Московский энергетический институт

74

Вариант 2

1. Тело брошено вертикально вверх с высоты $H=20$ м с начальной скоростью $v_0=3$ м/c. На какой высоте оказывается тело через $t=2$ с после начала движения? Сопротивлением воздуха пребрежь. Ускорение силы тяжести $g=10$ м/c$^2$.

2. Шарик массой $m=4$ кг, подвешенный на нерастижной и неевесомой нити длиной $l=1$ м, совершает колбания в вертикальной плоскости. Найдите силу натяжения нити в тот момент, когда она образует с вертикально угодл $a=60^\circ$. В этот момент скорость шарика $v=1,5$ м/c. Ускорение силы тяжести $g=10$ м/c$^2$.

3. На горизонтальной поверхности лежит лом, длина которого $l=1,5$ м. Масса лома $m=10$ кг. На сколько изменится потенциальная энергия лома, если его перевести в вертикальное положение? Ускорение силы тяжести $g=10$ м/c$^2$.

4. Требуется заменить силу $F=5$ Н двумя силами, действующими вдоль той же прямой, но в противоположных направлениях. Меншая из этих сил $F_1=11$ Н. Какова величины второй силы?

5. Какой объем занимает газ при температуре $T=300$ К и давления $p=414$ Pa, если число молекул газа $N=5\cdot 10^{24}$? Постоянная Большмана $k=1,38\cdot 10^{-23}$ Дж/K.

6. Трансформатор, погруженный в масло,следствие перегрузки начинает греться. Каков КПД трансформатора, если при полной мощности $P=60$ кВт масло массой $m=60$ кг нагревается на $\Delta t=30^\circ$ С за $\tau=4$ мин работы трансформатора? Удельная теплоемкость масла $c=2000$ Дж/(кг·К).

7. Два одинаковых маленьких металлических шарика, заряженных одноменными зарядами, находятся на расстоянии $l_0=1$ м друг от друга. Заряд одного из них в 4 раза больше заряд другого. Шарики приведены со прикосновение и развели на некоторое расстояние. Найдите это расстояние, если сила взаимодействия шариков осталась прежней?

8. Два проводника, сопротивления которых $R_1=7$ Ом и $R_2=5$ Ом, соединяются параллельно и подключают к источнику тока. В первом проводнике в течение некоторого времени выделилось количество теплоты $Q_1=300$ Дж. Какое количество теплоты выделяется во втором проводнике за то же время?

9. Колбательный контур с конденсатом емкости $C_1=1$ мкФ настояен на частоту $v_1=400$ Гц. Если параллельно этом конденсатору подключаить другой конденсатор, то частота колбаний в контрете становится равной $v_2=200$ Гц. Определите емкость второго конденсатора.

10. Предмет находится на расстоянии $d=0,05$ м от двойковпуклой линзы, а его минимое изобразение — на расстоянии $f=0,5$ м. Чему равна оптическая сила этой линзы?

Публикация подготовили В. М. Писаревский, Д. Д. Ходкович

Московский энергетический институт

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Упростите выражение
   $$\left[ \frac{a^2-a^4\sqrt{b}+\sqrt{b}}{a^3+4\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}} \right]^{-1}+\left( \frac{a^2+a^4\sqrt{b}+\sqrt{b}}{a^3-4\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}} \right)^{-1} \times 36^{\log_6\sqrt{2a}}.$$
2. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} x^2-4x+y^2-3y+5=0, \\ 3x^2-11x+3y^2-7y+10=0. \end{cases}$$
3. Двое рабочих за час делают 33 детали, причем производительность одного из них на 20 % выше. Сколько деталей в час делает каждый рабочий?
4. Найдите корни уравнения
   $$\text{tg} \frac{x}{5} \left( \sin x-4 \cos 6x+5 \text{tg} \left( \frac{7\pi}{4} \right) \right)=0,$$
   удовлетворяющие неравенству $\lg^2(2x-\pi)+\lg^2(10\pi-x)>0$.
5. В круге дна точка на расстоянии 15 см от центра; через эту точку проведена хорда, которая делится его на две части: 7 см и 25 см. Найдите длину радиуса круга.
6. Сформилируйте теорему о производной частиного двух функций (без доказательства).

