Абсолютная температура

Квант 1988, №9 с. 60-62 Тег WV6X

дится на берегу на расстоянии $L$ от царевны, начальная скорость стрелы равна $v_0$ . Спрашивает, под каким углом к горизонту должен стрелять царевницу? Будем решать задачу по порядку.

Система координат показана на рисунке, а начало отсчета времени разумно связать с моментом выстрела.
Очевидно, что движение коршуна можно считать прямолинейнымравноускоренным сускорением свободного падения $\vec{g}$ . Движение стрелы более сложное — его траекторий являются парабола, а скорость изменяется и по величине, и по направлению. Однако ситuation упростится, если рассматривать перемещение стрелы в проекциях на оси координат $X$ и $Y$ . Легко видеть, что координата $x$ стрелы с течение времени изменяется так же, как при прямолинейномравноускорном движении, а координата $y$ — как при прямолинейномравноускорном движении, причем с тем же, что и для коршуна,ускорением $\vec{g}$ .
Запишем уравнения движения обих тел в проекциях на оси координат $X$ и $Y$ :

$x_k = L,$
$y_k = H - \frac{gt^2}{2},$
$x_c = v_0 \cos \alpha \cdot t,$
$y_c = v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{gt^2}{2}.$

В момент встречи ( $t = t_B$ ) координаты коршуна и стрелы равны:

$L = v_0 \cos \alpha \cdot t_B,$
$H - \frac{gt^2}{2} = v_0 \sin \alpha \cdot t_B - \frac{gt^2}{2}.$

Мы получили два уравнения с двумя неизвестными ( $t_B$ и $\alpha$ ). Решая их, находим

$tg \alpha = \frac{H}{L}.$

(В принципие, зная угол $\alpha$ , можно найти время встречи $t_B$ , а затем и координаты места встречи.)

Конечно, движение коршуна на самом деле может быть и другим (он ведь все-tаки живой!). Но принципиально решение задачи будет выглядеть точно так же. Только окончательные уравнения будут другими.

(Заметим, что пожожий метод используется при наведении на цель движущихся ракет. Локатор непрерывно определяет координаты целли, ЭВМ — решая соответствующее уравнение, аналогичные нашим,— находит точку встречи ракеты с целью и вносит коррективы в движение ракеты.)

Что же касается царевча Гвидона, то на самом деле совершено неясно, чем бы закончился вся история, если бы он вместе того, чтобы действовать, начал действительное считать. А если говорить серьено, то до сих пор остается абсолитной задакой способность человека мгновенно оценивать столбьое число параметров ( $H, L, v_0, \alpha$ ) и действовать с такой великолепной точностью. Приходится признать, что вопрос о том, что такое меткость, с которой мы начали разговор, и вопрос о решении основной kinematической задачи — все-tаки совершенно разные вопросы.

E. E. Городецкий

Абсолютная температура

Теплота! Казалось бы, нет другой такой области физики, гдеfundamentальные идеи о строении вещества (все тела состоит из взаимодействующих друг с другом молекул, которые находится в непрестанном движении) касались бы так тесно наших неоп

средственных оценений. Но как долог и мучитель был путь понимания даже самых простых вещей. Например того, что процессит при нагревании или оставании тел, при контакте двух тел с разными температурами и т. п.

В этой заметке мы коснем лишь двух основных моментов современного представления о тепловых явлениях с точки зрения молекулярного строения вещества.

Выделим небольшую, но все же макросоппечскую часть какого-нибудь тела. Небольшую — это значит, что размеры выделенной области гораздо меньше размеров всего тела. Это нам нужно для того, чтобы в случае, когда температура меняется вдоль тела, на протяжении нашей области ее всуду можно было бы считать одинаковой. С другой стороны, мы сказали, что область должна быть макросоппечной. Это означает, что, несмотря на небольшие размеры, число части в ней должно быть все-taki очень большим.

Молеклы, заполняющие выделенную область, движут с самыми崭ными скоростями, стalkиваются друг с другом, неоторные из них покидают область, а на их место приходят другие — в обшем, идет сложная, можно даже сказать, существая жизнь. Понять эту безумную молекулярную «пляску», наблюдая за каждой молекулой отдельно, — занятие совершенного бездействие, да и неужное: мы все равно не знали бы, что делать с такой гигантской информацией. К счастью, именно сложность и запутанность молекулярного движения позволяет подобити к описанию ситуации совсем с другой стороны — с точки зрения теории вероятности.

