цилиндров на противоположное результирующая горизонтальная сила также изменит свое направление. При смешении dockи эта сила не будет возвращаться ее к положению равновесия, а, наоборот, будет уводить тем больше, чем больше пероначальное смесение. В результате dockа сокочит с цилиндров.

Рассмотренный прибор впервые был предложен профессором Н. Е. Жуковским и носит его имя.

Б. Буховцев