Вариант 2

1. Упростите выражение для $f(x)$ и найдите $f'(x)$, если
   $$f(x)=\left( \sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{x^2-1}} \right)^4.$$
2. Решите неравенство
   $$\lg 100) \log_3(x+2) \leq \log_3(3x+10).$$
3. От пристанина $A$ к пристанине $B$ отправляется лодка со скоростью 10 км/ч, а через час после нее в том же направлении вышел парокод со скоростью 20 км/ч. Каково расстояние между пристаними, если парокод пришел к пристанине $B$ на час равше лодки?
4. Найдите корни уравнения
   $$\sqrt{2} \sin 3x-\cos^2 x-\sqrt{2} \cos x+\cos \left( \frac{\pi-6x}{2} \right) \times \cos x=0,$$
   принадлежшие области определения функций $y=4 \text{tg} 2x+\sqrt{3\pi^2-5\pi x-8x^2}$.
5. В прямом круговом конусе относение к площини боковой поверхности равно $m$, а длина образующей равна $l$. Найдите объем конуса.
6. Перечислите формулы приведения для синуса и косинуса (без доказательства).

77

Так как $AO_1^2 = SO_1 \cdot O_1 M$, или $(b\sqrt{2})^2 = H(2R - H)$, то $2a^2H/(H - a)^2 = H(2R - H)$.
Отсюда $R(H) = H/2 + a^2H/(H - a)^2$, $a < H < +\infty$.
$$R'(H) = \frac{1}{2} - a^2 \frac{a + H}{(H - a)^3} = \frac{H^3 - 3H^2a + Ha^2 - 3a^3}{2(H - a)^3} = \frac{(H^2 + a^2)(H - 3a)}{2(H - a)^3}.$$
Производная $R'(H)$ равна нулю при $H = 3a$, поэтому $R(H) = R(3a) = 9a/4$.

Физика

1. $P = m\sqrt{gl/2} = 10$ кг·м/с.
2. $v = 2\sqrt{3gl/5}$.
3. $A = mg(H + h(1 - 1/n))$.
4. $\varphi = q/(4\pi\varepsilon_0R)$.
5. $U_{\text{max}} = 2vrB \sin \alpha$; точки лежат на концах диаметра, перпендикулярного скорости шарика.
6. $\alpha = \arccos(1 - RQ/(BS)) = 155^\circ$.
7. $d = 2F$.
8. Ионизация невозможна.
9. $W_{\text{вод}} = 2W_0$; $W_{\text{гел}} = 5W_0$.
10. Первый и второй переходы обусловлены $\beta$-распадом, а третьий — $\alpha$-распадом.

Московский институт нефти и газа
им. И. М. Губкина

Математика

1. $-1,5$. 2. $-0,24$. 3. 4. 4. $-18$. 5. 5. 6. 6.
2. 2,5. 8. 8. 9. 9. 10. 7,2. 11. $-5$. 12. 90.

Физика
Вариант 1

1. $n_2 = 1 + (n_1 - 1)t_2/t_1 = 11$.
2. $F_c = m(g - v^2/(2H)) = 1$ Н.
3. $\Delta A = maH = 14$ Дж.
4. $V = 2F/(\rho g) = 4 \cdot 10^{-4}$ м$^3$.
5. $\frac{T_3}{T_1} = \frac{p_2V_2}{p_1V_1} = 3$.
6. $\Delta U = 2A = 2000$ Дж.
7. $C_1 = C_2U_2/(U_1 - U_2) = 1$ мкФ.
8. $q = (I_1 + I_2)t/2 = 30$ Кл.
9. $T = 4t/5 = 8$ с.
10. $m_1/m_2 = c/(\lambda v) = 1/4$.

