Всесоюзная заочная физико-математическая олимпиада МВТУ им. Н. Э. Баумана

74

ки зависимости ускорения и скорости грузика от времени.

2. Если облучать медную пластину пучком ионов аргона Ar⁺ (однозарядных), ускоренных разность потенциальов U=1000 В, происходит интенсивное распределение меди с поверхности пластинны. Оdnako пучок электров, ускоренных той же разностью потенциальов, никакого распыления не вызывает. Почему так происходит? Ответ обосновите количество (Что вы быить atom меди из кристаллической решетки, ему надо придать энергию не менее E₀=3,5 эВ.).

3. Лазер излучает световые импульсы с энергийем W=0,1 Дж. Частота повторения импульсов f=10 Гц. Коэффициент полезного действия лазера, определяемый как отношение излучаемой энергии к потребляемой, составляет η=0,01. Какой объем воды нужно прогнать за время τ=1 ч через охлаждающую систему лазера, чтобы вода нагрелась не более чем на Δt=10 °C?

4. Близорружий человек смотрит через верхний край стекол своих очков на лампу дневного света, расположенную горизонтально на потолке перпендикулярно лучу зрения. При этом у верхней и нижней кромок лампы он видит цветную кайму. Какого цвета?

Пубlikацион подготовили А. И. Буздин, С. С. Кротов

Весоизная заочная физico-mатематическая оптимкадма MBТУ им. Н. Э. Буумана

Московское высшее техническое училище им. Н. Э. Буумана проводит в 1988/89 учебном году Весоизную заочной физico-mатематической оптимкадма (с техническим приложением) для учащихся средних школа, ПТУ и техническов.

Олимпида проводится в дватура. Условия задач первого типа публиются ниже. Условия задач второго типа будут рассылаться участникам оптимизации, допущенным к второму труру по результатам первого.

Решения задач надо оформить в одной школьной терради. На внешнюю сторону обложки терради наклейте лист бумаги с указанием подробного домашнего адреса (с почтовым индексом), фамилии, имена, отчества и места учебы. На внутреннюю сторону обложки наклейте справку с места учебы с указанием класса.

Тетрадь с решениями присылайте в большом конверте простой бандероль по адресу: 107005 Москва, 2-я Буманская ул., д. 5, MBТУ им. Н. Э. Буумана, «Олимпида — 88/89».

Задачи первого типа

1. Оdnородная балка (длиной L=6,0 м) одной части (l=1,0 м) лежит на горизонтальной платформе, остальная часть балки свешивается с платформы (рис. 1). К концу свешивающегося части балки приложена вертикальная сила F. Балка удерживается в горизонтальном положении, если значение силы нахождения от некоторого минимального значения F_min до максимального F_max. Найдите относение F_max/F_min, если только балки значительно меньше длины.

2. Два одинаковых точечных грузика C и D массой m каждый соединенный нерастимой нитью длиной l и могут скольить без трения по гладкому неевесомому горизонтальном стержню (рис. 2). В начальной момент времени, когда груз C находится на вертикальной оси OZ, системе сообщили угловую скорость ω₀. Найдите натяжение нити в тот момент, когда груз C удалится от оси на расстояние 2l.

75

3. На орбитальной станции есть сосуд Дьюара с жидким азотом. Как получить «лед» из азота? Что может помешать получению такого «леда»?

4. Какое количество теплоты выделится на резисторе сопротивлением $R$ после замыкания ключа $K$ (рис. 3)? Внутренним сопротивлением источника тока претензь.

5. Предложите вариант установки для получения электрозергики, использующей разность температур на поверхности Лунны во время лунного дня и лунной ночи. Сделайте возможность оценки и расчеты.

6. Электрон в начальной момент поконтся в однородных и постоянных, электрическом и магнитном полях. Определите траекторию движения электрона, если векторы индукции магнитного поля $\vec{B}$ ($B=0,05$ Тл) и напряжности электрического поля $\vec{E}$ ($E=10^4$ В/м) взанното перепендикуляры.

7. Как разделить (сепарировать) смесь немагнитных материалов различной плотности с помощью матрицы поля?

