Магические восьмиугольники

37

{a₁; a₂; a₃}, {a₁; a₂; a₄}, {a₁; a₃; a₄}, {a₂; a₃; a₄}.

Таким образом, в множестве $A$ четые подмножества, в множестве $B$ восемь подмножества, в множестве $C$ 16 подмножества.

Выписья подмножества, мы располагали их по возрастанию числа элементов. Пытаясь таким путем подсчитать число подмножества произвольного конечного множества, мы приходим к более трудной задаче подсчитача числа подмножества с заданным числом элементов. Однако есть и другой путь решения задачи.

Пусть $A = \{a_1; a_2; ...; a_n\} — n$-элементное множество. Выбор произвольного подмножества $B$ множество $A$ можно разбит на следующие шаги: на первом шаг мы решаем, включать ли элемент $a_1$ в подмножество $B$, на втором шаг мы решаем, включать ли в $B$ элемент $a_2$, и т. д., на последнем, $n$-м шаг мы решаем, включать ли в подмножество $B$ элемент $a_n$. Так как на каждом шаг, независимо от решений, приятых на предыдуших шагах, у нас есть возможность (включать в $B$ очередной элемент или не включать), то по правлу произведения число подмножества множества $A$ равно произведения $n$ двое, то есть равно $2^n$. Итак, в $n$-элементном множестве имеет $2^n$ различных подмножества.

Это утверждение помогет нам в решении следующей задачи.

Задача 8. Сколько способами можно рассадить за пятнадцать партим 15 мальчиков и 15 девочек так, чтобы каждый мальчик сидел за одной партию с девочек?

Вспомним решение у нас $(15!)^2$ возможностей, на втором $2^{15}$ возможностей. По правилам произведения получим ответ: $(15!)^2 \cdot 2^{15}$.

Уражение 12. Сколько способами можно 9 различных монет разложить в два кармана?

Наша обложка

Магический воскмутольники

На четвертой странице обложки изображены 25 «магических воскмутольников». В узлах каждой из них записаны четые «синих» и четые «зеленых» числа, в центре записано «красное» число (все числа — между 1 и 25).

Если красное число сложить с четырьмя синными (или зелеными) числа «своего» воскмутольника, мы получим магическую сумму 65. Возьмем, для примера, воскмутольник с числом 13 в центре: $13 + (19 + 5 + 7 + 21) = 13 + (10 + 22 + 16 + 4) = 65$. (Любопытно, что здесь магическую сумму составляют и два соседних числа, сложенные с диаметрально противоположными: $13 + (22 + 5) + (4 + 21) = 13 + (5 + 16) + (21 + 10) = 13 + (16 + 7) + (10 + 19) = 13 + (7 + 4) + (19 + 22) = 65$. Тем же свойствам обладают и несколько у нас есть возможность (включать в $B$ очередной элемент или не включать), то по правлу произведения число подмножества множества $A$ равно произведения $n$ двое, то есть равно $2^n$. Итак, в $n$-элементном множестве имеет $2^n$ различных подмножества.

Возьмем теперь, начиная с верхнего ряда, зеленье числа:

15 7 4 21 18
17 14 6 3 25
24 16 13 10 2
1 23 20 12 9
8 5 22 19 11

Снова получился магический квадрат с суммой 65.

Оставшиеся зеленье числа:

23 9 20 1 12
7 18 4 15 21
16 2 13 24 10
5 11 22 8 19
14 25 6 17 3

снова образуют магический квадрат. То же самое верно и для синих чисел.

Итак, мы нашли один красный квадрат, один разноветный (в рамках), два зеленьи и один синний… Еще один синний квадрат найдите сами.

Е. Кривощеев