Вариант 2

1. $h = H + v_0t - gt^2/2 = 6$ м.
2. $T = m(g \cos \alpha + v^2/l) = 29$ Н.
3. $\Delta E_p = mgl/2 = 75$ Дж.
4. $F_2 = F_1 + F = 16$ Н.
5. $V = NkT/p = 50$ м$^3$.
6. $\eta = (1 - cm\Delta t/(P\tau))100\% = 75\%$.
7. $l = 5l_0/4 = 1,25$ м.
8. $Q_2 = Q_1R_1/R_2 = 420$ Дж.
9. $C_2 = C_1((v_1/v_2)^2 - 1) = 3$ мкФ.
10. $D = (f - d)/(df) = 18$ дитр.

Московский энергетический институт
Математика
Вариант 1

1. $1(a > 0, b \geq 0, a \neq \sqrt{b})$.

2. $(1; 2), (3; 1)$.

3. 15 и 18 деталей.

4. $\{5\pi; \frac{9}{2}\pi; \frac{13}{2}\pi; \frac{17}{2}\pi\}$.

5. 20 см.

Вариант 2

1. $f'(x) = 4\left(1 - \frac{1}{x^2}\right), x \geq 1$.
2. $x \in (-2; 2]$.
3. 40 км.
4. $\left\{-\frac{7}{8}\pi; -\frac{3}{8}\pi; \frac{1}{8}\pi\right\}$.
5. $\frac{1}{3}\pi l^3m^2\sqrt{1 - m^2}$.

Физика
Вариант 1
2. Мощность увеличится в два раза.
3. $N = Mgv/2$.
4. $Q = A\mu/(\mu + tg\alpha) \approx 0,9$ Дж.
5. $F = a\Gamma/(\Gamma - 1)^2 = 0,45$ м.

Вариант 2
2. Обмотка электромагнита должна содержать большее число витков тонкого провода.
3. $t = (1 + 2\sqrt{1 - \eta})\sqrt{2H/g} \approx 1,9$ с.
4. $\mathcal{E} = U/2 = 6$ В.
5. $\alpha = 1 + A/(vRT) \approx 6$.

Калейдоскоп «Кванта»
(cм. «Кванта» № 4)

Вопросы и задачи

1. В полное скорость собственного вращения Земли добавляется к орбитальной скорости движения Земли вокругокруг Colница, в полдень — вычитается из нее.
2. Для северного полушария — зимой, поскольку еземо сисету дыхтел, образающий вокругокруг обещало центра масс, а центр масс сисету обещает вокругокруг Colница.
3. Колыто Сатурна не может быть твердым и сплошным.
4. Ускорения, сообщаемые Солнцем Земле и Луне, применено одинаковыми. Поэтому Земля и Луна образуют единую систему дыхтел, образающий вокругокруг обещало центра масс, а центр масс сисету обещает вокругокруг Colница.
5. Нет, так как (в отличие от случае движения по круговой орбитке) сила тоготения по переменному совершению положительного и отрицательного работы, следовательно, скорость плачей или спутника то возрастает, то убывает.
6. Спутник не может все время «висеть» над таким районом — ведь плоскость орбитки спутника должа проходит через центр Земля.
7. Нет. Земля и Луна образуют вокругокруг зон уже обладают такой скоростью.
8. С такой же, с какой стол давит на Землю, — с силой, равной по величины силжести стола.
9. Скорость спутника, несмотря на сопротивление воздуха, возрастает. Хотя из-за треня в атмосфере механическая энергия спутника

78

уменшается, лишь часть потенциальной энергии переходит в тепло; остальная ее часть преобразуется в кинетическую энергию.

Мышленный микроопыт
Невесомость и весомость не имеет отношения к удару, в этом случае важны масса и скорость; так что, работа в будшем в открытом космосе, стаятесь не стукаться о карабле.

«Квант» для младших школьников
(cm. «Квант» № 4)

1. 9/8 и 3/2.
2. Достаточно рассмотреть лишь буквы с номерами 1, 2, 11, 12, 21 и 22. Это А, В, К, Л, У, Ф. В результате получаем маршрут поезда: ВАКУ — УФА.
3. 1354+1354+1354=5416.
4. Все площади одинаковы.
5. 7641—1467=6174.

