Геометрия листа бумаги

17

ГЕОМЕТРИЯ ЛИСТА БУМАГИ

Доктор физико-математических наук
Д. В. ФУКС

1

Возьмите в руки лист бумаги и, не сминая, изогните его. У вас в руках окажется кусочек поверхности, форма которого зависит от того, как вы изогните лист. Образцы поверхностей, которые могут получить, показаны на рисунке 1.

Одно дело не всякая поверхность может быть представлена как изогнутый бумажный лист. Например, общеизвестно, что бумажному листу нельзя придать сферическую форму: если прижать лист бумаги к глобусу, на листе обязательно появятся складки. Лист бумаги можно, не сминая, свернуть в трубочку или в фунтик, но нельзя, избегнуть складок, свернуть его вчетверо как носовой платок (рис. 2).

Определение. Поверхности, которые можно представить как изогнутый лист бумаги, называются развертывающимся.

Не определение, а бессмыслица, ничего путного из него выйти не может, — скажет Педант и будет прав. Не в том прав, что это определение чем-то плохо, а в том, что читать дальше ему не стоит: ни строих определений, ни доказательств у нас не будет. Лучше сказать, все доказательства у нас (как в одном древнеиндийском геометрическом тракте) будут, в существии, состояние из одного слова: смотри!

Все же не для Педанта (он уже захлопнул журнал), а для Вдумчивого Читателя, почему: физические свойства листа бумаги, существенные для нашей определения, — это его гибкость и нерастижимость (нежимаемость). Второе означает, что нарушенная на листе линия может при изгибании изменить свою форму, но сохраняет свою длину; первое означает, что никаких других ограничений на характер изгибания не существует.

2

To, что развертывающимся является далеко не все поверхности, видно уже из того, что
всякая развертывающая поверхность является линейчатой.

Это означает, что к изогнутому листу бумаги можно в любом месте приложить спицу так, чтобы она прилегала к бумаге по целому отрезку,

Рис. 1.

18

Рис. 2.

с двух сторон охватывающей выбранную точку. (Доказательство: эксперимент — см. рис. 3.) Другими словами, развертывающая поверхность состоит из прямолинейных отрезков, содержащихся в ней целиком. Эти отрезки называют прямолинейными образующими или просто образующими поверхности.

Если какая-нибудь точка развертывающейся поверхности является внутренней точкой двух не проходящих одна по другой образующих, то целый кусок влизывая этой точки является плоским (рис. 4). Такой случай мы будем исключать из рассмотрения, т. е. мы предполагаем, что

никакой, даже самый маленький, кусок нашей поверхности не является кусом плоскости.

Таким образом, через каждую точку нашей поверхности проходит в точности одна прямолинейная образующая. Эти образующие составляют непрерывное семейство отрезков, заметающие нашу поверхность (см. рис. 5). Некоторые из этих отрезков вырождаются в точки, лежащие на границе нашего кусака поверхности. (Последнее замечание — для замачившей тела Педанта.)

3

Не следует думать, что всякая линейчатая поверхность является развертывающейся. Линейчатых поверхностей много. Прямолинейный отрезок, как угодно движущийся в пространстве, заметает линейчатую поверхность.

Возьемем какую-нибудь линейчатую поверхность, выберем прямолинейную

Рис. 3. Рис. 4. Рис. 5.

20

на рисунке 5 и попробу представить себе, какой форму поверхность получится, если продолжить образующие в ту сторону, в котором они сходятся (рис. 11). Потом возьмли журнал и узнал ответ. Если ты не знал и угадал, значит ты — Геометр.

А ответ таков: поверхность не будет главкой; на ней появится ребро возврата (рис. 12, а). Это — линия, в которой сечение поверхности плоскостью выглядит примерно как показано на рисунке 12, б.

5

Я обещал воздерживать от доказательств. Не потому, что я их вообще не люблю (это, конечно, неправда), и не потому, что доказательства моих утверждений, в частности, последнего утверждения, слишком сложны и не могут быть изложены доступным школьнику образом (это — правда только отчасти). Дело, скорее, в том, что доказательства (во всяком случае, известные мне) теorem этой статьи протекают в области формул: заданным поверхностью уравнениям, записем через произвольные условия развертываемости и так далее, и так далее. Я не хочу излагать такое доказательство: оно вряд ли чтоибудь прояснит. Но все же пусте не доказать утверждение, а убедить читателя в том, что оно верно, я попытаюсь.

Еще раз посмотрите на рисунок 5.

Рис. 10. Рис. 11. Рис. 12.

Как и всякое изобравнение пространственной фигуры, он представляет собой проекцию этой фигуры на плоскость — журналную страницу. Итак, мы имеем семейство прямых на плоскости. Срисуйте его на отдельный лист и продолжите все прямые. Вы видите, что все прямые сгущаются к некоторой кривой, которой они касаются (рис. 13). В анализе доказывают совсем простую теорему, что такая «огибающая» есть у всякого непрерывного семейства прямых, если только эти прямые не все параллельны и не проходят все через одну точку (похожее верно и для семейства кривых). Вот вы и увидели ребро возврата.

Но,— возражает Вдумчивый Читатель,— это рассудение, если так его можно назвать, применимо к любой линейчатой поверхности. Скажем,

21

на изображении однополостного гиперболона (рис. 9) тоже присутствует линия, которой касаются проектированные на чертеж образующие (боковая гипербола), а на поверхностиникакого ребра возврата нет.