Кого послать на Марс?
(см. «Квант» № 8)

Упражнения

1. Пусть $X$ — одна из наших шести планет. Тогда найдет либо три планеты, друзьные с $X$, либо три планеты, находящиеся с $X$ вscope. В первом случае либо три планеты, друзьные с $X$, все посорились между собой — тогда они составляют тройку посорившихся планет (рис. 1), либо какое-то две из них друзьны и тогда они составляют вместе с $X$ тройку друзьных планет (рис. 2). Второй случай разбирается дословно так же, только нужно всему замечать слово «дружные» словом «посорившиеся» и наборот.

2. Сосчитаем число линей, которые проводы бы Громозека, объявняя этот случай. От каждого камня охходят 3 линей, всего камней 9, следовательно, линей всего будет $\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3=13,5$.

Получилось дробное число, так что этот случай невозможен.

3. В любом графе с $n$ вершинами либо две вершины, связанные ребром, либо в нем никакие две вершины не связаны ребром. В первом случае мы имеем полный подграф с двумя вершинами, во втором — пустой подграф с $n$ вершинами (совпадующий со всем графом).

4. Пусть $r(m-1, n)$ и $r(m, n-1)$ — четные числа. Возьмем произвольную вершину $X$ в графе с $r(m-1, n)+r(m, n-1)-1$ вершинами. Если число вершины, связанных ребрами с $X$, не меньше чем $r(m-1, n)$, то дальше рассудаем как в первом случае в доказательстве (1); если же число вершин, связанных ребрами с $X$, не больше чем $r(m-1, n)-2$, то рассудаем далее как во втором случае в доказательстве herавенства (1). Осталось рассмотреть случай, когда вершина $X$ связана ребрамировно с $r(m-1, n)-1$ других вершин. Но такое условие для всех вершин графа выполняется не может. Действительно, если каждая вершина графа соединена ребрамировно с $r(m-1, n)-1$ вершинами, то число ребер равно $\frac{1}{2}(r(m-1, n)+r(m, n-1)-1)(r(m-1, n)-1)$ — дробное число (сравните с решением упражнения 2).

5. Покажем сначала, что $r(m, n) \geq r(n, m)$. Возьмем любой граф с $r(m, n)$ вершинами и произведем над ним такую операцию: сотрем все ребра, а вершины, которые не были соединены ребрами, соединенными ребрами. В новом графе тоже $r(m, n)$ вершин, и, зачит (по смысле числа $r(m, n)$), в нем есть любой подграф с $m$ вершинами, либо пустой подграф с $n$ вершинами. Но полным подграфом нового графа отвечают пустые подграфы старого графа, а пустым подграфом нового графа отвечают полные подграфы старого графа. Значит,

77

третьго кругов; точка $B$ — общая для первого, второго и четверого кругов; точка $C$ — общая для первого, третього и четверого кругов; точка $D$ — общая для второго, третього и четверого кругов.

Можно считать, что точки $A, B, C, D$ различны (если, скажем, $A=B$, то $A$ — искомая точка).

Случай 1. Точка $A, B, C, D$ образуют выпуклый четырехугольник. В этом случае точка пересечения его diагоналей — искомая.

Случай 2. Выпуклая оболочка точек $A, B, C, D$ треугольник. Тогда та из точки $A, B, C, D$, которая лежит внутри этого треугольника, — искомая.

Случай 3. Точка $A, B, C, D$ лежат на одной прямой. В этом случае искомой является любая точка прямой, по одному и по другую сторону от которого на прямой лежат по две из точки $A, B, C, D$.

3. Пусть натуральные числа 1, …, 66 показаны в четыре цвета. Возьмем полный граф с 66 вершинами и запутуем их натуральными числами от 1 до 66. Раскраску ребер графа произведем по следующему правилу: ребро, соединяющее вершины с номерами $i$ и $j$, показим в один цвет с числом $|i-j|$ ($1 \leq i, j \leq 66$). Тепер убедимся, что в этом графе найдет три вершины, соединенные ребрами одного цвета. Обозначим одну из вершин через $X$. Из нее выходит $65=16 \cdot 4+1$ ребер четырех цветов, следовательно, среди них найдется семнадцать одного цвета, например синго. Если какие-то две из вершин, соединенных между собой ребром синго цвета, то эти две вершины и вершина $X$ — искомые. Если же никакие две из 17 вершин, соединенных с вершиной $X$ симмируется, не соединены между собой тоже симм稼ром, то среди них найдется три вершины, соединенные между собой ребрами синго цвета (см. решение задачи 1).

