Олимпиада по математике

45

XIV Всегоизная
олимпида Школьников

В. Вавилов, А. Земляков,
И. Клумова

Олимпида
по математике

С 16 по 23 апреля в Саратове состоялся заключительный этап XIV Всегоизной олимпиды Школьников по математике. В нем принято участие 158 школьников: 39 восемиклассников, 60 девятиклассников и 59 десятиклассников. Все эти ребята — победители ресурсивских олимпидад, а также школьники, получившие дипломы I и II степени на заключительном этапе XIII Всегоизной олимпидад. Среди участников олимпидады были также команда хозяйствования олимпидад — школьники Саратова (3 человека) и команда учащихся ПТУ (3 человека) — победитель олимпидады профессиональной технических училищ Ленинграда, выступившая вне конкурса.

В этом году олимпидад была посвящена 110-й годовщине со дня рождения В. И. Ленина. 16 апреля в актом зале Саратовского договора пionеров и школьников в торжественной обстановке происходило открытые заключительного этапа олимпидад. Председатель оргомитета олимпидад, заместитель представителя Саратовского общеполкома И. Ф. Яльнычева поздравила участников заключительного этапа олимпидады с началом совершенняй.

Юные математики возложили цветы к памятникам В. И. Ленину и борцам социалистической революции 1917 года и приняли участие во Всегоизном ленинском коммунистическом субботнике.

Заключительный этап олимпиды происходил, как обычно, в два тура, которые состоялись 18 и 20 апреля.

При отборе задач методического комиссия руководствовалась следующими принципами: 1) задачи должны охватить большинство разделов школьной программы,ройденных учащимся; 2) задания должны ответать «различным вкусам», то есть содержать задачи по планиетрии и стереометрии, задачи по алгебре и началом анализа, задачи анализического типа и задачи «олимпидного» характера; 3) задания в целом должны быть умеренной сложности так, чтобы каждый участник заключителого этапа решил хотя бы одну задачу и не менее половины участников справились с положенной всего задачи.

В каждый из дней школьникам было предложено по четыре задачи, на решение которых ответилось по 5 часов. Ниже мы приводим условия всех задач.

В этом году жюри заранее оценило каждую задачу в баллах. Максимальная сумма баллов в каждом.type равна 30. (Число баллов за задачу-указано в скобках после условия.) Участникам олимпидады эти приорные оценки заранее не сообщались.

Задачи

Первый день
8 класс

1. Двузначные числа от 19 до 80 выписаны подряд. Делится ли получащеся число 192021…7980 на 1980? (6)
2. Сторона AB квадрата ABCD разделена на n отрезков так, что сумма длины

46

резков с четыми номерами равна сумме длин отрезков с нечетными номерами (см. рисунок). Через точки деления проведены отрезки, параллельные стороны AD, а затем каждой из получшихся n полосок диагонального BD разбиита на две части — левую и правую. Докажите, что сумма площадей левых части с нечетными номерами равна сумме площадей правых части с нечетными номерами (на рисунке эти части закрашены).

3. Груз, упакованный в контейнеры, нужно доставить на орбитальную космическую станцию «Салют». Число контейнеров не меньше 35, общая масса груза —ровно 18 тонн. Имеются семь трансportных корабелей «Прогресс», каждый из которых может доставить на орбиту 3 тонны груза. Известно, что эти корабли могут одновременно доставить любые 35 из имеющихся контейнеров. Докажите, что они смогут доставить на орбиту сразу весь имеющийся груз.

4. Точки M и P — середины сторона BC и CD выпukлого четырехугольника ABCD. Известно, что |AM| + |AP| = a. Докажите, что площадь четырехугольника ABCD была наиболее.

5. См. задачу № 3 для 8-го класса.

6. На берегу круглого озера расположено несколько пунктов. Между неокторыми из них установлено теплoxодное сообщение. Известно, что два пункта A и B связаны рейсом тогда и только тогда, когда следующее за ними справа по берегу два пункта A’ и B’ рейсом не связаны. Докажите, что из любого пункта в любой другой пункт можно добавиться теплoxодом, причем не более чем с двумя пересадками.

