Олимпиада по физике

Квант 1980, №11 с. 51, 52, 53, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 63, 64 Тег 388U

С другой стороны, так как $x_0, y_0 \leqslant N$ ,

$[x_0^{3/2}] + [y_0^{3/2}] \leqslant 2N^{3/2}.$

Таким образом, при любом натуральном $N$ должно быть выполнено неравенство

$\frac{N^2}{M} \leqslant 2N^{3/2},$

то есть $N \leqslant (2M)^2$ , что, очевидно, не так. Требуемое доказано.

Заметим, что это доказательство проходит для любого уравнения вида $[x^a] + [y^a] = a$ , где $0 < \alpha < 2$ . Для значения $\alpha = 3/2$ несколько участников олимпиды для конструктивное решение этой задачи, указывая для бесконечного числа значений $a$ серio из 1980 решений данного уравнения.

Т. Петрова, Л. Чернова

Олимпида по физике

Проходившая в этом году XIV Всесоюзная олимпида школьников была посвящена 110-летию со дня рождения В. И. Ленина.

С 17 по 22 апреля в Рите проходил заключительный этап олимпиды по физике. В нем приняли участие 147 школьников: 41 восемиклассик, 49 девятиклассик и 57 десятиклассик. Все они — победители ресурсikanских олимпидэ этого года или признаны предыдущего Всесоюзной олимпиды.

Торжественное открытие заключительного этапа олимпиды состоял 17 апреля в помещении Дворца пionеров. Министр просвещения ЛатвССР М. Я. Карклин пожелала школьникам большех успехов в предстоящей олимпийской борьбе и выразила надежду, что активная творческая работа, настоящийость в достижении целей и целеустремленность, с которой ребята готовятся к олимпiadам, помогут им в их дальнейшей жизни.

С привлекательным словом к участникам олимпиды обращался ветеран партии, член КПСС с 1917 года, участник Октябрьской революции Г. А. Ясинкович. Он поделился с ребятами восполняния о встрече с В. И. Лениным, расскаазал, какое незабываемое впечатление произвела на него ребь Владимира Ильча, обращенная к участникам III Всероссийского съезда комсомола. Г. А. Ясинкович выразил уверен-

Участики олимпиды по физике, получившие дипломы I степени.
В первом ряду (слева направо) П. Позняков, С. Чичкань, В. Горбунов, Я. Калда, Ю. Лейв, Р. Юшкайтис; в верхнем ряду — А. Пакалис, П. Родин, Д. Григорьев, Ф. Ратников, М. Семенченко.

ность, что наша молодежь всегда будет достойным продолжателем дел первых комсомольцев, будет стремиться овладеть знаниями, чтобы приносить пользу своей Родине.

Честной увлекательной борьбы и больших успехов пожелал школьник ректор Латвийского государственного университета им. Петра Стучки профессор В. О. Миллер.

18 апреля состоялся первый тур заключительного этапа олимпийды — теоретический. Восьмиклассик был предложен 4 задачи (на их решение отводилось 4 часа), а девятиклассик и десятиклассик — 5 задачи (на их решение давалось 5 часов). Вот условия этих задачи (почти все задачи вошли в Задачник «Кванта» — см. № 7 и 8 за этот год):