Пусть вершины с номерами $a, b, c$ соединены друг с другом однозвечными ребрами. Для определения путь $a>b>c$. Тогда числа $x=a-b, y=b-c$ и $z=a-c$ имеют один и тот же цвет и удовлетворяют условиям $x+y=z$.

Калейдоскоп «Кванта»
(см. «Квант» № 8)

Вопросы и задачи

1. В наимизшем.

2. Выталкивающая сила уменьшает натяжение нити, что равносильно уменьшению $g$, поэтому перiod колебаний мятника уведомится.

3. Нет, если не изменится положение центра тяжестями системы.

4. Да, поскольку сили упругости существенно и в неверномости.

5. $kA^2/2$.

6. Часы следует поднять.

7. Можно, если сообщать шатитву небольшие точки с частотой, равной частоте собственных колебаний одного из мятников (резонанс).

8. Можно, изменить темп ходьбы: тем самым меняется частота внешней силы, вызваший резонансные колебания ведра с водой.

9. Сила электрического взаимодействия шарков всегда направлена вдоль нити; она не отражается на величины возврашающей силы, поэтому не влияет на период колебаний.

10. Да, частота колебаний уведомится.

11. а) Уменьшится; 6) уведомится.

12. За счет уменшения энергии магнитного поля катушки.

Микроопыт
Перiod колебаний будет уменшаться.

Избранные школьные задачи
(см. «Квант» № 8)

1. 1984. Решение. Пусть $N=13a_1+73b_1=13a_2+73b_2=13a_3+73b_3$ и $a_1<a_2<a_3$. Так как $13(a_2-a_1)=73(b_1-b_2)$, то $a_2-a_1$ делится на 73; аналогично, $a_3-a_2$ делится на 73. Значить, $a_3≥a_2+73≥(a_1+73)+73≥1+73+147$, и, следовательно, $N=13a_3+73b_3≥13 \cdot 147+73=1984$. Остается заметить, что 1984 имеет три представления указанного вида: $a_1=1$, $a_2=74$, $a_3=147$, $b_1=27$, $b_2=14$, $b_3=1$.
2. $k=1$, $n$- натуральное число, равное числу, записанной теми же цифрами, но в обратном порядке; $k=2$, $n=2$; $k=2$, $n=9$. Указание. Так как $kn$ и $n^k$ должны составить из одинакового числа цифр, $n^k<10kn$. При $k≥2$, $n≥2$ это неравенство оставляет для $k$ и $n$ конечное число возможностей; случай $k=1$ и $n=1$ очевидны.
3. Из условия задачи вытекает, что $x_2^2=px_2+q$, $x_1^2=-px_1-q$. Поэтому $x_2^2+2px_2+2q=3x_2^2$, $x_1^2+2px_1+2q=-x_1^2$, открываю видно, что либо одно (или оба) из чисел $x_1$, $x_2$ является корнем уравнения $x^2+2px+2q=0$, либо левая часть этого уравнения принимает в точках $x_1$, $x_2$ значения разных знаков, и тогда между этим точками обязательно лежит корень уравнения.
4. Прием сторону квадрата за единицу и отложим на продолжении стороны $CB$ отрезок $BM=\frac{1}{2}$. Имеем: $EF=\frac{5}{6}$, $ME=\frac{5}{6}$, $AM=AF$. Таким образом, в четырехугольнике $ME$ и $EF$, а также стороны $MA$ и $AF$ (рис. 4). Поэтому треугольники $AEM$ и $AEF$ равны, из чего и вытекает требуемое равенство углов.
5. Предположим, что $AB>AC$. Тогда угол $BCA$ больше угла $CBA$ и, значит, угол $BCD$ больше угла $CBD$ (рис. 5). Следовательно, $BD>CD$ и $AB+BD>AC+CD$. Противоречие.
6. Пусть $d≥2$ — общий делитель чисел $a_n$ и $a_m$, $m>n$. Прежде всего, все числа $a_n$ нечетны, поэтому $d≠2$. Ясно, далее, что остаток от деления числа $a_{n+1}=a_n^2-2$ на $d$ равен $d-2$, остаток от деления числа $a_{n+2}=a_n^2-2$ на $d$ равен остатку от деления числа $(d-2)^2-2$ на $d$, т. е. равен 2. Но тогда и остаток от деления числа $a_{n+3}$ на $d$ равен $2^2-2=2$, и то же верно для $a_{n+4}$, $a_{n+5}$, … Позному $a_m$ не может делиться на $d$.