10 класс

1. Шестизначное число, записанное шестью отличными от нуля различными цифрами, делится на 37. Докажите, что перестановками цифр этого числа можно получить еще по крайней мере 23 различных числа, делящих на 37.

2. См. задачу № 2 для 9-го класса.

3. Решите систему уравнений:

$$\begin{align*} \sin x + 2\sin(x+y+z) &= 0, \\ \sin y + 3\sin(x+y+z) &= 0, \\ \sin z + 4\sin(x+y+z) &= 0. \end{align*}$$

4. См. задачу № 4 для 9-го класса.

Второй день
8 класс

5. На плоскости данного 1980 векторов, причем среди них есть неоклинеарные. Известно, что сумма любых 1979 из этих векторов коллинеарна с вектором, не включенным в сумму. Докажите, что сумма всех 1980 данных векторов равна нулевому вектору. (6)

6. Обозначим через S(n) сумму всех цифр натурального числа n.

a) Существует ли натуральное n такое, что n + S(n) = 1980?

6. Докажите, что хотя бы одно из двух последовательных натуральных чисел представимо в виде n + S(n) для некоторого третbero натурального числа n. (7)

7. Некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги okрашены в красный цвет, остальные — в синей, причем так, что каждый прямогольник из 6 клеток размер 2×3 клетки содержит в точности две красные клетки. Сколько красных клеток может содержать прямогольник из 99 клеток размер 9×11 клеток? (7)

8. Коротышки, проживающие в Цветочном городе, вдруг стали более гриппом. В один день неоклобко коротышек простудились и заболели, и хотя потом уженикто не простужался, здоровые коротышки заболевали, нашевая свойх больных друзей, на следующий день после посещения. Известно, что каждый коротышка более гриппомровно один день, причем после этого у него один или неоклобко дней есть иммунитет, то есть он здоров и заболеть в такой день не может (число дней иммунитета у каждой коротышки может быть свое). Несмотря на эпидемия, каждый здоровый коротышка ежедневно навешает всех свойх больных друзей. Когда началась эпидемия, коротышки забели о прививках и не делают их.

Докажите, что a) если до первого дня эпидемии какие-нибудь коротышки сделали прививку и имели в первый день иммунитет, то эпидемия может продолжаться сколь годно долго;

6. если же в первый день иммунитета ни у кого не было, то эпидемия рано или поздно кончится. (10)

9 класс

5. См. задачу № 7 для 8-го класса.

6. Обозначим через P(n) произведение всех цифр натурального числа n. Может ли последовательность (n_k) заданная рекуррентной формулой n_k+1=n_k+P(n_k) и своим членом n_1∈N, оказаться неогранниченной? (8)

7. Дан правильный треугольник ABC. Некоторые прямая, параллельная прямой AC, пересекает прямые AB и BC в точках M и P соответствующего точки D — центр правильного треугольника PMB, точки E — середина отрезка AP. Определите углы треугольника DEC. (7)

8. Длины ребер прямой треугольника ABC. Некоторые прямая, параллельная прямой AC, пересекает прямые AB и BC в точках M и P соответствующего точки D — центр прямой треугольника PMB, точки E — середина отрезка AP. Определите углы треугольника DEC. (7)

9. Длины ребер прямой треугольника ABC. Некоторые прямая, параллельная прямой AC, пересекает прямые AB и BC в точках M и P corresponding to the vertices of a triangle ABC.

47

Жите неравенства:

$$x < \frac{1}{3} \left( \frac{1}{4} p - \sqrt{d^2 - \frac{1}{2} S} \right),$$
$$z > \frac{1}{3} \left( \frac{1}{4} p + \sqrt{d^2 - \frac{1}{2} S} \right).$$

(7)

10 класс

5. Множество $M$ состоит из целых чисел. Его наименьший элемент равен 1, а наибольший элемент равен 100. Каждое число из множества $M$, кроме 1, равно сумме двух (возможно, одинаковых) чисел, принадлежих $M$. Среди всех таких множества указывают на минимальный числом элементов. (6)