Teoretический тур

8 класс

Шарнирная конструкция состоит из трех ромбов, стороны которых относится как 3:2:1 (рис. 1). Вершина $A_3$ перемещается в горизонтальном направлении со скоростью $\vec{v}_0$ . Определите скорости вершин $A_1$ , $A_2$ и $B_1$ в тот момент, когда все углы конструкции прямы.
Небольшая дохведение капля покидает облако в безветренную погоду на большой высоте. В момент, когда ускорение капли стало равным 5 м/c², ее скорость составляла 7,5 м/c. Вблизи земли капля падает с постоянной скоростью. Попадя на боковое стекло движущегося автоматия, капля оставляет на ней след под углом 45° к вертикали. Оштрафует ли инспектор ГАИ водителя за превышение скорости, если разрешенная скорость движения автоматия 60 км/ч? Силу сопротивления воздуха считать прямо пропорциональной скорости капли.
В ведре находится смесь воды со льdom. Масса смеси 10 кг. Ведро внесли в комнату и сразу же начали изменять температуру смеси. Получившийся график зависимости $T(t)$ избражен на рисунке 2. Извесны удельная темпераность воды $c = 4200$ Дж/(кг·К) и удельная температура льда $\lambda = 3,4 \cdot 10^5$ Дж/кг. Определите, сколько льда в ведре, когда его внесли в комнату. Теплоемкость ведра пренебречь.
Электрическая цепь, состоящая из резисторов $R_1$ , $R_2$ и $R_3$ , подключана к двум источникам постоянного напряжения $U_1$ и $U_2$ , как показано на рисунке 3. При каких условиях сила тока через резистор $R_1$ будет равна нулю?

9 класс

Шарнирная конструкция состоит из трех ромбов, стороны которых относится как

ГАИ водителя за превышение скорости, если разрешенная скорость движения автоматически 60 км/ч? Силу сопротивления воздуха считать пропорциональной квадрату скорости капли.

В научно-фантастической поверхности описывается аварийная ситuation, в которой астронавт массой $M=100$ кг оказывается $l=100$ м от корабля со стаканом замерзшей воды. Обеспечивая сублиманию (испарение) льда, астронавт возврашает на корабль. Реален ли такой способ возврашения? Оцените, за какое время астронавт возвраится на корабль. Считайте, что сублимация льда происходит при постоянной температуре $T=272$ К. Давление насыщающих паров при этой температуре $p_H=550$ Па. Универсальная газовая постоянная $R=8,3$ Дж/(моль·К). Размеры стакана и массу льда задайте самостояльно.
Направленный поток электровылегает из тонкой широкой щели (рис. 5) со скоростью $\vec{v}(|\vec{v}|=10^5$ м/c). Концентрация электров в потоке $n=10^{10}$ м $^{-3}$ . На каком расстоянии от щели толщина пучка увеличится в 2 раза? Масса электрона $m=9 \cdot 10^{-31}$ кг, заряд электрона $e=1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл, диэлектрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/m.
Для получения напряжения, величины которого мало зависит от температуры, собранна схема по рисунку 6. Вольтамперные характеристики диода $D$ при трех различных температурах окружаюшей среды: $t_1=125^\circ C$ , $t_2=25^\circ C$ и $t_3=-60^\circ C$ приведены на рисунке 7. Напряжение источника при температуре $25^\circ C$ равно $U=6$ В и с увеличением температуры возратает на $25 \cdot 10^{-3}$ В/K. Найдите напряжение между атакими А и Б при $t=25^\circ C$ и зависитность этого напряжения от температуры.

10 класс

С южного и северного полосов Земли одновременно стартуют две пакеты с одинаковыми начальными скоростями, направленные горизонтально. Через время $t=3$ ч 20 мин пакеты оказывались на максимальном удалении друг от друга. Определите максимальное расстояние между пакетами. Ускорение свободного падения на Земле считать известным. Радиус Земли $R_3=6400$ км.
Громкоговоритель имеет диффузор с площадью поперечного сечения $S=300$ см $^2$ и массой $m=5$ г. Резонансная частота диффузора $v_0=50$ Гц. Какой оказывается его резонансная частота, если поместить громкоговоритель на стенке закрытого ящика объемом $V=40$ л, как показано на рисунке 8? Расчет проводится в предположении, что температура воздуха внутри ящика не изменяется при колбанях диффузора.
Схема, изобравенная на рисунке 9, состоит из двух одинаковых резисторов $R_2=R_3=R$ и двух одинаковых непленных резисторов $R_1=R_4$ , волтамперная характеристика которых имеет вид $U=\alpha I^2$ , где $\alpha$ — неоторный извлечный постоянный коэффициент. При каком напряжение источника питания $U_0$ сила тока, через галванометр Г равна нулю?
Цепь, состоящая из двух конденсаторов емкости $C_1$ и $C_2$ ( $C_2>C_1$ ) и двух идеальных диодов $D_1$ и $D_2$ , подключаена к источнику переменного напряжения $u=U_0 \cos \omega t$ (рис. 10). Определите зависимости напряжения на конденсаторах от времени в установленном режиме. Изобравите полученные зависимости на графике. Противление идеального диода в прямом направлении равно нулю, в обратном — бесконечно величко.

