Задачи М1161—М1165; Ф1168—Ф1172
30
Задачи
M1161—M1165, Ф1168—Ф1172
M1161. В библирном треугольнике вплотную помещается 10 шаров (рис. 1). Докажите, что если в нем помещить 9 шаров, то обязательно остатется место для десятиого (т. е. центры 9 шаров расположется по треугольной сетке).
H. П. Дольбилин
M1162. Найдите все решения в целых числах (x, y) уравнения
Д. В. Фомин
M1163. Черезха вышла из точки A и пришла в точку B, двигаясь по произвольной траектории с произвольной скоростью. Вслед за ней из точки A вышла вторая черпаха, которая в каждой момент времени двигаясь в направлении первой (с произвольной скоростью) и в конце концов также пришла в точку B. Докажите, что путь, проijdенный второй черпахой (к моменту прихода обеих в B) не превыходит пути первой.
A. Х. Шень
M1164. Натуральное число n называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, меньших n (например: 28=1+2+4+7+14). Докажите, что нечетное совершенное число (если такое существует) не может одновременно делиться на 3, на 5 и на 7.
B. В. Шабунин
M1165. Докажите, что квадрат со стороны n (n — натуральное число), расположенный произвольным образом на листе клетчатой бумаги с клетками 1×1, покрывает не более (n+1)² узлов сетки.
B. Д. Котляр
M1168. Оцените максимальный скорость луновodia — работающего на Луне самоходного аппарата, управляемого с Земли.
B. И. Шелест
M1169. Тонарм проигрыватель представляет собой легкий прямой стержень длиной L (рис. 2), на одном конце которого (в точке B) закреплен звуковиматель с игловой, а другой конец закреплен в шарнире, который может без трения вращаться относительно вертикальной оси A, проходящей на расстоянии R (R>L) от оси вращения O диска проигрывателя. Игла ставится наровную одноводную поверхность равномерно вращающегося диска. Найти установившийся угол α между тонармом и линейной AO.
C. Ф. Ким, А. И. Латынин
M1170. Оценки массы Галактики, полученные различными способами, дают отличующие результаты. Так, согласно визуальным оценкам, в пределах расстояния