Предсказания этой теории очень специфичны. Она не может, например, представить, кто и с каким временем победит в десятиклиметровой лыжной гонке на предстоящих в 1992 году Олимпийских играх. Однако, просмотр результатов всех предыдущих игра, можно более или менее надежно сказать, что 1—2 % участников гонки показут время, менящее 29 минут, а 60—70 % уложится в интервал от 29 до 31 минуты и т. д. Разумеется, на школьных современных уровня и распределенные результатов будет другим. Вполне оченьindo, что ранг современный определяет средний уровень результатов (и в этом смысле, как будет видно из дальнейшего, он похож на температуру).

Teория вероятности, почти ничего не зная о единичных событиях, надежно представляется исходом большого числа однотипных или повторяющих событий. Понятно поэтому, чтоxaотическая движущиеся и взаимодействующие друг с другом молекулы являются идеальным объектом для такой теории (телер ясно, зачем число молекул в выделенной области должны быть большим).

Обсуждение такой вопрос: какая часть всех молекул, заполняющей выделенную область, имеет скорость, близку к какой-нибудь заданной скорости $v$ (или, говоря иначе, имеет скорость в интервале от $v$ до $v+\Delta v$ )? Для того чтобы сформировать вопрос точнее, обозначим число части, имеющих скорость в данной интервале, через $\Delta N(v)$ , а полное число части, находящееся в выделенной области, через $N$ . Тогда нам нужно найти отношение $\Delta N(v)/N$ .

Если величины допустимого разброса скорости $\Delta v$ не слишком велика, то понятно, что $\Delta N(v)$ должно быть пропорционально $\Delta v$ :

$\frac{\Delta N(v)}{N} = f(v)\Delta v.$

Величина $f(v)$ называется функцией распределения молекул по скоростям и является важнейшей характеристикой любой макросоппечской системы. Зная $f(v)$ , мы можем оценить, сколько процентов всех молекул движут со скоростью, близкой к такой-то скорости, а сколько — к такой и т. д.

Напомним, что мы начали заметку с вопроса о том, что процессит с системе тел на уровне молекул в процессе выравнивания температур. Так вот, оказывается, что пока система не находится в равновесии, столкно-

веняя молекул приводят к постоянному изменению функции распределения $f(v)$ , но после того как равновесие устанавливаются, столковения молекул больше не влияют на эту функцию. Явный вид равновесной функции $f(v)$ был найден теоретически в 1860 году выдающимся английским физиком Максвеллом.*)

Как следует из теории (внимание! это первое главное утверждение заметки), функция $f(v)$ в равновесии полностую определяется температурой системы $T$ . Этот факт, если вдуматься, кажется страным. Он означает, что система всегда сама придет в нужное состояние, независимо от того, что с ней было в начальной момент времени, лишь бы температура ее была задана. Вы можете «взоблать» газ как угодно, но, будучи представленным сам себе, он всегда придет в одно и то же состояние и начинает забудет о том, что с ним было вначале.

На рисунке представлены графики функции $f(v)$ для двух температур $T_1$ и $T_2$ ( $T_2 > T_1$ ). Попробуйте самостоятельно объяснить факт «смешения» графика при изменении температуры.

Итак, температура играет основополагающую роль в определении теплового равновесия тел.

Из сказанного становится понятной и еще одна чрезвычайно важнаяweisь. Раз мы знаем, какая доля молекул с какой скоростью движется, мы можем вычислять средние характеристики движения молекул. В частности,

$\frac{mv^2}{2} = \frac{3}{2} kT.$

Основываясь на этой формуле, часто говорят, что температура является мерой средней кинетической энергии постоянного движения молекул. Это не совсем так. Дело в том, что коэффициент « $^3/2$ », стоящий в выражении для энергии, совершенно не следует глобкой смысла. Число «3» связано с тем, что в трехмерном пространстве для определения положения центра масс молекул необходимо знать три его координаты. Или, говоря иначе, каждая молекula имеет три степеня свободы ее постоянного движения. Но, кроме постоянных, у молекул могут быть и другие степеня свободы: врашательные, колебательные и т. п.

Оказывается, зная функцию распределения молекул по скоростям, можно показать (внимание! это второе главное утверждение заметки), что на любую степень свободы приходится в среднем энергия $^1/2 kT$ . (Отсюда и получается коэффициент « $^3/2$ » в выражении для средней кинетической энергии постоянного движения молекул.) Другими словами, температура — не мера кинетической энергии постоянного движения молекул, а мера энергии, приходящая на одну любую степень свободы системы.

Е. Е. Городецкий