десятиклассики — в Латвийском государственном университете.
Приведем условия этих задач и разберем их решения.

8 класс

Определение КПД наклонной плоскости

Задание 1. Предложите метод измерения КПД наклонной плоскости с помощью дианамометра и линейки.

Задание 2. Экспериментальное изучение зависимость КПД наклонной плоскости от ее высоты и построите график этой зависимости.

Задание 3. Сравните полученную вам экспериментальную зависимость КПД наклонной плоскости от ее высоты с теоретической.

Дано: наклонная плоскость, брусок, дианамометр, измерительная линейка, миллиметровая бумага.

В данной задаче коэффициент полезного действия η определяется по формуле

$\eta = \frac{mgh}{|F|l}$

Дианамометром измеряют модель силы $\vec{F}$ , с которой надо равномернотянуть брусок массой $m$ по наклонной плоскости длиной $l$ при различных высотах плоскости $h$ .

Для определения теоретической зависимости КПД от высоты расстоянием рисунок 1. Для $|F|$ и $\eta$ получаем соответствующее

$|\vec{F}| = mg(\mu \cos \alpha + \sin \alpha),$

$\eta = \frac{1}{\mu \text{ctg} \alpha + 1} = \frac{1}{\mu \sqrt{l^2/h^2} - 1} + 1.$

Коэффициент трения $\mu$ можно найти, измерив $|\vec{F}|$ при $h = 0$ : $\mu = |\vec{F}|/mg$ . На рисунке 2 приведена характеристика зависимостей коэффициента полезного действия наклонной плоскости от ее высоты ( $l = 0,5$ м, $\mu = 0,3$ ).

Определение плотности жидкости

Определите плотность данной жидкости.

Дано: сосуд с неизвестной жидкостью, сосуд с водой, измеритель-ная линейка, два металлических бруска, рычаг.

Причеме. Плотность воды приятыть равной $\rho_B = 10^3 \text{ kg/m}^3$ .

Нало проведится три измерения по установлению равновесия рычага, когда один брусок находится попеременно в воздухе, в воде, в неизвестной жидкости, а другой брусок — все время в воздухе. При этом разумно длину рычага с первым группом оставляется неизменной, а длину рычага со вторым группом соответствующего. Запишем уравнение моментов сил для трех случая равновесия рычага (рис. 3):

$m_1 gl = m_2 gl_1,$

$(m_1 g - \rho_B V g) l = m_2 gl_2,$

$(m_1 g - \rho_B V g) l = m_2 gl_3.$

Исключая из этих уравнений $m_1, m_2, V$ и $g$ , получаем формулу для определения плотности $\rho$ неизвестной

Рис. 3.

жидкость (расторма медного купо-роса):

$\rho = \frac{l_1 - l_3}{l_1 - l_2}.$

9 класс

Определение коэффициента поверхности наяжения жидкости

Определите коэффициент поверхности наяжения данной жидкости, используя жидкость, коэффициент поверхности наяжения которого известен, сосуд с жидкостью, коэффициент поверхности наяжения которого известен, сосуд с жидкостью, коэффициент поверхности наяжения которого надо определить.

Приемная формулу $h = \frac{2\sigma}{\rho g r}$ для высоты подьема жидкости в капилляре для двух различных жидкости, получаем выражение для определения коэффициента поверхности наяжения σ неизвестной жидкости (расторма медного купо-роса и поваренной coli) через коэффициент поверхности наяжения σₙ известной жидкости (воды):

$\sigma = \frac{h \rho}{h_n \rho_n} \sigma_n.$

Здесь $h$ и $h_n$ — высоты подьема неизвестной и известной жидкости в капилляре. Отношение плотности

увеличается одинаково; начиная с некоторого положения движения reостата, дальнейшее увеличение тока в цепи увеличает накал лампочки Л1, а накал лампочки Л2 не меняет. Последнее означает, что при увеличении тока в цепи направление на лампочке Л2, а значит и на «черном ящике», не меняется.

