Силы трения и движение

38

Силы треня и движение

Движению тела обычно превращают силы треня. Если соррикаются поверхности твердых тел, их относительно движению мешают силы сухого треня. Характерной особенность сухого треня является существование зоны застоя. Тело нельзя сдинуть с места, пока абсолотная величина внешней силы не превышает определенного значения. До этого момента между поверхностями соррикающихся тел действует сила треня покоя, которая уравновешивает внешнюю силу и растет вместе с ней (рис. 1). Максимальное значение силы треня покоя определяется формулой

$$|\vec{F}_{\text{trp max}}| = \mu |\vec{N}|,$$

где $\mu$ — коэффициент треня, зависий от свойств соррикающихся поверхностей; $\vec{N}$ — сила нормального давления.

Когда абсолотная величина внешней силы превращает значение

$$|\vec{F}_{\text{trp max}}| = \mu |\vec{N}|,$$

возникает относительное движение — прокалывающее. Сила треня скольжения обычно слабо зависит от скорости относительного движения, и при малых скоростях ее можно считать равной $|\vec{F}_{\text{trp max}}|$.

Движению тела в жидкости и газе превращают силы треня. Главное отличие треня от сухого — отсутствие зоны застоя. В жидкости или газе не возникают силы треня покоя, и поэтому даже малая внешняя сила способна вызывать движение тела. Сила треня при малых скоростях пропорциональна скорости, а при больших — квадрату скорости движения.

Задача 1. При экстренной остановке поезда, движению со скоростью $|\vec{v}| = 70$ km/ч, тормозной путь составляет $s = 100$ м. Чему равен коэффициент треня между колесами поезда и ребрами? Каким становится тормозной путь, если откажут тормоза в одном из $n = 10$ вариантов? Массу локотива прить равной массе вагона; силими сопротивления воздуха претенбреть.

При торможенииускорение $\vec{a}$ поезда сообщает силы треня $\vec{F}_{\text{trp}}$:

$$M \vec{a} = \vec{F}_{\text{trp}},$$

где $M$ — масса всего состава. Сила треня $\vec{F}_{\text{trp}}$ представляет собой равновесную все сил треня, действующих на состав (рис. 2), и равна по моделю $|\vec{F}_{\text{trp}}| = \mu |\vec{N}| = \mu Mg$. Следовательно,

$$|\vec{a}| = \frac{|\vec{F}_{\text{trp}}|}{M} = \mu g$$ и $\mu = \frac{|\vec{a}|}{g}$.

С другой стороны, $|\vec{a}| = |\vec{v}|^2/2s$. Подставляя это значение в выражение

39

для μ, получаем

$$\mu = \frac{|\vec{v}|^2}{2gs} \approx 0,2.$$

В том случае, когда не работает тормоза у одного из вариантов, суммарная сила треня, действующая на валоны и локомотив, равна

$$|\vec{F}'_{\tau p}| = \mu nmg,$$

где $m$ — масса одного валона. Масса всего состава равна $M = (n+1)m$, так что $m = M/(n+1)$. Ускорение поезда в этом случае равно

$$|\vec{a}'| = \frac{|\vec{F}'_{\tau p}|}{M} = \frac{n}{n+1} \mu g,$$

а тормозной путь равен

$$s' = \frac{|\vec{v}|^2}{2|\vec{a}'|} = \frac{n+1}{n} \frac{|\vec{v}|^2}{2\mu g} = \left(1 + \frac{1}{n}\right) s = 110 \text{ m.}$$

---

Важно помним, что сила треня не всегда тормозит движение. Во многих случаях движение становится возможным именно благодаря ей.

Смогли бы вы разбежать на скользком льду? Очевидно, нет; в лучшем случае вам удалось бы безжать на месте. Сила треня между подошвами и землей, препятствующая просkalзыванию, создает необходимое для разгона ускорение.

Задача 2. При каком коэффициенте треня человек может взесть на горку высотой $h = 10$ м с уелом наклона $\alpha = 0,1$ pad за время $t = 10$ с безпредварительно разгона? Считать, что мощность человека не ограничивает время движения, а сопротивление воздуха мало.

Сила треня, действующая на человека, препятствует просkalзыванию и поэтому направляется на горку высотой $h = 10$ м с наклона $\alpha = 0,1$ pad при коэффициенте треня $\mu = 0,05$?

40

Проектура силы, действующие на человека, на направление плоскости горки (рис. 4), для модели ускорения получаем

$$|\vec{a}| = g \sin \alpha - \mu g \cos \alpha.$$

Конечная скорость человека

$$\vec{v} = \sqrt{2|\vec{a}|l} = \sqrt{2|\vec{a}|h/\sin \alpha} = \sqrt{2gh(1 - \mu \text{ctg} \alpha)} \approx 10 \text{ m/c}.$$

При $\mu \geqslant tg \alpha$ человек может стоять на горке и, следовательно, может спускаться с нее как уголно медленно.