6. Доказите, что существует бесконечного много чисел $a$, для которых уравнение

$$[x^2] + [y^2] = a$$

имметет по крайней мере 1980 решений в натуральных числах $x, y$. (Через $[z]$ обозначена целая часть числа $z$.) (6)

7. В тетрадире $ABCD$ ($AC \perp BC$) и $(DA) \perp (BD)$. Доказите, что косинус угла между прямыми $AC$ и $BD$ меньше, чем $|CD|/|AB|$. (8)

8. Число $x \in [0; 1]$ записано в виде бесконечной десятичной дроби. Переставив ее первые 5 цифр после запятой в произвольном порядке, получим новую бесконечную десятичную дробь, отвечающую неокоторому числу $x_1$. Переставив в десятичной записи числа $x_1$ цифры со 2-й по 6-й после запятой, получим десятичную записи числа $x_2$. Вообще, десятичная запись числа $x_{k+1}$ получается перестановкой в записи числа $x_k$ цифр с $(k+1)$-й по $(k+5)$-ю после запятой.

a) Доказите, что, как бы ни переставлять цифры на каждой шаге, получающая последовательность чисел $x_k$ всегда имеет неокоторый предел.

Обозначим этот предел через $y$.

6. Выясните, можно ли с помощью такого процесса из какого-нибудь рационального числа $x$ получить irrationalное число $y$.

b) Придумайте такую дробь $x$, для которого описанный процесс всегда приводил бы к irrationalным числам $y$, каковы бы ни были переставки цифр на каждой шаге.

(Считайте, что числа, в десятичной записи которых есть цифра 9, в этой задаче не рассматриваются.) (10)

Как участики совершення紊правильность с этим заданием, видно из таблицы 1. С каждой задачей (кроме задачи № 3 для 10-го класса) справилось не менее 20% школьников, а с одинадцатью задачими (задачи № 1, 2, 5, 7 для 8-го класса, № 1, 4, 5, 7, 8 — для 9-го класса и № 4, 5 — для 10-го класса) справилось более 50% участиков.

Саратовцы относялись к юным математикам с большой теплотой. В программе олимпиды — встроены с учеными и студентами механико-mатематической факультета Саратовского университета, посещение Музея-квартиры семьи Ульяновых, экскурсии по городу и многое другое.

49

Всесоюзной олимпиады школьников по математике, не вошедших в Задачник «Кванта».
8 класс
Задачка 4

Разбивая четырехугольник ABCD диагонально AC, убеждаемся, что
$$S_{ABCD} = 2S_{AMCP},$$
позному достаточно доказать неравенство
$$S_{AMCP} < a^2/4.$$

Пусть K — точка пересечения отрезков AM и BD (рис. 1). Треугольники MCP и MKP имеют общее основание MP и равные высоты (MP — средняя линия треугольника BCD), поэтому их площади равны. Далее, в силу выпуклости четырехугольника ABCD, точка K лежит между A и M, поэтому площадь треугольника MKP меньше площади треугольника AMP.
Итак,
$$S_{AMCP} = S_{AMP} + S_{MCP} = S_{AMP} + S_{MKP} < 2S_{AMP}.$$
Обозначив |AM| через x, получим |AP| = a−x, $2S_{AMP} = x(a−x) \cdot \sin \widehat{MAP}$.
Остается заменить, что $\sin \widehat{MAP} \leq 1$ и $x(a−x) = \frac{a^2}{4} - \left(x - \frac{a}{2}\right)^2 \leq \frac{a^2}{4}$.

Задачка 5

Обозначим через $\vec{a}$ сумму всех 1980 данных векторов $\vec{a}_1, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_{1980}$. Тогда сумма всех векторов, кроме $\vec{a}_i$, записывается как $\vec{a}−\vec{a}_i$ и, если $\vec{a}_i \neq 0$, из условия следует, что $\vec{a}−\vec{a}_i = k_i\vec{a}_i$, то есть $\vec{a} = (1+k_i)\vec{a}_i$ для некоторого числа $k_i$. Если $\vec{a} \neq 0$, то $1+k_i \neq 0$, поэтому вектор $\vec{a}_i = \frac{1}{1+k_i}\vec{a}$ колипейрен $\vec{a}$. Очевидно, это противоречит условия, что средний вектор есть неоколипейрен. Следовательно, $\vec{a} = 0$.