При противоположном включении «черного ящика» ток через лампочки Л2 не течет (вернее, почти не течет) даже при очень большом токе в цепи (что можно заметить по яркому свечению лампочки Л1). Следовательно, направление между точками 1 и 2 очень мало.

Таким образом, можно сделать вывод, что «черный ящик» стабилизирует направление между клеммами 1 и 2. В первом случае направление не превышает некоторого определенного значения (порядка 5,6 В), а во втором случае оно превышает мало. И действительно, в «черный ящик» был помещен стабилизатор (Д815A).

Многие учащиеся, заметив, что «черный ящик» хорошо проводит ток в одном направлении и плохо в другом, быстро сделали вывод о том, что в «черном ящике» находится дидод, и не пытаюсь изучить реакцию «черного ящика» при максимальном возможном токе.

10 класс

Учебная программа предусматривает знакомство учащихся с генератором звуковой частицы, осцилографом и других современными физическими приборами. Поэтому для десятиклассников одна задача была составлена с учетом применения таких приборов. Так как конкретный тип осцилографа или генератора звука мог быть и не знаком участикам, они могут получить любую консультативную по приборам.

Опыт последних лет показал, что примерно/tree участиков олимпiad пользовются личными микрокалькуляторами. Это дает им некоторое преимущество. Чтобы все участики заключительного типа были в равных условиях, на каждом рабочем столе был микрокалькулятор «Электронка» (как это уже четifie года подряд делается на республиканских физических олимпадах). Каждый мог получить необходимую консультативную по практически этого не потребовалось. Применение микрокалькутора на олимпаде позволяет ставить наряду с качественными интересными интересными задачи.

Исследование затухающих колебаний

Задание 1. Изучите работу преобразования сцена и установите, как изменяется синусоидальный сцена, подаваемый на его вход с выхода генератора звуковой частицы.

Задание 2. Определите индуктивность катушки Lx, наблюдая на экране осцилографа затухающие колебания в паралельном колебательном контуре LxC (рис. 5).

Задание 3. Включите вместе колебательного контура диамический громкоговоритель и получить на экране осцилографа осцилографму, подобную той, какая получалась в задании 2. Объясните полученный результат.

Дано: генератор звуковой части Γ, преобразователь сцена ПС, электронный осцилограф ЭО, паралельный колебательный контур LxC, диамический громкоговоритель ДГ, микрокалькутор, провода.

С помощью осцилографа легко было понять, что преобразователь сцена преобразовадает синусоидальный сцена в импульсный (рис. 6, а). Этими коротками импульсами можно возбудить свободные колебания в контуре, которые являются затухающими (рис. 6, б).

Количество максимумов между заданной импульсами позволяет определить частоту свободных колебаний контура. Тогда по формуле Томсона, зная номинальный емукость конденсатора, можно посчитать индуктивность катушки.

Если вместе колебательного контура включить громкоговоритель, на экране осцилографа опять можно получить картину затухающих колебаний. Правда, для этого надо изменить частоту заданной импульсов, поскольку колебания громкоговори-

громкоговорителя, колеблясь, индуцирует в катушке громкоговорителя ЭДС, и на экране осцилографа появляется картина затухающих механических колебаний (а не электронагнитных). Многие ошибочно предполаганы, что катушка с дифузором образуют колебательный контур.

Исследование хода лучей в проэрачной прямогольной пластинке
Задание 1. Предложите метод (методы) построения хода лучей в проэрачной прямогольной пластинке и измерения углов преломления β при различных углах падения α, пользовать только миллиметровой бумагаой.

Задание 2. Экспериментально исследуйте и построите зависимость угла преломления β от угла падения α.