Избранные школьные задачи
(cm. «Квант» № 4)

1. 5/2. Решение. Пусть
   $$m=an+c,$$
   $$m+n=b(m-n)+c,$$
   где $a \geq 1$, $b \geq 1$, $c < n$, $c < m-n$. Если $a=1$, то $c=m-n$, что противоречит предыдущему. Значит, $a>1$, откуда $m>2n$, $n<m/2$, $m+n<3m/2$, $m-n>m/2$ и $b<3$. Остаточная возможность $b=1$ и $b=2$. Если $b=1$, то $m+n=m-n+c$ и $c=2n$, что невозможно ввиду $c<n$. Значит, $b=2$, $m+n=2(m-n)+c$, $m=3n-c$, откуда $a=2$, $m=2n+c$, $c=n/2$ и $m=5n/2$.
2. Если $a$ — неокторный член арифметической прогрессии и $d$ — ее разность, то $a(a+1)=a+ad$ — тоже член нашей арифметической прогрессии. Значит, вместе с каждым числом наша прогрессия содержит это число, умноженное на $d+1$; значит, она содержит целую геометрическую прогрессию с значением $d+1$. (При $d=0$ это расчудение не проходит, но, очевидно, факт все равно верен.)
3. $a^2>4b$, $a<0$, $b>0$. Действительно, число $x$ тогда и только тогда является решением нашего уравнения, когда число $|x|$ является решением квадратного уравнения $y^2+ay+b=0$. Значит, наше уравнение имеет 4 решения тогда и только тогда, когда указываю квадратное уравнение имеет 2 положительных решений.
4. Длины $l_i$ сторон нашего треугольника $ABC$ удовлетворяют неравенству $1 \leqslant l_i < \sqrt{2}$. Из теоремы косинусов вытекает, что треугольник остроугольный. Значит, к каждому стороне примыкает хотя бы один угол, больший $45^\circ$, и, значит, длины высот больше $1 \cdot \sin 45^\circ = \sqrt{2}/2$. Предположим теперь, что центр квадрата не лежит внутри треугольника $ABC$; пусть он либо расположен на стороне $AB$, либо лежит с вершиной $C$ по разные стороны от стороны $AB$. Проектируем квадрат вместе с треугольником на прямую, перпендикулярную $AB$ (рис. 3). Проектируем треугольника есть отрезок, равный высоте, опущенной на $AB$, т. е. его длина больше $\sqrt{2}/2$; с другой стороны, он содержится в поливине проекции квадрата, которая по длине не превыходит поливины диагонали, т. е. $\sqrt{2}/2$. Противоречие.
5. Колъю, центром которого служит середина отрезка, соединяющего центры данных окружностей, а радиусы внешней и внутренней окружностей равны, соответствующим, получиме и получаемности радиусов данных окружностей. Доказательство. Пусть $R$ и $r$ — радиусы данных окружностей ($R>r$). Зафиксируем точку $A$ большей окружности. Середины отрезков, соединяющих ее с точками меньшей окружности, составляют окружность радиусом $r/2$, центр $B$ которой совпадает с серединой отрезка, соединяющего точку $A$ с центром меньшей окружности (рис. 4). Когда точка $A$ пробегает большую окружность, точка $B$ пробегает окружность радиусом $R/2$, центр которого служит середина отрезка, соединяющего центра точки данных окружностей, а построенная выше окружность радиусом $r/2$ заменяет указанное колюцо (рис. 5).
6. $2 \leqslant x < \sqrt{5}$. Решение. Целая степень двойки равна целой степени тройки только если показатели степени равны 0. Значит, $[x^2-4]=0$ и $[1/x]=0$, т. е. $2 \leqslant |x| < \sqrt{5}$ и $x>1$. 7. $x=y=\pm 1$. Решение. Вычитем из первого уравнения второе и из второго уравнения третье. Получим систему
   $$\begin{cases} x^2+y^2=2, \\ 3x^2+y^2=4, \end{cases}$$