78

7. Из условия имеем $x_1 - x_2 = \frac{x_2 - x_3}{x_2 x_3}$, $x_2 - x_3 = \frac{x_3 - x_4}{x_3 x_4}$, …, $x_n - x_1 = \frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}$. Если $x_1 = x_2$, то $x_2 = x_3 = ... = x_n$. Если же $x_1 \neq x_2$, то $x_2 \neq x_3$, …, $x_n \neq x_1$. В этом случае, переменные все направные и сократные на $(x_1 - x_2) \times (x_2 - x_3) \dots (x_n - x_1)$, получим $(x_1 x_2 \dots x_n)^2 = 1$.

8. Пусть $K$, $L$ — точки пересечения прямых $NA$ и $NB$ с прямой $CD$ (рис. 6). Ясно, что $\frac{KD}{AF} = \frac{DC}{FE} = \frac{CL}{EB}$. Из подобия треугольников $AKD$ и $CLB$ следует, что $\frac{KD}{BC} = \frac{AD}{CL}$. Поэтому $2KD \cdot CL = 2BC \cdot AD = CD^2$, а значит, $2AF \cdot EB = EF^2$. Далее, $AE + FB = AB + EF$. Следовательно, $AE^2 + FB^2 + 2AE \cdot FB = AB^2 + EF^2 + 2AB \cdot EF = AB^2 + 2(AF \cdot EB + AB \cdot EF)$. Остатся доказать, что $AE \cdot FB = AF \cdot EB + AB \cdot EF$. Но это равенство следует из точекства $(AF + FE)(FE + EB) = AF \cdot EB + (AF + FE + EB)FE = AF \cdot EB + AB \cdot EF$.

9. Перpendикуляр к прямой $AC$, проведенный через середину $D$ отрезка $AC$, за вычетом самой точки $D$. Решениее. Углы $MAB$ и $MCB$ равны как вписанные и опирающиеся на равные дуги. Поэтому $MAC$ — равноведенный треугольник.

10. Во-первых, среди выбранных подмножества не может быть пустого. Во-вторых, если множество $A$ не принадлежит к выбранной совокупности, то дополнение $A$ к ней принадлежит. Действительно, $A$ и дополнение $A$ не могут оба принадлежать к выбранной совокупности, поскольку они не пересекаются. Но все подмножества $2^n$ ировно положина из них принадлежит к выбранной совокупности. Значит, для каждого множества $A$ либо само $A$, либо дополнение $A$ принадлежит к выбранной совокупности. Наконец, в-третьих, если $A$ и $B$ принадлежат к выбранной совокупности, то и пересечение $A \cap B$ к ней принадлежит. Действительно, в противном случае к нашей совокупности принадлежало бы дополнение $C$ к $A \cap B$, но пересечение множества $A, B, C$ пусто. Значит, нашей совокупности принадлежит пересечение всех множества, и это пересечение не пусто, поскольку пустое множество совокупности не принадлежит.

11. Положим $n = 11 \dots 1$ (10 единиц). Наше число равно $n \cdot 10^{10} + 2n = n(10^{10} - 1) + 3n = n \cdot 9n + 3n = 3n(3n + 1)$.

79

Плоскость основания, и, значит, проекция вершины на плоскость основания совпадает с центром вписанной или внешисанной окружности основания.