Задание 3. Используя результаты, полученные в задании 2, определите: а) коэффициент преломления матеріала, из которого изготовлена проэрачная прямогольная пластинка; б) угол преломления β₀ при угле падения α₀ = 90°.

Дано: проэрачная прямогольная пластинка размером 20×32×100 мм (плоскости 32×100 мм — матовые), микрокалькулятор, миллиметровая бумагаа.

Если положить пластинку матовой поверхности на миллиметровую бумагу, то можно заметить, что продолжением линии AB является линейной CD (рис. 7, а). Отмечая точки B и C и проекции граней пластинки, строим ход лучей. Этим методом можно добиться высокой точности определения углов падения и преломления. Более экономичным может оказаться метод, когда пластинка положена на миллиметровую бумагу проэрачной гранью. В этом случае углы определяются по формулам (рис. 7, б)

α = arctg $\frac{a}{c}$ и β = arctg $\frac{b}{c}$ .

Правильную зависимость между углами падения и преломления, которая является нелинейной (рис. 8), можно получить только в

том случае, если изменения проводить в достаточно широком интервале значений углов.

Для точного определения коэффициента преломления надо проведсти несколько изменений при одном угле падения или по экспериментальной данным построить график $\sin \beta = f(\sin \alpha)$ . Согласно теории, эта зависимость должна быть линейной: $\sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n}$ . Применение графикаского метода равноценно усреднению. Использование микрокалькулятора позволяет обойтися без углометра и проводится за короткое время.

Учитывая, что участником olимппады после возврашения домой было бы интересно воспроизвести задачи экспериментального типа в своей школе, организаторы подарили им комплект оборудования (преобразователь сигнала, диамический громкоговоритель, колебательный контур и произрачную прямогольную пластинку).

Призеры XIV Всегоозной olимппады ШКОЛЬНИКОВ

Математика

Дипломы I степени

по 8 классам получили
Матюшов C. (Вологда, с.ш. № 29),
Титенко B. (Пухович);
по 9 классам —
Бурадо Д. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Гайсинский M. (Ташкент, с.ш. № 103),
Гринберг H. (Киев, ФМШ № 145);

по 10 классам —
Зайцев Ю. (Видное, с.ш. № 6),
Разборов А. (Москва, с.ш. № 2).

Дипломы II степени

по 8 классам получили
Бриталс Я. (Рига, ФМШ № 1),
Кошевец И. (Новоросский, с.ш. № 40),
Матвеев К. (Новосибирск, с.ш. № 74),
Перельман Г. (Ленинград, с.ш. № 301),
Савкин Я. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Тупайло С. (Киев, ФМШ № 145),
Фресер В. (Вольск, с.ш. № 12),
Фульман И. (Гомель, с.ш. № 2),
Шевчишин В. (Львов, с.ш. № 11);

по 9 классам —
Алания Л. (Тбилиси, ФМШ им. Комарова),
Алексеев В. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Гоевоберидзе Т. (Поти, с.ш. № 4),
Гринчук М. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Деряцин Д. (Москва, с.ш. № 2),
Зильбербер А. (Кременчуг, с.ш. № 19),

Крижановский O. (Харьков, с.ш. № 27),
Матвеев A. (Ульяновск, с.ш. № 5),
Минаарский A. (Ленинград, с.ш. № 239),
Орел М. (Ленинград, с.ш. № 239),
Рабинович В. (Тула, с.ш. № 36),
Фомин Д. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Чанышев A. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Чеканов Ю. (Москва, с.ш. № 91);

по 10 классам —
Артюшкин И. (Пенза, с.ш. № 18),
Балинский A. (Львов, с.ш. № 11),
Боринев A. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Ижболдин O. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Канель A. (Москва, с.ш. № 2),
Каплан A. (Сумгант, с.ш. № 11),
Концевич M. (Москва, с.ш. № 91),
Кузьмин Ю. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Курчатов C. (Саратов, с.ш. № 13),
Мередчик A. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Стадниченко C. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Ткаченko Ю. (Киев, ФМШ № 145).