Разумеется, все сказаноное относится не только к человеку, но и к автоматике. Сила треня между шинами и шоссе, преяятствuyа проскальзыванию, разгоняет автоматиль, когда колеса соединены с двигателем. Эта же сила, также преяятствuyа проскальзыванию, тормозит движение автоматили, когда к колесам прижаты тормозные колодки.

---

Рассмотрим теперь роль силы треня при движении по окружности.

Задача 4. У края диска радиусом $R$ лежит монета (рис. 5). Диск раскручивается так, что его уловая скорость линейно растет со временем: $\omega = \varepsilon t$. В какой момент времени монета следует с диска, если коэффициент треня между диском и монетой $\mu$? Какой уолс с направлением к центру диска образует сила треня в этот момент?

До тех пор пока монета лежит на диске, ее линейная скорость $v$ равна линейной скорости диска:

$$v = \omega R = \varepsilon Rt.$$

Как видно, эта скорость не постоянна, а линейно растет со временем. Следовательно, монета движется с ускорением, проекция которого на направление касательной к окружности равна $a_1 = \varepsilon R$. Кроме того, поскольку монета движется по окружности, у нее есть и центростремительное ускорение (то есть проекция ускорения на направление к центру окружности) $a_2 = v^2/R = \varepsilon^2 Rt^2$. Таким образом, ускорение монеты равно по модулю (см. рис. 5)

$$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = \varepsilon R \sqrt{1 + \varepsilon^2 t^4}.$$

Единственный силой, действующий на монету в плоскости диска, является сила $\vec{F}_{\tau p}$. По второму закону Ньютона она и создает ускорение $\vec{a}$:

$$m\vec{a} = \vec{F}_{\tau p} \text{ и } m|\vec{a}| = |\vec{F}_{\tau p}|.$$

Подставляя в последнюю формулу выражения для $\vec{a}$ и для максимального значения силы треня $|\vec{F}_{\tau p}| = \mu mg$, получаем, что монета может лежать на плоскости до момента

$$t = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} \left( \frac{\mu^2 g^2}{\varepsilon^2 R^2} - 1 \right)^{1/4}.$$

При $\varepsilon > \mu g/R$ монета следует сразу же, так как сила треня будет не в состоянии обеспечить столбьое ускорение монеты.

Направление силы треня совпадает с направлением ускорения, поэтому

$$tg \alpha = \frac{a_1}{a_2} = \frac{\varepsilon R}{\varepsilon^2 Rt^2} = \left( \frac{\mu^2 g^2}{\varepsilon^2 R^2} - 1 \right)^{1/4}.$$

Многие задачи на силы треня удобно решать, применяя закон сохранения энергии.

Задача 5. Тело, скользываece со скоростью $\vec{v}$ по главкой поверхности, влетает на шероховатую поверхность с коэффициентом треня $\mu$ (рис. 6). При какой минимальной длине тела $l$ оно оставится так, что часть его еще будет находиться на главкой поверхности?

Из закона сохранения энергии следует, что начальная кинетическая энергия тела равна работе, совершаемой против сил треня:

$$\frac{mv^2}{2} = A_{\tau p}.$$

При находится работы необходимо учесть, что сила треня меняется по мере перемещения тела с главкой поверхности на шероховатую. Если на шероховатой поверхности находится тела длиной $x$,

$$|\vec{F}_{\tau p}| = \frac{\mu mg}{l} x,$$

то есть сила треня пропорциональна проеденному пути. Поэтому при

41

перемещения всего тела работа

$$A_{\text{тр}} = \int_0^l |\vec{F}_{\text{тр}}| \, dx = \frac{\mu m g}{l} \int_0^l x \, dx = \frac{\mu m g l}{2}.$$

Подставляя это выражение в уравнение, выражающей закон сохранения энергии, для минимальной длины тела получаем

$$l = |\vec{v}|^2 / \mu g.$$

---

В заключение рассмотрим довольно часто встречающейся явление — заклинивание: в некоторых случаях невозможно преодолеть силу треня, даже прикладывая очень большую внешнюю силу.

Задача 6. Стержень вытаскивают из трубы, имеющей диаметр, несколько больший диаметр стержня (рис. 7, а). В зазор между стержнем и трубой попадает песинка, имеющая форму параллелена (отношение $a/b = 0,1$). Оцените, при каком значении коэффициента треня между песинкой и поверхностями стержня и трубы стержень не удасться вытащить из трубы. Считать, что коэффициент треня между трубой и стержнем пренебрежимо мал.

При движении стержня между ним и песинкой возникает сила треня $\vec{F}_{\text{тр}}$. Эта сила, действующ на песинку, создает момент, врашащий ее вокруг точки $O$ (рис. 7, б). Если этот момент большие момента силы реакции $\vec{R}$, врашающего песинку в обратную сторону, вытащить стержень не удасться, так как песинка будет вдавливаться в стержень. Другими словами, если

$$|\vec{F}_{\text{тр}}| l \sin \alpha > |\vec{R}| l \cos \alpha,$$

стержень заклинит.