9 класс
Задачка 1

Данное уравнение решений в простых числах не имеет. Один из способов доказать это состоит в следующем. Допустим противное. Во-первых, хотя бы одно из чисел x, y, z должно быть четным, то есть равнять 2. Во-вторых, рассматривая равенство $(3a \pm 1)^2 + (3b \pm 1)^3 = (3c \pm 1)^4$, убеждаемся, что оно невозможно и поэтому хотя бы одно из чисел x, y, z должно делиться на 3, то есть равнять 3. Остается подстановкой убедиться, что тогда требуется не может быть даже целым (расстоять 6 случав).

Другое решение этой задачи может быть основано на разложении исходного уравнения:
$$y^3 = z^4 − x^2 = (z^2 − x)(z^2 + x),$$
откуда, в случае простого y, получаем две возможность:
$$\begin{cases} z^2 − x = 1, \\ z^2 + x = y^3; \end{cases} \begin{cases} z^2 − x = y, \\ z^2 + x = y^2. \end{cases}$$

Одно уравнение в каждой из этих систем снова разлагается, после чего мы bistро приходим к противоречию с простой чисел x, y, z.

Задачка 4

Занутерем все пункты в порядке их следования по берегу озера: 1, 2, 3, …, n (за пунктом n следует пункт 1). Из условия вытекает, что из любых двух «соседних пар соседей» k−1 и k, k и k+1ровно одна пара связана рейсом, а поэтому связанные рейсами соседние пары пунктов черезют с несвязанным. Пусть, например, рейсами связанных пункты 1 и 2, 3 и 4, …, 2k−1 и 2k, … (рис. 2). Очевидно, осталось доказать существование решения между любыми двумя парами пунктов 2k−1 и 2k, 2l−1 и 2l, а это сразу следует из условия: либо пункты 2k−1 и 2l−1, либо пункты 2k и 2l соединены рейсом. Утверждение задачи доказано.

Отметим, что нашей рассужждение дает ограничение (необходимое условие!) на возможность число пунктов: n четно и n ≥ 4.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3

Рис. 4.

50

Интересно, что нужно система рейсов при $n=6$ не существует; с другой стороны, на рисунках 3, 4 показаны системы для $n=4$ и 8. Выяснить, при каких $n$ возможно система рейсов с указанным в задание свойствами — хорошая тема для исследования. (Ответ: $n=4k$. Конечно, от участников олимпiadы этого не требовалось.)

Задача 6

Докажем, что последовательность $(n_k)$ всегда является ограниченной. В самом деле, $n_k \leq n_{k+1} \leq n_k + 9^{c(n_k)}$ при всех $k$, где через $c(n_k)$ обозначено число цифр числа $n_k$. Допустим, что при каком-то выборе $n_1$ последовательность $(n_k)$ не ограничена. Выберем натуральное число $N$ так, чтобы выполнялись два условия: $10^N > n_1$ и $9^N < 10^{N-1}$ (так как $10^N$ неограниченно возрастает, а $(9/10)^N$ стремится к 0 при $N \to \infty$, такой выбор возможен). Из неограниченности $(n_k)$ следует, что, начиная с некоторого номера $k$, $n_k > 10^N$, поэтому среднее число $n_k < 10^N$ существует на большие — пусть это будет $n_p$. Но тогда $10^N \leq n_{p+1} \leq n_p + 9^{c(n_p)} < 10^N + 9^N < 10^{N-1}$, а это означает, что $n_{p+1}$ начинается с цифр 10 и $P(n_{p+1}) = 0$. Следовательно, $n_{p+2} = n_{p+1}$, $n_{p+3} = n_{p+1}$ и вообще $n_k = n_{p+1}$ при всех $k \geq p+1$, что противоречит предположению о неограниченности последовательности $(n_k)$.

Заметим, что из приведенных рассуждений следует, что на самом деле при любом выборе $n_1$ последовательность $(n_k)$ стабилизируется, то есть, значная с некоторого номера $k$, $n_k$ не меняется.