Дипломы III степени

по 8 классам получили
Бурченко В. (Новокузнецк, с.ш. № 49),
Гринв О. (Киев, ФМШ № 145),
Дъячков A. (Москва, с.ш. № 19),
Кордзая К. (Тбилиси, ФМШ им. Комарова),
Крупник И. (Кишинев, с.ш. № 40),

Левкин М. (Душанбе, с.ш. № 8),
Николаевский Ю. (Харьков, с.ш. № 131),
Самборский С. (Истра, с.ш. № 1),
Спивак А. (Стерлитамак, с.ш. № 10),
Ходоровский В. (Нововоронежский, с.ш. № 1),
Шарапов С. (Ташкент, с.ш. № 110),
Янгель А. (Нью);

по 9 классам —
Араккин А. (Новокузнецк, с.ш. № 11),
Барздины Г. (Рига, ФМШ № 1),
Белоцерковский Ю. (Минск, с.ш. № 64),
Волосивец С. (Саратов, с.ш. № 13),
Грасманис М. (Рига, ФМШ № 1),
Драмьян Р. (Ереван, ФМШ № 1),
Кааграманов А. (Белорецк, с.ш. № 14),
Маланок Т. (Киев, ФМШ № 145),
Мелгалвис А. (Рига, ФМШ № 1),
Модилевский Р. (Фрунзе, с.ш. № 61),
Овчинников П. (Вязники, с.ш. № 11),
Рублев Б. (Киев, ФМШ № 145),
Шварцман В. (Белгород, с.ш. № 9),
Эпиктетов М. (Алма-Ата, РФМШ);

по 10 классам —
Бесплатных С. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Дубровский К. (Славянск, с.ш. № 5),
Каненс Я. (Рига, ФМШ № 1),
Келарев А. (Свердловск, с.ш. № 141),
Колдоркин А. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Лацис С. (Стучка, с.ш. № 2),
Лернер Л. (Вильнюс, с.ш. № 8),
Ломазкий Н. (Киев, ФМШ № 145),
Мааддеев Б. (Уфа, с.ш. № 114),
Набоков Р. Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Павлоцик С. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Попелохин А. (Киев, с.ш. № 2),
Радченко В. (Киев, ФМШ № 145),
Сивацкий А. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Файндауз Д. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ).

Физика

Дипломы I степени

по 8 классам получили
Калда Я. (Таллин, с.ш. № 1),
Позняков П. (Петрозаводск, с.ш. № 17),
Чичкань С. (Киев, с.ш. № 125);

по 9 классам —
Грицорьев Д. (Москва, с.ш. № 57),
Лийв Ю. (Таллин, с.ш. № 1),
Родин П. (Ленинград, с.ш. № 239),
Семенченко М. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ);

по 10 классам —
Горбунов В. (Коммунарск, с.ш. № 22),
Пакалис А. (Тукумс, с.ш. № 1),
Ратников Ф. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Юшкайтис Р. (Вильнюс, с.ш. № 9),

Дипломы II степени

по 8 классам получили
Алексеев А. (Ленинград, с.ш. № 202),
Бергельсон А. (Москва, с.ш. № 2),
Ким С. (Алмалык, с.ш. № 15),
Коваленko А. (Черкассы, с.ш. № 1),
Николаев В. (Харьков, с.ш. № 5),
Панасок А. (Одесса, с.ш. № 116),
Сюньков С. (Саратов, с.ш. № 13);

по 9 классам —
Байков П. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Ланев А. (Петрозаводск, с.ш. № 17);

по 10 классам —
Голобоков А. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Калузин П. (Москва, с.ш. № 444),
Китаев А. (Воронеж, с.ш. № 58),
Коваленko А. (Львов, с.ш. № 69),
Одинцов А. (Москва, с.ш. № 2),
Пивоваров В. (Краснойрск, с.ш. № 10).