Вдумный Читатель прав, как всегда; но у меня есть в запасе еще один аргумент, который, веройто, его убедит. Линия, о которой он говорит, — это край изображения поверхности, или, как говорят, ее видимый контур. В точках этой линии касательная плоскость к поверхности перендикулярна чертежу (см. рис. 14, на котором показан видимый контур сферы). Но у развертывающейся поверхности касательная плоскость во всех точках образующей одна и та же (помните — приложенная линейка!), а в точках, не принадлежих предполагаемому ребру возврата, она явно не перпендикулярна плоскости чертежа. Значит, она не perpendicularна ей и в точках этой линии, а расположена как показано на рисунке 15, что с неопровержимостью показывает, что наша линия — ребро возврата.

На все это можно взглянуть с другой стороны: развертывающаяся поверхности (образующие которой не параллельны и не проходят все через одну точку) состоит из прямых, касающийся одной линии — ребра возврата. Это значит, что развертывающаяся поверхности можно получить так: взять пространственную кривую (никакой кусочек которой не является плоским) и проведсти к ней все касательные (рис. 16). Эти касательные заметут развертывающую表面, а исходная кривая будет ее ребром возврата. При этом

22

всякая нецилиндрическая и некончическая развертывающая поверхность может быть так получена (теорема Эйлера).

6

Это все? Нет, как вы сейчас увидите. Увеличим мысленно развертывающая поверхность до таких размеров, чтобы по ней можно было ходить, и подем по ней перепendlкулярно образуошим (рис. 17). Образующее касаются ребра возврата, и при нашем движении оно будет либо быстро удаляться от нас, либо быстро приближаться к нам. А в чем может заклониться переход из одного состояния в другое? Посмотрите на рисунок 18. На нем изображен лист бумаги, образующее и два отрезка ребра возврата. А что между ними? Плавная линия, наполобие пунктира на этом рисунке? Нет, эта линия не может всюду касаться образуоших. Значит, остается одно:

ребро возврата само имеет точку возврата (рис. 19).

Как же устроена поверхность выполнiza этой немыслимой точки? Начнем с картини. На рисунке 20 показана сама поверхность. Кроме ребра возврата она обязательно имеет линию самопересечения. На рисунке 21 показаны ceчения этой поверхности несколькими параллельными плоскостями. Чтобы в какой-то месте убедиться в том, что поверхность выглядает именно так, будем действовать как в теореме Эйлера: возьмем предполагаемое ребро возврата и проведем к нему всевозможные касательные.

Чтобы построить «типичную» пространственную кривую с точкой воз-

Рис. 20. Рис. 22. Рис. 23.

Рис. 24.

23

врата, возьмем плоскую кривую с точкой возврата и слегка изогнем плоскость (рис. 22). Тепер проводим к этой кривой касательные и посмотрим на получившееся сверху. Каждый касательную разобъем на три части как показано на рисунке 23. Тепер отделно на рисунем первыше, вторые и третьи части всех касательных (рис. 24). На первой картине получила верхняя, слегка пронутая, перепонка между двумя ветвями ребра возврата; на второй картине получилось счленение двух кусков между ветвями ребра возврата и линей самопересечения; наконец, на третьей картине получилась оставшаяся часть поверхности. Заметим, что фигуры, изображенные на второй и третьей картиках, имеют излом вдоль линии самопересечения. Поверхность в целом называется ласточным хвостом (похоже?).

Итак, произвольным образом изогнутый, но не смятый, лист бумаги превращается, после неограниченного продолжения его прямолинейных образующих, в поверхность, имеющий ребро возврата, которое само имеет, быть может, не одну, точку возврата. Вблизи каждой точки возврата ребра возврата поверхность устроена как ласточин хвост, в частности, она имеет самопересечения. Вот какую интересную геометрию имеет обикновенный лист бумаги (см. 4-ю страницу обложки).

7

В заключение — еще несколько слов о ласточном хвосте. Эта поверхность возникает в трехмерной геометрию очень часто, к ней приводит многое естественные задачи анализа и механики. Но впервые ее изображение (не назван: последнее придумано в 60-e годы нашего века знаменитым французским математиком P. Томом) появилось в прошлом вке на страницах алгебраических книг в следующем контексте.

Рассмотрим уравнение
$$x^n + a_1 x^{n-2} + a_2 x^{n-3} + \dots + a_{n-1} = 0.$$
Оно может иметь от 0 до $n$ решение

ний. Например, уравнение
$$x^3 + ax + b = 0$$
может иметь 3, 2 или 1 решение. Чтобы узнать, сколько именно, нужно нарисовать на плоскости с координатами $a, b$ «дискримантую кривую» $4a^3 + 27b^2 = 0$ (рис. 25). Если точка $(a, b)$ лежит внутри фиолетовой зоны, уравнение имеет 3 решения, если она лежит на ее границе, кроме острия, — то 2 решения, в остальных же случаях уравнение имеет 1 решение.

Аналогичная задача для уравнения 4-й степени
$$x^4 + ax^2 + bx + c = 0$$
приводит к ласточном хвосту: в пространстве с координатами $a, b, c$ расположен ласточин хвост, подобный тому, который изображен на рисунке 20. Внутри трехгранного пенала лежат точки $(a, b, c)$, для которых наше уравнение имеет 4 решения. На границе пенала, кроме возврата и линей самопересечения, уравнение имеет 3 решения. На этих линейках, исключающий решений 2; столко же решений имеет уравнение для всех $(a, b, c)$, лежащих выше поверхности (со стороны пенала). На всей поверхности, исключая границы пенала, но включая вершину, решение одно, ниже поверхности решений вовсе нет. Подробности читатель может найти в книге Ф. Клейна «Элементарная математика с точки зрения выcisей», которая недавно переиздана в издательстве «Наука».