Задачи М1121—М1125; Ф1133—Ф1137

Квант 1988, №9 с. 38 Тег VRLB

Задачи

M1121 — M1125, Ф1133 — Ф1137

M1121. Дан треугольник ABC. Две прямые, симметричные прямой AC относительно прямых AB и BC соответственно, пересекаются в точке K. Докажите, что прямая BK проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

В. Ю. Протасов

M1122. Решите систему:
$\begin{align*} (x_3 + x_4 + x_5)^2 &= 3x_1, \\ (x_4 + x_5 + x_1)^2 &= 3x_2, \\ (x_5 + x_1 + x_2)^2 &= 3x_3, \\ (x_1 + x_2 + x_3)^2 &= 3x_4, \\ (x_2 + x_3 + x_4)^2 &= 3x_5. \end{align*}$

Л. Тутеску (Румыния)

M1123. Примой угол разбит на бесконечное число квадратных клеток со стороны единицца. Будем рассматривать ряд клеток, параллельные сторонам угла («вертикальные» и «горизонтальные» ряды). Можно ли в каждую клетку записать натуральное число так, чтобы каждый вертикальный и каждый горизонтальный ряд клеток содержал все натуральные числа по одному разу?

В. С. Шевелев

M1124. Боковые стороны, диагонали и продолжения основной трапеции пересекают прямую l в шести точках, т. е. высекают на прямой l пять отрезков.
a) Докажите, что если крайние (1-й и 5-й) отрезки равны, то соседние с ними (2-й и 4-й) также равны.
b) При каком отношении основной трапеции можно проверить прямую l так, чтобы все пять отрезков были равны?

Э. Г. Готман

M1125. Рассматривается последовательность слов, состоящая из букв A и B. Первое слово в последовательности — «A»; к-e слово получается из (k-1)-го с помощью следующей операции: каждое A заменяется на AAB, каждое B — на A (A, AAB, AABAABA, …).
a) Докажите, что каждое слово является началом следующей (тем самым определяется бесконечная последовательность букв: AABAABAAABAABA…).
b) *На каком месте в этой последовательности встречается 1988-я буква A?
b) *Докажите, что эта последовательность неперiodическая.

В. М. Гальперин

Ф1133. В卡尔итере медленно естьает расплав искледуемого вещества. Удельная теплота этого вещества (она была определена в предыдущих опитах) L=200 кДж/кг. По графику зависимости температуры вещества от времени (рис. 1) определите уделные тепломкости вещества в твердом и жидком состоянии. Теплоемкость卡尔итера претенбрь.

А. Р. Зильберман

Ф1134. Исследуя новый открытою планету, имеющий форму шара радиусом $R=6400$ км и покрытую по всей поверхности океаном глубиной $H=10$ km из обличной воды, ученые установили, что ускорение свободного падения остается с большой степенью точности неизменным при погружении в океан на различные глубины. Определите по этим данным ускорение свободного падения на планете. Гравитационная постоянная $G=6,67 \cdot 10^{-11} \text{H} \text{m}^2/\text{kg}^2$ .

И. И. Воробьев

Ф1135. Горизонтальная плоскка с лежащей на ней монетой совершает круговое поступательное движение в горизонтальной плоскости так, что все ее точки описывают окружности радиусом $R$ с угловой скоростью $\omega$ . Коэффициент треня между монетой и плосккой $\mu$ . Каким будет установившееся движение монеты? Какой след «вычерчивает» она на плоскке?

E. И. Бутиков

Ф1136. В схеме, приведенной на рисунке 2, амператоры показывают точки 0,2 А и 0,3 А. После того как два резистора в схеме поменяли местами, показания амператоров не изменились. Какой токчет через батарею? Считать напряжение батареи неизменным. Сопротивления амператоров пребрежимо малы.

A. P. Зильберман

Ф1137. Электростатический генератор (рис. 3) состоит из непроводящого цилиндра, на котором наклеены полоски фольги $\Phi_1$ и $\Phi_2$ , наружных обкладок $O_1$ и $O_2$ , неподвижных токосъемников $T_1$ и $T_2$ снаружи и неподвижной перемычки внутри с токосъемниками $T_3$ и $T_4$ . В исходном положении полоски фольги находится на протяжении обкладок и образуют с ними конденсаторы емкостью $C_1$ каждый. К внешним обкладкам подключен конденсатор емкостью $C_0$ , заряженный предварительно до напряжения $U_0$ . Каким становится напряжение на этом конденсаторе после $N$ оборотов цилиндра по часовой стрелке? Емкость между обкладками и полосками фольги в развинутом состоянии пребрежимо мала.

Problems

M1121—M1125, P1133—1137

M1121. A triangle $ABC$ is given. The two lines which are the mirror images of $AC$ with respect to $AB$ and $BC$ intersect at the point $K$ . Prove that $BK$ passes through the centre of the circumcircle of triangle $ABC$ .

V. J. Protasov

M1122. Solve the system of equations:

$(x_3+x_4+x_5)^5=3x_1,$
$(x_4+x_5+x_1)^5=3x_2,$
$(x_5+x_1+x_2)^5=3x_3,$
$(x_1+x_2+x_3)^5=3x_4,$
$(x_2+x_3+x_4)^5=3x_5.$

L. Tutescu (Rumania)