Физика

Дипломы I степени

по 8 классам получили
Калда Я. (Таллин, с.ш. № 1),
Позняков П. (Петрозаводск, с.ш. № 17),
Чичкань С. (Киев, с.ш. № 125);

по 10 классам —
Авруцкий И. (Киев, ФМШ при КГУ),
Андрианов А. (Москва, с.ш. № 2),
Власенко С. (Бобруйск, с.ш. № 12),
Геоджавев В. (Долгопрудный, с.ш. № 5),
Козловский В. (Новолукомль, с.ш. № 1),
Кунингас О. (Таллин, с.ш. № 1),
Овсянников Д. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Сокок А. (Талгар, с.ш. № 1).

Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.

Рис. 4.

По правилам игры любая пара кораблей должны отстоять друг от друга не меньше чем на одной поле. Окружим каждый корабль каждой шириной в половину поля (рис. 3); полученный прямогольник называем расширенным корабlem. Найдем площад семи расширенных кораблей, которые нам надо потопить. Площад расширенного катара — 4 клетки (2×2), эсмница — 6 клеток (3×2), крепсера — 8 клеток (4×2). Общая площад составляет 36 клеток. Площад расширенной доски также равна 36 клеткам, то есть расширенные корабли полностью покрывают ее. Из этого следует, что угловые поля доски 5×5 обязаательно заняты кораблями (иначе угловая площад расширенной доски «пропадает»). Теперь легко перебрать все возможные расширенные корабли. Их всего пять (рис. 4, а) — д); повороты и отражения доски мы не учитываем).

Проведенный анализ позволяет эффективно завершить игру. Первыше четыре выстрела произведем по углам нашей доски 5×5. Как мы знаем, все они достигают целей. Если при этом три катара будут пополены (рис. 4, а), то расположение остальных кораблей определяется однозначно. Пусть потоплен только один катар. Сорентировав доску так, чтобы этот катар стоял на поле а1, пятый и шестой выстрелы произведите по полям а3 и в1. От результатов этих двух выстрелов зависит, какой из случав — «б» или «в» — имеет место. Если выстрелы по углам приводят к потопленю двух катаров, то, соорентирован доску так, чтобы эти катара стояли на вертикали а, пятый и шестой выстрелы произведите снова по полям а3 и в1. По результатам этих выстрелов вы почтите, какой из случав — «e» или «d» — избран противником.

Таким образом, после шести ходов мы имеем полную информацию о расширенении непрямых кораблей и следующими пятую ударами победного завершения бой. Рассмотренный пример показывает, что в критических ситуациях отграших в морской бой требуют немалое искусство и выдержка.

Сколько вариантов

9⁴. 2·19·9·5·3·2⁴=41 040. 3. 33³·10⁴=359 370 000. 4. 88⁶. 5a. 9·10²=900. 56. 9·9·10³=81 000. 5b. 5·4·7·7·6=5 880. Цифры выбираем в следующем порядке: вторая, четверняя, третья, пятая. 5г. 2·5·6³=2 160. Сначала выбираем пятую цифру (2 или 6), затем четвертуо

(любую нечетную), третий, вторую, первию.
6. Правое неравенство следует из того, что первое звено ломанной можно выбрать четырьмя способами, а каждое следующее — не более чем треяя. Для доказательства ломанье, в которых каждое звено направлено на «север» или на «задад».
7. 7! 8. 8! 9. 9! Замените цифры 6 и 9 одной «цифрой» 96. 10. 4! (10!)⁴.
11. 12 • 8! Сначала поставим цифры 2 и 3, а затем оставшиеся восемь цифр на восемь свободных местах. 12. 2⁹. Выберите множество монет, попадающих в левый карман.

Силы трения и движения

При α ≤ arctg μ |Fτρ| ≤ mg sin α;
при α > arctg μ |Fτρ| = μmg cos α рис. 1.
L = $\frac{2l\mu}{\sqrt{1+\mu^2}} \approx 2l\mu = 0,1\text{m}$ .
|a_{max}| = μg; сила направлена в ту же сторону, что и ускорение.
N = μm|v|/η ≈ 84 кВт.
Выгоднее затормить.
Брусок будет сокальзывать вниз.