15. $\frac{3}{4}\pi - \arcsin(\sqrt{2}\sin \frac{\pi}{18})$. Решение.
    Сделаем замену $\cos x + \sin x = 2\sin y$, т. е. $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin y$. Наше уравнение примет вид $\sin 3y = \frac{1}{2}$ (проверьте!); его решение $y \in \left\{ \frac{\pi}{18} + \frac{2}{3}k\pi, k \in Z \right\} \cup \left\{ \frac{5}{18}\pi + \frac{2}{3}m\pi, m \in Z \right)$ (рис. 8). Но $0 \leq x \leq \pi$, значит, $\frac{\pi}{4} \leq x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{5}{4}\pi$, $-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq \sin(x + \frac{\pi}{4}) \leq 1$, $-\frac{1}{2} \leq \sin y \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$.
    Как видно из рисунка 5, sin $y$ может принимать три значения, но только одно из них, а именно, $\sin \frac{\pi}{18}$, попадает в нужный промежуток. Таким образом, $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin \frac{\pi}{18}$, и из всех решений этого уравнения только $x = \pi - \frac{\pi}{4} - \arcsin(\sqrt{2}\sin \frac{\pi}{18})$ находится в промежутке [0; $\pi$].

Как взвести гипопотема (см. «Квант» № 8, с. 47)
Как и все гениальные, выход из создавшего положения был необычной прост. Сборщик подаёт ввел связеного гипопотема на пустую лодку воjdя и отметил снаружи на борту лодки уровень, до которого та погрузилась в воду. Затем он свел гипопотема на берег и принялся нагружать лодку золотыми слиtkами. Так он трудился до тех пор, пока лодка не погрузилась в воду по сделанному ранее отметку.

«Квант» для младших школьников (см. «Квант» № 8)

1. $\frac{103}{96} \frac{48}{2}$
2. Нельзя. Действительно, один из коротких отрезков — не концевой в ломаной, но его концы можно соединить только с концами паралельного ему длиного отрезка.

Рис. 9.
3. См. рис. 9.
4. Искомое число можно представить в виде $A \cdot 100 + 56$. Поскольку $A$ имеет сумму цифр, равную 56—(5+6)=45. Наименьшим четыREM числом с суммой цифр 45 является число 199 998, однако оно не делится на 7. Следующими по величины числам с такой суммой цифр будет 289 998 и 298 998. Первое из них не делится на 7, а второе — делится, поэтому ответом на вопрос задачи является число 29 899 856.
5. Книга имеет ширину $\approx 15$ см и высоту $\approx 25$ см. Таким образом, площадь страницы $\approx 0,04$ м². Если в книге 500 страниц, то ее страницами можно покрыть примерно 250×0,04=10 квадратных метров. Футбольное поле имеет площадь порядка 5—6 тысяч квадратных метров, и на него потребуется 500—600 книг, столбко их у профессора Иванова вполне может быть. Парк имеет площадка квадратного километра, на него потребуется порядка 100 000 книг — столбко их у профессора Иванова наверняка нет.

«Квант» для младших школьников (см. «Квант» № 6)

1. См. рис. 10.
2. 93989+7492+7492=108973.
3. Не играли. Доказательство. В турире с 7-ю участниками играется 21 партия, с 8-ю участниками — 28 партии, с 9-ю участниками — 36 партии. Так как было сыграно больше 21 партии, число участников турира было больше 7, а так как было сыграно меньше 28 партии, число участников, закончивших турир, было меньше 8, а всего участников — меньше 10. Значит, в турире играли 8 или 9 шахматистов. В обоих

80

Рис. 11.
случаях осталось несыгранными нечетное число партий (5 или 13), а если бы Женя и Саша между собой уже сыграли, то несыгранных партий осталось бы четное число (поровну у Саши и Жени).

4. 1988. Доказательство. Пусть число 2$^{1987}$ содержит $n$ цифр, а число 5$^{1987}$ содержит $k$ цифр. Тогда

$$10^{n-1} < 2^{1987} < 10^n \text{ и } 10^{k-1} < 5^{1987} < 10^k.$$

Отсюда $10^{n+k-2} < 10^{1987} < 10^{n+k}$, значит, $k+n-2 < 1987 < k+n$, т. е. 1987=k+n-1, отсюда $k+n=1988$.

5. Сначала развернем коробку на плоскость, сделав соответствующие разрезы (см. рис. 11), а потом отрезем два треугольника. Приставив их к оставшейся части, получаем нужный квадрат.

