Арифметические прогрессии в треугольнике Паскаля

27

Ф612. Какое количество теплоты Q необходимо сообщить m=0,1 кк неона для его нарезания на Δt=5°С, если при нарезании давление неона прямо пропорционально его объему?

Согласно первому термодинамики
$$Q = \Delta U + A,$$

где ΔU — изменение внутренней энергии неона; A — работа, совершенная газом при его нарезании.
Неон — одноатомный газ. Поэтому
$$\Delta U = \frac{3}{2} v R (\Delta T) = \frac{3}{2} \frac{m}{M} R (\Delta T)$$
(v = $\frac{m}{M}$ — число неона, M=20·10⁻³ кг/моль — его молярная масса).

Работа A газа равна произведению среднего давления $p_{cp}$ на изменение объема:
$$A = p_{cp} V = p_{cp} (V_2 - V_1),$$

где $V_2$ — конечный, $V_1$ — начальный объемы газа. Так как при нарезании газа давление пропорционально объему, среднее давление равно среднему арифметическому начального $p_1$ и конечного $p_2$ давления. Поэтому
$$A = \frac{1}{2} (p_2 + p_1) (V_2 - V_1).$$

Эту формулу можно преобразовать так:
$$A = \frac{1}{2} (p_2 V_2 - p_1 V_1) + \frac{1}{2} (p_1 V_2 - p_2 V_1).$$

Давление неона при нарезании прямо пропорционально его объему, то есть $p_1 = \alpha V_1$, $p_2 = \alpha V_2$, где α — коэффициент пропорциональногоности. Поэтому $p_1 V_2 - p_2 V_1 = \alpha V_1 V_2 - \alpha V_2 V_1 = 0$.
Таким образом,
$$A = \frac{1}{2} (p_2 V_2 - p_1 V_1) = \frac{1}{2} \Delta(pV),$$

где Δ(pV) — изменение произведения pV. Согласно уравнению газового состояния pV = $\frac{m}{M} RT$, поэтому Δ(pV) = $\frac{m}{M} R (\Delta T)$ и
$$A = \frac{1}{2} \frac{m}{M} R (\Delta T),$$

Подставив значения ΔU и A в выражение (*), найдем
$$Q = 2 \frac{m}{M} R (\Delta T) \approx 41,5 \text{ Дж.}$$

И. Словодецкий

А. Аврамов

Арифметические прогрессии в треугольнике Паскала

Задча, в котором поддет речь в этой заметке (М602 — «Квант», 1980, № 2), связана с треугольником Паскала — числовым треугольником, n-я строка которого (n=0,1,2,3,…) состоит из n+1 чисел

$$C_n^0, C_n^1, C_n^2, ..., C_n^n$$

($C_n^m$ — число сочетаний из n по m*).

На рисунке (с. 28) приведены первые восемы строк треугольника Паскала (n=0,1,2,…,7). Восьмая строка (n=7) состоит из чисел
1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

Она заменалена тем, что в ней второе, третье и четвертое (а также пятое, шестое и seventh) числа образуют.ariffметический прогрессio.

А есть ли в треугольнике Паскала другие строки с аналогичным

*) О треугольнике Паскала см. пособие «Алгебра и начала анализа 9», п. 7, 8. Кроме того, в 1979 году в издательстве «Нука» в серии «Популярные лекции по математике» вышло 2-е издание брошюры В. А. Успенского «Треугольник Паскала».

28

Свойством, то есть строки, в которых три числа, стоящие рядом, образованы бы арифметическую прогрессию?

Допустим, что существует натуральные $n$ и $k$ такие, что тройка чисел $C_n^{k-1}, C_n^k, C_n^{k+1}$ является арифметической прогрессией. Это означает, что

$$2C_n^k = C_n^{k-1} + C_n^{k+1}$$

($1 \leq k \leq n-1$),

то есть

$$\frac{2n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} + \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!},$$

откуда получаем уравнение

$$4k^2 - 4nk + n^2 - n - 2 = 0,$$

(1)

которое надо решить в натуральных числах.

Решим его как квадратное уравнение относительно $k$:

$$k_{1,2} = \frac{n \pm \sqrt{n+2}}{2}.$$

Положим $n+2 = t^2$, где $t$ — некоторое натуральное число. Получим

$$k_1 = \frac{(t+1)(t-2)}{2},$$

$$k_2 = \frac{(t-1)(t+2)}{2},$$

причем при $t \geq 3$ и $k_1$, и $k_2$ — натуральные числа, $1 < k_1 < n-1$, $1 < k_2 < n-1$.

Итак, если натуральные $n$ и $k$ удовлетворяют уравнению (1), то они находятся по формулам

$$\begin{cases} n = t^2 - 2, \\ k_{1,2} = \frac{t^2 + t - 2}{2}, \end{cases}$$

где $t$ — натуральное число и $t \geq 3$.

Кроме того, для всех натуральных $t \geq 3$ каждый пара чисел $n$ и $k$, получающихся по формулам (2), удовлетворяет уравнению (1) — убедитесь в этом.

Эти документы что в треугольнике Паскала бесконечно много строк, содержащих трехчленные арифметические прогрессии из подряд идущих чисел. При этом каждая строка содержит две прогрессии. Это и неудивительно: ведь треугольник Паскала симметричен. Поэтому обе эти прогрессии состоит из одних и тех же чисел: первый (получющаяся при $k=k_1$) возрастает, а второй (при $k=k_2$) убивает.

При $t=3$ получаем $n=7$ — с этой строки мы начали свои наблюдения. При $t=4$ получаем $n=14$, $k_1=5$, $k_2=9$. Это соответствует пятнадцатой строке треугольника Паскала: 1, 14, 91, 364, 1001, 2002, 3003, 3432, 3003, 2002, 1001, 364, 91, 14, 1; здесь выделенные числа образуют арифметическую прогрессию.

А что будет, если $t < 3$? $t=1$, оченьindo, не годится, а при $t=2$ получаем $n=2$, $k_1=0$, $k_2=2$. Это соответствует третьей строке треугольника, в которой стоит числа 1, 2, 1. Если слева и справа к ним приписать по нулю и отсутствовать числа от нуля, мы снова получим две арифметические прогрессии: 0, 1, 2 и 2, 1, 0.

Легко видеть, что в треугольнике Паскала нет ни одной строки, в которой была бы арифметическая прогрессия, состоящая более чем из трех членов (идуших подряд). В самом деле, если бы такая строка нашлась, то в ней было бы не менее двух трехчленных арифметических прогрессий, состоящих из разных членов. Но выше мы показали, что каждая строка с арифметической прогрессей (в которой числа идут подряд) устроена так: в нейровно две прогрессии, составленные из одних и тех же чисел.

Мы предлагаем вам убедиться самостояльно в том, что в треугольнике Паскала нет ни одной строки, в которой была бы арифметическая прогрессия, состоящая более чем из трех членов (идуших подряд).