Магические восемьмугольники
(см. 4-ю с. обложки)
Квадрат по диагонали:
21 17 13 9 5
14 10 1 22 18
2 23 19 15 6
20 11 7 3 24
8 4 25 16 12

«Квант» для младших школьников
(см. «Квант» № 10)

156 × 7606 = 1 186 536.
Пусть a и b — длины катетов прямого треугольника ABC; c — длина гипotenузы. Тогда (рис. 5) |ED| = a + b - c. Но a = r + x, b = r + y, c = x + y, где r — радиус вписанной окружности (рис. 6).
Значит, |ED| = r + x + ry - x - y = 2r.
Ответ. Верно.
Посмотрим на последние две цифры степени трейки. Получим такой набор чисел:
03, 09, 27, 81, 43, 29, 87, 61, 83, 49, 47, 41, 23, 69, 07, 21, 63, 89, 67, 01, 03,…
Мы видим, что среди первых двадцатных степеней трейки действительно нет таких, у ко-

Рис. 5.

Рис. 6.
торых цифра десятков была нечетной. Но, начиная с двадцать первого, числа в нашем наборе будет повторяться. Поэтому так будет для всех степеней трейки.
4. Ответ. Верно.
Составим такую таблицу:

| | Голубо-глазные | Неголубо-глазные |
| :— | :— | :— |
| Блондины | a | c |
| Неблондины | b | d |

Тогда $\frac{a}{b} > \frac{a+c}{b+d}$ . Отсюда ad > bc, то есть $\frac{a}{c} > \frac{a+b}{c+d}$ .
5. Нетрудно сообщить, что a = 2. Поэтому $(2bc)^2 = bc1bc$ или $(200 + bc)^2 = 1001bc + 100$ , откуда $bc^2 - 601bc + 39900 = 0$ и $bc = 76$ . Таким образом, $abc = 276$ .

Номер готовили:
А. Виленкин, А. Егоров, И. Клумова, Т. Петрова,
А. Сосинский, В. Тихомирова, Ю. Шиханович

Номер оформили:
Г. Красников, Н. Кузьминна, Э. Назаров,
М. Сидоров, И. Смирнова, Л. Черниевская

Зав. редакцией Л. Чернова

Художественный редактор Т. Макарова

Корректор М. Медведская

113035 Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16,
«Квант», тел. 231-83-62
Сдано в набор 12.9.80
Подписано в печать 20.10.80.
Печать офсетная
Бумага 70 × 108¹/16. Физ. печ. л. 4
Усл. печ. л. 5,6 Уч.-изд. л. 6,60 Т-17665
Цена 30 коп. Заказ 2277
Тираж 260 460 экз.

Чеховский полигraphический комбинат
Союзполигraphпрома
Государственное комитета СССР
по делам издательств, полигraphи и книжной торговли
г. Чехов Московской области

Магические воскмигулники
(См. текст на с. 37)

7 15 18
23 1 9
14 17 25

4 7 15
20 23 1
6 14 17

21 4 7
12 20 23
3 6 14

18 21 4
9 12 20
25 3 6

15 18 21
1 9 12
17 25 3

16 24 2
7 15 18
23 1 9

13 16 24
4 7 15
20 23 1

10 13 16
21 4 7
12 20 23

2 10 13
18 21 4
12 20

24 2 10
15 18 21
1 9 12

5 8 11
16 24 2
7 15 18

22 5 8
13 16 24
4 7 15

19 22 5
10 13 16
21 4 7

11 19 22
10 13 21 4

8 11 19
24 2 10
15 18 21

14 17 25
5 8 11
16 24 2

6 14 22 5 8
13 16 24

3 6 14
19 22 5
10 13 16

25 3 6
11 19 22
2 10 13

17 25 3
8 11 19
24 2 10

23 1 9
14 17 25
5 8 11

20 23 1
6 14 17
22 5 8

12 20 23
3 6 14
19 22 5

9 12 20
25 3 6
11 19 22

1 9 12
17 25 3
8 11 19