Задачи и олимпиады

50

Задачи и олимпиады

В 1976 году издательство «Мир» выпустило в свет певодое еще одной замечательной книги: И. Кюршак, Д. Нейкомм, Д. Хайош, Я. Шурани «Венгерские математические олимпиады» (серия «Задачи и олимпиады»).

Венгрия — это первая страна, в которой (по решению Венгерского физико-mатематического общества) начали проводиться олимпиады по математике для выпускников гимназий. Первая олимпиада состоялась в 1894 году. С тех пор олимпиады в Венгрии проводятся ежегодно (за исключением перрода двух мировых войн).

В книге «Венгерские математические олимпиады» собраны задачи всех олимпиады вплоть до 1974 года (на каждой олимпиаде участник предлагалось по три задачи).

Первые 93 задачи (до 1928 года) были собраны и изданы с решениями одним из организаторов олимпиад — Кюршаком. Задания олимпиад 1928—1963 годов были собраны венгерскими математиками Хайошем, Нейкоммом и Шурани. И, наконец, задачи олимпиад самых последних лет (включая 1974 год) собрали переводчик книги Ю. А. Данилов.

Книга состоит из трех разделов. Первый раздел — это простую словяя 222 олимпиадных задач (чтобы вы смогли оценить эти задачи, ниже мы приводим некоторые из них). Второй раздел — это первый из трех разделов — это простую словяя 222 олимпиадных задач (чтобы вы смогли оценить эти задачи, ниже мы приводим некоторые из них). В третьей разделе — это первый из трех разделов — это простую словяя 222 олимпиадных задач (чтобы вы смогли оценить эти задачи, ниже мы приводим некоторые из них).

Олимпиада 1894 года (№ 1)

Доказать, что выражения 2x+3y и 9x+5y делятся на 17 при одних и тех же целых числах x и y.

Олимпиада 1901 года (№ 22)

Доказать, что сумма n-x степени 1^n+2^n+3^n+4^n, делится на 5 в том и только том случае, если показатель степени n не делится на 4.

Решение этой задачи основано на том, что 1^4=2^4=3^4=4^4=1 (mod 5). Эта целочка сравнения — не что иное, как частный случай Малой теоремы Ферма:

Если a — целое число, не делится на простое число p, то a^{p-1}≡1(mod p).

Олимпиада 1924 года (№ 82)

Даны три целых положительных числа a, b и c. Доказать, что если при всех целых положительных n можно построить треугольник со строкомами длины a^n, b^n, c^n, то все построенные треугольники будут равновесными.

Олимпиада 1926 года (№ 90)

Okружность катистики без просkalывания по окружности ввода большого размера, оставаясь внутри нее. Какую линию описывается при этом просkalывании?

Решить эту задачу вам помогет знакомство со статьями C. Верова о рулетах (см. «Квант», 1975, № 5, 8 и 12). Ответ здесь такой: диаметр большей окружности, проходящий через точку, в которой ее касается меньше окружность в начале момент, проходящий дважды — в прямом и обратном направлении.

Олимпиада 1933 года (№ 110)

На шахматной доске помещили 16 из 64 клеток, причем马克, что на каждой из 8 горизонтаелей и каждой из 8 вертикальных окалось по 2 помещенные клетки. Доказать, что на помещенных клетках можно рассматривать 8 черных и 8 белых фигур (no odной фигур не каждой помещенной клетке)马克, что на каждой горизонтаели и каждой вертикальной окалось по 1 белой и 1 черной фигуре.

Okазывается, эту задачу можно перевести на язык теории графов, с использованием теории котиров (все необходимые сведения).

51

ная сообщаются в решении) она легко решается. При этом удается решить даже более общую задачу о расстановке черных и белых фигур на шахматной доске размером $m \times n$, и другие задачи.

Олимпида 1935 года (№ 116)

Точка Оназывается центром симметрицы мочечного множества H, если мочека, симметриная относительно О любой мочека мочеества H, также принадлежит мочееству H. Доказать, что конечное моченое мочеество не может иметь двух различных центров симметрицы.

Для этой задачи приводятся два решения; во втором решении показывается, что точное множества с двумя центрами симметриции — бесконечно и имеет бесконечно много центров симметриции: — все точки, расположенные на прямой, проходящей через данные два центра симметрицы, и отстоящие от концов этого отрезка на расстояния, равные целым кратным его длины.

Олимпида 1937 года (№ 122)

Три окружности в пространстве попарно касаются друг друга, причем все три мочика касания различны. Доказать, что эти окружности лежат на одной сфере, либо в одной плоскости.

Олимпида 1947 года (№ 144)

Круе радиуса r показывают кругами радиуса r/2. Какое наименьшее число кругов требуется для эмод?

Ответ: семь.

Олимпида 1966 года (№ 196)

Существует ли пространственный прямоугольник, все стороны которого равны, а углы между двумя любыми сметниками строятся, если, например, отказается от условия равенства всех его сторон, а только потребовать, чтобы равными были лицы четыре строоны, и что углы между любыми сметниками строены.

Олимпида 1971 года (№ 211)

Прямая пересекает сторону AB треугольника ABC в точке C₁, сторону AC в точке B₁ и продолжение сторон BC в точке A₁. Пусть C₂ — точка, расположная симметрично точке C₁ относительно середины стороны AC, и A₂ — точка пересечения прямых B₂C₂ и BC.

Доказать, что

$$\sin B_1A_1C : \sin C_2A_2B = |B_2C_2| : |B_1C_1|.$$

Олимпида 1972 года (№ 215)

В классе учится одинаковое число мальчиков и девочек (всего класс насчитывает не менее 4 человек). Их в различном порядке выступают в один ряд и слотят, нельзя ли разделить ряд на две части так, чтобы в каждой части девочек и мальчиков было поровну. Пусть a — число слуаев, когда такое разбиение ряда невозможно, a b — число слуаев, когда удается разбить ряд на две части с одинаковым числом девочек и мальчиков в каждой из них, но лишь одним способом. Доказать, что b = 2a.

Олимпида 1973 года (№ 219)

В пространстве задано n плоскости (n ≤ 5) мак, что любые при из них имеемрово одну общую точку и в пространстве нем точек, через коморы проходило бы более трех плоскостей. Доказать, что среди частей, на коморье эти n плоскости делят пространство, имеется не менее $\frac{2n-3}{4}$ метраэдров.

Аналог утверждение задан на плоскости городадо более прост: если на плоскости задано n прямых, расположенных на同一 стороне так как на каждой части девочек и мальчиков не проходят через одну точку, то среди частей, на коморье эти n плоскости делят пространство, имеется не менее (2n-2)/3 метруэдров.

Олимпида 1974 года (№ 221)

Дана бесконечная последовательность квадратов со стороны длиной 1, $1/2$, $1/3$, …, $1/n$. Доказать, что существуют квадраты, последовательности таких, чтобы они не перекрывали другую фружея, и определить, чем равна сторона наименьшего из квадратов, вместе со всеми последовательностями.

Все квадраты, образующие заданную бесконечную последовательность, можно разместить в квадрате со стороны $1/2$.