Задача 8

Подставив выражения для $p, d, S$ в доказываемые неравенства, после элементов преобразования получим неравенства $(x-y)(x-z) > 0$ и $(z-x)(z-y) > 0$, которые, очевидно, выполняются, либо $x < y < z$.

Другой способ решения этой задачи может быть основан на неограниченной квадратного трехчлена с корнями

$$\frac{1}{3} \left( \frac{1}{4} p \pm \sqrt{d^2 - \frac{1}{2} S} \right).$$

10 класс

Задача 1

Так как число 999 делится на 37, шестизначное число

$$\frac{a_1 b_1 c_1 a_2 b_2 c_2}{a_1 b_1 c_1 + a_2 b_2 c_2} = \frac{a_1 b_1 c_1}{(999+1)} + \frac{a_2 b_2 c_2}{(999+1)}$$

делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится число

$$\frac{a_1 b_1 c_1}{a_2 b_2 c_2} + \frac{a_2 b_2 c_2}{(999+1)} = (a_1+a_2) 100 + (b_1+b_2) 10 + (c_1+c_2).$$

Так как цифры $a_1$ и $a_2$, $b_1$ и $b_2$, $c_1$ и $c_2$ входят в последнее выражение симметричный образом, перестановки цифр внутри этих пар позволяют из данного числа получить еще семь чисел, делящийся на 37.

Далее заметим, что

$$10(100a+10b+c) = 999a + (100b+10c+a),$$

позному наряду с $\frac{a_1 b_1 c_1 a_2 b_2 c_2}{b_1 c_1 a_2 b_2 c_2}$ на 37 делятся также и числа

$$\frac{b_1 c_1 a_1 b_2 c_2 a_2}{c_1 a_1 b_1 c_2 a_2 b_2}.$$

Предыдущие перестановки позволяют из этих чисел получить еще семь чисел, делящийся на 37 шестизначных чисел перестановками их цифр можно получить более 23 других чисел; например, из числа 123 876 можно получить 47 чисел!

Задача 3

Очевидно, $(x; y; z) = (\pi k; \pi l; \pi m)$ — решение данной системы при любых целых $k, l, m$. Докажем, что других решений нет.

Вычитая из суммы первых двух уравнений трете и применяя известные формулы, получим

$$\sin x + \sin y + \sin (x+y+z) - \sin z = 0,$$

$$2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} +$$

$$+ 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \left( \frac{x+y}{2} + z \right) = 0,$$

$$4 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x+z}{2} \cos \frac{y+z}{2} = 0.$$

Следовательно, справедливо хотя бы одно из трех соотношений:

1. $\frac{x+y}{2} = \pi n$, 2) $\frac{x+z}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n,$

2. $\frac{y+h}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n,$

где $n$ — произвольное целое число.

В первом случае $y = -x+2\pi n$, $x+y+z = z+2\pi n$ и после подстановки в первое и последнее уравнение исходной системы получаем

$$\sin x + 2 \sin z = 0, \quad \sin z + 4 \sin z = 0,$$

откуда

$$\sin z = 0 \text{ и } \sin x = 0;$$

соответствует решение $(x; y; z)$ принадлежат к числу указанных.

Второй и третий случай разбияются аналогично.

Задача 6

Предложим противное. Из того, что при любом $a$ данное уравнение имеет конечное число решения, вытекает, что для некоторого числа $M$ при любом $a$ данное уравнение имеет более чем $M$ решений в натуральных числах. Телегр возьмем произвольное натуральное число $N$ и для каждой из $N^2$ пар $(x; y)$ натуральных чисел, удовлетворяющих условиям 1≤x≤N, 1≤y≤N, вычислим значение выражения $[x^{3/2}] + [y^{3/2}]$. Согласно предположению, каждое значение при этом получится не более чем $M$ раз, поэтому в результате получится не менее чем $N^2/M$ различных натуральных чисел. Среди них найдется число, не меньше, чем $N^2/M$; для некоторых пар $(x_0; y_0)$ будет выполнен неравенство

$$[x_0^{3/2}] + [y_0^{3/2}] \geq \frac{N^2}{M}.$$