имеющий четырьше решения: $x=\pm 1$, $y=\pm 1$. Эти решения мы должны подставить в любое из уравнений данной системы, скажем в первоое (если оно будет выполнено, то два других будут выполнены автоматически). Видно, что два из найденных решений, указанных в ответе, а остальные не годятся.
8. Да. Доказательство. Действительно, многочлен $x(x-1)(x-2)...(x-12)/13$ принимает в целях точных целые значения, а коэффициент при $x^{13}$ у него равен 1/13. (Добавим, что многочлен, принимающий в целях точных целые значения, всегда имеет вид $a_0P_0+a_1P_1+...+a_NP_N$, где $a_0$, $a_1$, …, $a_N$ — целые числа, а
$$P_n(x)=\frac{x(x-1)(x-2)...(x-n-1))}{n!}.$$

В частности, любое разное число может

79

Рис. 6.

быть коэффициентом такого многочлена, но никакое irrationalное число быть им не может.)

9. 3. Доказательство. $10^{n+1}-10^n=360 \times 25 \cdot 10^{n-3}$, поэтому $\sin(10^{n+1})= \sin(10^n)$ при $n \geqslant 3$. Следовательно, в нашей последовательности все члены, начняя с четвертого, одинаковы. Ясно, далее, что $\sin 1^\circ > 0$, $\sin 10^\circ > 0$, $\sin 100^\circ > 0$ и $\sin 1000^\circ = \sin 280^\circ < 0$. Таким образом, в нашей последовательности первые 3 члена положительные, а остальные — отрицательны.

10. 1 или 5. Решение. В действительности верно, что из трех длин проекций отрезка на стороны правильного треугольника одна равна сумме двух других. Это можно доказать так. Пусть при проекции отрезка на стороны правильного треугольника его длина умножается, соответственно, на $a$, $\beta$, $\gamma$. Но тогда и при проектировании сторона этого треугольника на прямую, содержащую наш отрезок, их длины умножаются на $a$, $\beta$, $\gamma$. В то же время ясно, что проекция одной из сторон треугольника есть сумма проекций двух других его сторон.

11. a) $\sqrt{3}, \sqrt{5-2\sqrt{3}}$; 6) три. Решение. a) Пусть $x, y, z$ — длины сторона нашего треугольника, причем сторона $z$ лежит против угла $30^\circ$. По теореме косинусов

$$z^2 = x^2 + y^2 - xy\sqrt{3}.$$

Мы должны подставить вместе двух из трех величины $x, y, z$ числа 2 и 1 и потом найти третий величины. Всего существует 6 способов подстановки, но поскольку $x$ и $y$ входят в уравнение симметричных образом, можно ограничиться темы: $x=2, y=1; x=2, z=1; x=1, z=2$. В каждом из трех случаяев получается квадратное уравнение; решая эти уравнения, находим: $z=\pm \sqrt{5-2\sqrt{3}}, y=\sqrt{3}, y=\frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{15}}{2}$. Условию задачи (искомая сторона имеет длину от 1 до 2) удовлетворяют два решения: $\sqrt{5-2\sqrt{3}}$ и $\sqrt{3}$. 6) Если проинорировать условия, что длина треугольника заключается между $a$ и $b$, то задача может иметь четыре решения (рис. 6). Но указываному условию удовлетворяют не более трех. Чтобы убедиться в этом, изобразим все четыре решения на одном черте (рис. 7). На этом черте $AB_1=C_1B_2=C_1B_3=a$ и $AC_1=B_1C_2=b$. Решения задачи служат отрезки $B_1C_1, AB_2, AB_3$ и $AC_2$. Легко подобрать $a, b$ и $\varphi$ так, чтобы $AB_2$ и $AB_3$ были не меньше $a$ и не больше $b$. Но при этом точки $B_1, B_2$ и $B_3$ должны идти в таком