Список читатель, приславших правильные решения

(Начало см. на с. 49)

Д. Фельдман (п. Черноголовка Московской области) 89, 92, 96, 97, 01; Н. Фендеров (Калининград) 01; А. Фокин (Москва) 92; А. Фридлянд (Саратов) 97, 01, 02; М. Фурман (Ташкент) 97; С. Фурсиков (Куйбышев) 97; В. Хакимджанов (Ташкент) 97; И. Халиков (п/o Машад Наманганской области) 96, 02; В. Харламов (Ленинград) 97; В. Хасин (Кимры) 97; И. Химони (Днепропетровск) 97, 01, 02; А. Хмельницкий (Киев) 92; С. Храпов (Коломна) 92, 02; О. Цодков (Артемовск Донецкой области) 92, 96; О. Чанов (Брест) 92, 96; Д. Черпинин (Винница) 96; М. Черпудуб (Киев) 97, 02; Е. Черныйшева (Ташкент) 01; А. Чмутов (Харьков) 02; Д. Чокин (Алма-Ата) 01; А. Шаргородский (Котовск Одеской области) 97; Ю. Шарлай (Харьков) 96, 97, 01, 02; О. Шеводов (Москва) 92, 97, 01, 02; Е. Швец (Черновцы) 92, 97, 02; А. Швороб (Барановчиц) 96, 97, 01, 02; С. Шиневич (Березники) 89, 92, 96, 97, 01, 02; С. Широков (Ульяновск) 97, 02; З. Шоня (Тбилиси) 97; С. Штовба (Винница) 89, 92; А. Элембердцеев (Ургенч) 02; А. Экдышман (Велгород) 92, 96; Б. Эшганов (Шават) 02; Ф. Юсупов (Верхняя Тура) 97; А. Яблоков (с. Рождественское Костромской области) 92; И. Ягольницер (Черновцы) 92; Т. Яровой (Москва) 01; И. Ясиков (Тольятти) 92; Е. Яхнич (Минск) 01.

Главный редактор — академик Ю. А. Осипьян

Заместители главного редактора:
В. Н. Боровишки, А. А. Варламов,
В. А. Лешковцев, Ю. П. Соловьев

Редакционная коллекция:
А. А. Абрикосов, М. И. Башмаков,
В. Е. Белонучкин, В. Г. Болтянский,
А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов,
Н. В. Васильев, С. М. Воронин, В. В. Гнеденко,
В. Л. Гутенхахер, Н. П. Долбилин,
В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков,
А. Р. Зильберман, С. М. Козел, С. С. Кротов, Л. Д. Кудрвцев, А. А. Леонович,
С. П. Новиков, Т. С. Петрова, М. К. Потапов,
В. Г. Разумовский, Н. А. Родина, Н. Х. Розов,
А. П. Савин, Я. А. Смородинский,
А. В. Сосинский, В. М. Уроев, В. А. Фабрикант

Редакционный совет:
А. М. Балдин, С. Т. Беляев, Е. П. Великов, И. Я. Верченko, В. В. Воздвиженский, Г. В. Дорофеев, Н. А. Erpmолаева, А. П. Erшов, Ю. В. Иванов, В. А. Кириллин, Г. Л. Коткин, Р. Н. Кузьмин, А. А. Логунов, В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патрикеева, Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев, А. Л. Стасенko, И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев, В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер подготовки:
А. Н. Виленкин, А. А. Егоров, Л. В. Кардасевич, И. Н. Клумов, Т. С. Петрова, С. Л. Табачников, В. А. Тихомирова

Номер оформления:
Ю. А. Ващенко, М. В. Дубах, С. В. Иванов, Т. Н. Кольченко, Н. С. Кузьмин, С. Ф. Лухин, Э. В. Назаров, И. Е. Смирнова, П. И. Чернуский

Фото представил:
А. С. Жирный

Редактор отдела худоместственного оформления
С. В. Иванов
Худоместственный редактор Т. М. Макарова
Заведующая редакцией Л. В. Чернова
Корректор Н. Д. Дорохова

Сдано в набор 16.07.88. Подписано к печати 26.08.88
T-17813. Вумага 70×100/16. Печать офсетная
Усл. кр-отт. 27,30. Усл. печ. л. 6,5. Уч-изд. л. 7,96
Тираж 189 700 экз. Цена 40 коп. Заказ 1824

Ордена Трудового Красного Замени
Чеховский полиграфический комбинат
ВО «Союзолигraphром»
Государственное комитета СССР
по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли
142300 г. Чехов Московской области